На главную

Геометрия. 2008/2009 учебный год.

Программа курса

• Первый модуль:

  Элементарная геометрия на плоскости.

  Векторы, декартовы и полярные координаты, преобразование координат, уравнение прямой в разных видах, ГМТ, инверсия, рисование разных кривых. Пучки прямых и нелинейные семейства прямых.

  Коники-1

  Классическая теория конических сечений, классификация кривых второго порядка и их приведение к каноническому виду, рациональность коники, пучки кривых, теорема Паскаля.

  Группа движений плоскости.

  Скалярное произведение, углы и длины, ориентированная площадь, базисы, ориентация. Определение движения, умножение (композиция) движений, группа движений. Классификация движений и теорема Шаля, таблица умножения движений, группа движений порождается отражениями. Подгруппы группы движений: собственные движения, движения с фиксированной точкой, параллельные переносы образуют нормальную подгруппу. Центр масс конечного множества точек и его инвариантность. Конечные подгруппы группы движений.

  Выпуклая и дискретная геометрия плоскости.

  Линейные формы, двойственная плоскость. Выпуклые множества, выпуклые оболочки, выпуклые многоугольники и их задание линейными неравенствами. Двойственный многоугольник. Решетки на плоскости, фундаментальная область, многоугольник Вороного, лемма Минковского. Двойственная решетка. Дискретные группы движений плоскости, фундаментальная область, примеры.

  Трехмерные и многомерные линейные геометрические объекты.

  Линейная зависимость и независимость векторов, базис векторного пространства, размерность. Скалярное произведение, неравенство Коши-Буняковского-Шварца, длины, углы, ориентированный объем, существование ортонормального базиса. Аффинные прямые и плоскости и их направляющие векторные подпространства, два способа задания: линейными уравнениями и порождающими векторами. Отыскание пересечений. Связь с системами линейных уравнений. Много примеров, в том числе простейшие трехмерные многогранники, четырехмерный куб и его элементы и т.д. и т.п.

• Второй модуль:

  Трехмерная и многомерная выпуклая геометрия.

  Линейные формы, двойственное пространство. Выпуклые множества, выпуклые оболочки, выпуклые многогранники и полиэдральные конусы и их задание линейными неравенствами. Барицентрические координаты. Опорные плоскости, грани и крайние точки. Двойственный многогранник и двойственный конус. Примеры трехмерных решеток, их многогранники Вороного и дискриминанты, двойственные решетки.

  Проективная прямая и проективная плоскость.

  Проективная прямая, аффинная карта и аффинная система координат на ней. Однородные координаты. Однородность проективной прямой. Дробно линейные преобразования. Проективное преобразование однозначно определяется образами трех точек. Двойное отношение. Неподвижные точки дробно линейных преобразований, связь с собственными векторами и собственными значениями матриц 2×2. Проективные инволюции. Топология вещественной и комплексной проективной прямой. Проективная плоскость, аффинная карта и аффинная система координат на ней. Однородные координаты, переход от однородных координат к аффинным. Однородность проективной плоскости. Топология вещественной проективной плоскости. Проективные преобразования. Проективное преобразование однозначно определяется образами четырех точек в общем положении. Прямые на проективной плоскости; двойственная плоскость. Пучки прямых. Однородные многочлены, задание кривых уравнениями. Примеры. Все конические сечения проективно эквивалентны. Пересечение кривой и прямой: теорема Безу.

  Коники-2 и кубики.

  Коники над полем комплексных чисел. Особые и неособые коники. Пространство коник. Пучки коник, число особых коник в пучке. Проведение коники через пять точек, конструкция Штейнера. Двойственная коника; полярное соответствие. Теоремы Паскаля и Брианшона; теорема Дезарга. Кубические кривые, касательные, точки перегиба, особые точки. Рациональность особой кубики. Групповой закон на неособой кубике. Приведение к нормальной вейрштрассовой форме. Нерациональность неособой кубики.

  Геометрия линейных отображений.

  Линейные отображения и их задание матрицами; преобразование матрицы отображения при замене базисов. Линейные формы; двойственное пространство; двойственное отображение. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Проекторы; инвариантные подпространства.

  Ортогональные преобразования и движения в трехмерном пространстве.

  Несвязность ортогональных групп. Ортогональная группа порождается отражениями. Собственное ортогональное преобразование трехмерного пространства является вращением. Классификация движений трехмерного пространства; теорема Шаля. Конечные подгруппы в группе движений трехмерного пространства: правильные многогранники.

• Третий модуль:

  Квадратичные формы и квадрики.

  Билинейные (симметрические) и квадратичные формы. Преобразование при замене базиса. Приведение к сумме квадратов. Инварианты квадратичной формы в вещественном и комплексном случаях. Приведение к главным осям (б/д). Вещественная классификация поверхностей второго порядка. Касательные плоскости, прямые на вещественных трехмерных квадриках.

  Проективное пространство и геометрия квадрик.

  Аффинное и проективное пространство. Аффинная группа; проективная группа. Гиперплоскости в аффинном и проективном пространстве. Двойственное проективное пространство. Проективные преобразования и их простейшие свойства. Проективное преобразование однозначно определяется образами $n+2$ точек в общем положении. Квадрики в комплексном проективном пространстве. Касательные плоскости; полярное соответствие. Два семейства прямых на трехмерной квадрике; трехмерная квадрика как образ вложения Сегре. Стереографическая проекция.

  Проективная геометрия трехмерного пространства.

  Прямые в трехмерном пространстве, плюккеровы координаты. Квадрика Плюккера, два семейства плоскостей на ней. Бинарные формы; отображение Веронезе. Повторение: коника как образ отображение Веронезе. Геометрия норм-кубики: сечения плоскостью, хорды, касательные прямые и плоскости. Проектирование из точки на плоскость.

  Гиперболическая геометрия.

  Плоскость Лобачевского и ее модели в круге и верхней полуплоскости. Вычисление расстояний и углов. Площади многоугольников. Отражения и группы порожденные отражениями; фундаментальные многоугольники; модулярная фигура. Гиперболические пространства старших размерностей.

Записки лекций

Лекция 1 (4-ый модуль)

Лекция 2

Лекция 3

Лекция 4

Лекции 5-6

Лекция 7

Задачи семинаров

Листок 1

Задание на вторник 02.09.2008: письменно решите задачи: 1д, 1ж, 2з, 3а, 3б, 3в, 4е (один пункт на Ваш выбор), 4ж (один пункт на Ваш выбор, кроме первого).

Задание пятницу 05.09.2008 (сдать перед лекцией): (1) принесите еще не сделанные задачи прошлого письменного задания (2) письменно решите 4ж - целиком, 4е - четыре пункта на выбор.

Листок 2

Задание на пятницу 12.09.2008 (сдать перед лекцией): (1) еще три пункта из задачи 2д (2) еще три пункта из задачи 3.

Листок 3

Задание на вторник 16.09.2008 (сдать перед началом семинара): 1а, 1б и 1в письменно.

Листок 4

Задание на вторник 23.09.2008 (сдать перед началом семинара): 1е, 3, 4, 5а, 5в и 5д письменно.

Листок 4 дополнительный

Листок 5

Листок 6

Листок 7

Листок 8 необязательный

Задание на четверг 27.11.2008 (обязательное, сдать перед началом семинара): контрольная работа в конце листка.

Листок 9

Задание на пятницу 4.11.2008 (сдать перед началом лекции): задача 5 письменно.

Листок 10

Листок 11

Листок 11 1/2 (дополнительный).

Листок 12

Задание на вторник 7.4.2009 (сдать перед началом лекции): письменная работа по выпуклой геометрии.

Листок 13

Задание на вторник 21.4.2009 (сдать перед началом лекции): письменная работа по проективным преобразованиям.

Зачеты и экзамены

После 4-го модуля проводился письменный зачет, за который выставлялась оценка (A). По результатам сдачи листков и контрольных работ выставлялась оценка за работу в течение модуля (B). Итоговая оценка вычислялась как лучшая из оценок A и B (с весом 2/3) плюс худшая из оценок A и B (с весом 1/3). При этом требовалось, чтобы обе оценки были удовлетворительными (не ниже 4 баллов по 10-балльной шкале), иначе курс не засчитывался.