На главную
Расписание занятий

Алгебра. Второй курс. 2010/2011 учебный год.

(лектор: А.Л.Городенцев)

Модули:  I,  II-III,  IV,   Зачёты и экзамены  

Модуль I

Программа   Учебные материалы к лекциям   Задачи семинаров   Контрольные работы  

Программа модуля I

Полилинейная алгебра

Тензорное произведение модулей, примеры тензорных конструкций и канонических изоморфизмов. Тензорная алгебра векторного пространства, свёртки, линейная оболочка тензора, многообразия Сегре. Симметрическая и грассманова алгебры, (косо) симметрические тензоры, поляризация (грасмановых) многочленов, многообразия Веронезе и Грассмана.

Формальные функции

Формальные экспонента, логарифм и бином. Техника производящих функций. Действие Q[[d/dx]] на Q[x]. Числа и многочлены Бернулли. Целочисленные базисы модуля симметрических функций, их производящие функции и переходы между ними. Техника вычислений с симметрическими функциями. Многочлены Шура, исчисление массивов, таблиц и диаграмм.

Учебные материалы к лекциям

1. Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
2. И.Макдональд. Симметрические функции и многочлены Холла. М., «Мир», 1984 (или любое другое издание)
3. У.Фултон. Таблицы Юнга и ... М., «МЦНМО», 2008 (или любое другое издание)

• Лекция 1. Тензорное произведение модулей и векторных пространств.
• Лекция 2. Тензорная, симметрическая и внешняя алгебры, свёртки, линейный носитель и ранг тензора.
• Лекция 3. Симметричные и кососимметричные тензоры. Поляризация многочленов и грассмановых многочленов над полем характеристики нуль, частные производные. Задание многообразий Веронезе и Грассмана квадратичными уравнениями.
• Лекция 4. Исчисление формальных степенных рядов (напоминания): обращение рядов, дифференцирование, интегрирование, экспоненцирование, логарифмирование; бином Ньютона (с любым показателем из поля коэффициентов); действие Q[[d/dx]] на Q[x], ряд Тодда и числа Бернулли.
• Лекция 5. Кольцо симметрических функций. Мономиальные, элементарные и полные симметрические многочлены, многочлены Ньютона и детерминантные многочлены Шура. Производящие функции и переходы между m, e, p, h. Формулы Джамбелли и Пьери для функций h (См. также §§2-3 в [2])
• Лекция 6. Исчисление массивов, диаграмм и таблиц. Комбинаторные соотношения на количества таблиц. Правило Литтлвуда-Ричардсона для перемножения многочленов Шура. Тождества Коши, Джамбелли-Якоби-Труди и Пьери. [обновлено 15.05.2011]

Задачи семинаров

• Листок 1. Тензоры. Выдаётся с 1 сентября.
• Листок 2. Тензорные степени. Выдаётся с 13 сентября.
• Листок 3. Поляризация (грассмановых) многочленов. Выдаётся с 27 сентября.
• Листок 4. Симметрические функции. Выдаётся с 6 октября.

Контрольные работы

• Контрольная N1 (классная) была 28 сентября (образец варианта). Темы: тензоры, многочлены, симметрические функции.

Модули II-III

Программа   Учебные материалы к лекциям   Задачи семинаров   Колоквиум   Контрольная  

Программа модулей II-III

Конечные группы

Действия, формула для длины орбиты. Полупрямые произведения. Теоремы Силова.

Пространства с операторами

Приводимость, разложимость, полупростота. Лемма Шура. Теорема плотности и теорема о двойном коммутаторе.

Категории и функторы

Примеры малых категорий. Категория функторов, представимость, лемма Ионеды. Сопряжённые функторы. Пределы. Диаграмный поиск.

Представления конечных групп

Полупростота групповой алгебры. Теория характеров. Кольцо представлений, индуцирование, двойственность Фробениуса. Представления симметрической группы, функторы Шура.

Учебные материалы к лекциям

1. Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
2. Ж.-П.Серр. Линейные представления конечных групп. М., «Мир», 1970 (или любое другое издание)
3. W.Fulton, J.Harris Representation theory: a first course. B-H-NY., «Springer-Verlag», 1991 (есть в колхозе)
4. У.Фултон. Таблицы Юнга и ... М., «МЦНМО», 2008 (или любое другое издание)

• Лекция 7. Конечные группы в действии: длина орбиты, количество орбит, регулярное и присоединённое действие, действия p-групп, силовские подгруппы, полупрямые произведения.
• Лекция 8. [обновлено 26.12.2010] Пространства с операторами: разложимость, приводимость, полупростота, лемма Шура, полная приводимость представлений конечных групп, представления конечных абелевых групп, характеризация полупростых модулей, теорема плотности, теорема Бернсайда.
• Лекция 9. Линейные представления конечных групп над замкнутым полем: разложение в сумму изотипных подмодулей, строение групповой алгебры, неприводимые идемпотенты, скалярное произведение, характеры.
• Лекция 10. Категории и функторы. Естественные преобразования. Лемма Ионеды. Представимые функторы. Сопряжённые функторы и (ко)индуцированные модули.
• Лекция 11. Пределы диаграмм.
• Лекция 12. Индуцированные представления. Кольцо представлений. (см. аналогичную лекцию прочитанную осенью 2014 г. в НМУ)
• Лекция 13. [обновлено 25.03.2010] Представления симметрических групп.

Задачи семинаров

• Листок 5. Конечные группы. Выдаётся с 1 ноября.
• Листок 6. Группы в действии. Выдаётся с 11 ноября.
• Листок 7. Диаграмный поиск. Выдаётся с 17 ноября.
• Листок 8. Маленькие линейные представления. Выдаётся с 29 ноября.
• Листок 9. Категории и функторы. Выдаётся с 17 января.
• Листок 10. Индуцированные представления. Выдаётся с 16 февраля.
• Листок 11. Целые расширения колец. Выдаётся со 2 марта.

Коллоквиум по материалам модуля II

Классная контрольная работа

Модуль IV

Программа   Учебные материалы к лекциям   Задачи семинаров   Контрольная  

Программа модуля IV

Элементы коммутативной алгебры

Свойства целых элементов. Нормальные кольца. Лемма Гаусса. Свойства колец целых в полях алгебраических чисел. Строение конечно порождённых коммутативных алгебр над полем, степень трансцендентности. Теоремы Гильберта о базисе и о нулях. Дискриминанты и результанты.

Элементы теории Галуа

Поле разложения, примитивные элементы. Алгебраическое замыкание. Продолжение гомоморфизмов, нормальные и сепарабельные расширения. Поле инвариантов конечной группы. Соответствие Галуа. Круговые поля, конечные поля, циклические расширения. Разрешимость уравнений в радикалах и в квадратичных радикалах. Техника вычисления групп Галуа.

Учебные материалы к лекциям

1. Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)

• Лекция 14. Целые расширения коммутативных колец. [обновлено 10.06.2011]
• Лекция 15. Системы полиномиальных уравнений и полиномиальные идеалы.
• Лекция 16. Алгебраические расширения полей. (см. аналогичную лекцию прочитанную весной 2015 г. в НМУ)
• Лекция 17. Группы Галуа. [обновлено 11.06.2011]

Задачи семинаров

• Листок 12. Симметрические функции – 2. Выдаётся с 6 апреля.
• Листок 13. Представления симметрических групп. Выдаётся с 8 апреля.
• Листок 14. Многочлены и аффинные алгебраические многообразия. Выдаётся с 27 апреля.
• Листок 15. Многочлены и расширения полей. Выдаётся с 12 мая.
• Листок 16. Элементы теории Галуа. Выдаётся с 18 мая.

Классная контрольная работа

Зачёты и экзамены

1. решённые задачи из листков, сданные Вами на семинарах (в процентах от суммарного числа всех задач из листков),
2. решённые задачи из контрольных работ (в процентах от суммарного числа всех задач из контрольных),
3. ответы на теоретические вопросы и решённые задачи на колоквиуме (в процентах от суммарного числа задач и вопросов Вашего билета),
4. решённые задачи из итоговой экзаменационной (или зачётной) письменной работы (в процентах от их количества)

Итоговая письменная работа за I модуль была 27 октября (вариант 1 , вариант 2).

Итоговая письменная работа за II–III модули была 28 марта (вариант 1 , вариант 2).

Итоговая письменная работа за IV модуль была 24 июня (вариант 1 , вариант 2).

В начало   Расписание занятий   Модули  I