На главную

Математический Анализ. Первый курс. 2008/2009 учебный год.

Программа курса

Настоящая программа является предварительной. Реальная программа будет зависеть от состава наших студентов и изменений в количестве часов, если таковые вдруг произойдут.

• Первый модуль:

  Пределы

  Пределы последовательностей действительных и комплексных чисел, арифметика пределов, порядки роста, числовые ряды и признаки сходимости, предел функции, строгое определение производной, техника дифференцирования, непрерывные функции.

  Введение в теорию множеств

  Теоретико-множественные обозначения; алгебра множеств, произведения, отображения, отношения, мощности, счетные множества, мощность континуума, сравнение мощностей, лемма Цорна и трансфинитные конструкции.

  Действительные числа

  Построение действительных чисел, критерий Коши, теоремы о врехней грани о о стягивающихся отрезках, d-ичные дроби.

• Второй модуль:

  Действительные числа (продолжение)

  Ряды (введение)

  Необходимый признак сходимости, признак сравнения, признак абсолютной сходимости.

  Предел функции и непрерывность

  Определение предела функции, простейшие свойства пределов. Определение производной. Производные суммы, произведения и частного. Простейшие примеры вычисления производных.

  Непрерывные функции

  Определение. Теоремы о промежуточном значении и о максимуме. Непрерывность обратной функции. Приложения: производная сложной и обратной функции. Степень с рациональным показателем и ее производная.

  Применение производной

  Теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа. Теорема о среднем и ее геометрический смысл. Обоснование критериев возрастания и убывания.

  Построение элементарных функций

  Комплексная экспонента. Тригонометрия. Построение логарифма.

  Формула Тейлора

  Символы o и O. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Ряды Тейлора для элементарных функций. Построение ряда Тейлора для суммы, произведения, композиции и пр.

  Правило Лопиталя

  Раскрытие неопределенности 0/0. Раскрытие неопределенности "бесконечность на бесконечность". Порядки роста элементарных функций. Пример "плоской" функции.

• Третий модуль:

  Формула Тейлора (продолжение)

  Остаточный член в форме Лагранжа. Разложение элементарных функций в степенные ряды.

  Топологические и метрические пространства

  Открытые и замкнутые множества, топологические пространства, непрерывные отображения и пределы, метрические пространства, компактность, метрические компакты и лемма о лебеговом числе, применения понятия компактности к классическому анализу, связность и линейная связность, теорема о промежуточном значении; полнота и пополнение.

• Четвертый модуль:

  Канторово множество и p-адические числа

  Канторово множество и p-адические числа Целые p-адические числа, определение канторова множества, бесконечные произведения, гомеоморфность канторова множества кольцу целых p-адических чисел, отображение канторова множества на метрический компакт.

  Равномерная непрерывность и равномерная сходимость

  Равномерная непрерывность. Пространство непрерывных функций с sup-нормой и его полнота. Построение определенного интеграла по Коши.

  Интеграл

  Формула Ньютона-Лейбница. Техника неопределенного интегрирования. Интегрирование рациональных функций.

• Пятый модуль:

  Функциональные ряды

  Сходимость по норме (абсолютная и равномерная). Свойства абсолютно сходящихся рядов: перестановка членов, двойные ряды, умножение абсолютно сходящихся рядов.

  Аналитические функции

  Определение. Переразложение сходящегося степенного ряда. Почленное дифференцирование. Аналитичность суммы, произведения и частного. Аналитичность композиции и обратной функции. Принцип аналитического продолжения.

Записки лекций

Начали появляться.

[Лекция 1|Лекция 2|Лекция 3|Лекция 4|Лекция 5|Лекция 6|Лекция 7-8
Лекция 9|Лекция 10|Лекция 11|Лекция 12|Лекция 13|Лекция 14
Лекция 15|Лекция 16|Лекция 17|Лекция 18|Лекция 19|Лекция 20|Лекция 21
Лекция 22|Лекция 23|Лекция 24]

Задачи семинаров

[Листок 0 (для тех, кто считает, что знает основы анализа)|Листок 1|Листок 2|Листок 3
Листок 3' (дополнительный)|Листок 4|Листок 5|Контрольная N1 (4 варианта)|Листок 6
Зачет 20 октября (4 варианта)|Листок 7|Листок 8|Листок 9
Листок 10|Листок 11|Листок 12|Экзаменационная работа (один из варинтов)|Листок 13|Листок 14|Листок 15|Листок 16
Листок 17|Листок 18|Листок 19|Листок 20|Листок 21|Листок 22]

Зачёты и экзамены