На главную
Расписание занятий

Функциональный анализ. Весна 2018/2019 учебного года

(лектор А.Ю.Пирковский, семинары А.В. Колесников, М.З. Ровинский)

Лекции

Лекция 1 (11.01.2019).
Топологически инъективные операторы, открытые операторы, изометрии, коизометрии. Факторпространства нормированных пространств. Универсальное свойство факторпространств. Полнота факторпространств.
Лекция 2 (18.01.2019).
Бочки в банаховых пространствах. Теорема Банаха-Штейнгауза (принцип равномерной ограниченности). Теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике.
Лекция 3 (25.01.2019).
Топологические векторные пространства. Топология, порожденная семейством полунорм. Локально выпуклые пространства и их "полинормируемость" (схема доказательства). Примеры локально выпуклых пространств (пространства непрерывных и гладких функций, пространство Шварца, сильная и слабая операторные топологии).
Лекция 4 (01.02.2019).
Критерии непрерывности полунормы на локально выпуклом пространстве и оператора между локально выпуклыми пространствами. Эквивалентные семейства полунорм. Примеры. Факторпространства локально выпуклых пространств. Линейные функционалы на локально выпуклых пространствах: разделение точек и подпространств.
Лекция 5 (08.02.2019).
Дуальные пары и слабые топологии. Частные случаи: слабая топология на локально выпуклом пространстве и слабая* топология на его двойственном. Описание функционалов, непрерывных в слабой топологии дуальной пары. Критерий рефлексивности банахова пространства в терминах слабых топологий. Двойственность операторов между дуальными парами. Связь со слабой непрерывностью.
Лекция 6 (15.02.2019).
Аннуляторы, их свойства. Теорема о двойном аннуляторе и ее следствия (замыкание = слабое замыкание для подпространств, критерий плотности подпространства). Описание пространств, двойственных к подпространству и к факторпространству. Связь между ядрами и образами операторов и их двойственных. Двойственность между инъективными операторами и операторами с плотным образом.
Лекция 7 (22.02.2019).
Двойственность между топологически инъективными и сюръективными операторами в банаховых пространствах. Двойственность между изометриями и коизометриями в банаховых пространствах. Теорема о замкнутом образе. Следствие: лемма Джонсона о точных последовательностях банаховых пространств.
Лекция 8 (01.03.2019).
Спектр элемента алгебры. Примеры. Алгебраические свойства спектра (поведение при гомоморфизмах, теорема об отображении спектра для многочленов, спектр обратного элемента). Банаховы алгебры. Примеры. Свойства группы обратимых элементов банаховой алгебры. Автоматическая непрерывность характеров банаховой алгебры (гомоморфизмов в C).
Лекция 9 (15.03.2019).
Компактность спектра элемента банаховой алгебры. Резольвентная функция и ее свойства. Непустота спектра. Теорема Гельфанда-Мазура. Спектральный радиус. Части спектра линейного оператора: точечный, непрерывный и остаточный спектры. Пример: вычисление спектра и его частей для диагонального оператора
Лекция 10 (05.04.2019).
Спектры подобных операторов. Соотношения между частями спектра линейного оператора и частями спектра его двойственного. Пример: части спектра операторов сдвига в lp. Вполне ограниченные метрические пространства. Примеры и контрпримеры. Формулировка критерия компактности метрического пространства (компактность ⇔ секвенциальная компактность ⇔ счетная компактность ⇔ полная ограниченность + полнота). Следствия. Равномерная непрерывность и равностепенная непрерывность. Теоремы Кантора и Арцела-Асколи (формулировки).
Лекция 11 (12.04.2019).
Лемма Рисса о почти перпендикуляре. Некомпактность сферы в бесконечномерном нормированном пространстве. Компактные операторы: определение, простейшие примеры и контрпримеры. Свойства множества компактных операторов. Теорема Шаудера о компактности двойственного оператора. Пример: критерий компактности диагонального оператора. Аппроксимируемость компактных операторов в гильбертовом пространстве операторами конечного ранга. Замечания о свойстве аппроксимации и базисах Шаудера.
Лекция 12 (19.04.2019).
Фредгольмовы операторы, индекс. Замкнутость образа фредгольмова оператора (лемма Като). Фредгольмовость и индекс двойственного оператора. Теорема Рисса об операторах вида "1+компактный". Следствия: абстрактная альтернатива Фредгольма, абстрактные теоремы Фредгольма.
Лекция 13 (26.04.2019).
Аддитивность фредгольмова индекса. Критерий фредгольмовости Никольского-Аткинсона. Алгебра Калкина. Существенный спектр линейного оператора. Открытость множества фредгольмовых операторов. Локальная постоянность индекса. Устойчивость индекса при компактных возмущениях. Теорема Никольского о фредгольмовых операторах с нулевым индексом.
Лекция 14 (17.05.2019).
Оператор, сопряженный к оператору между гильбертовыми пространствами. Основные свойства операции перехода к сопряженному оператору. C*-тождество. Самосопряженные операторы. Вещественность спектра самосопряженного оператора. Совпадение нормы самосопряженного оператора с его спектральным радиусом. Связь между инвариантными подпространствами оператора и его сопряженного. Свойства спектра компактного оператора в банаховом пространстве. Теорема Гильберта-Шмидта о компактных самосопряженных операторах в гильбертовом пространстве.
Лекция 15 (22.05.2019).
Операторы Тёплица и геометрическая интерпретация их индекса. Меры Радона на компактных пространствах. Интеграл Данфорда-Петтиса. Унитарные представления топологических групп. Мера Хаара. Регулярное представление компактной группы. Усреднение. Теорема Петера-Вейля о разложении унитарных представлений компактных групп. Следствия (в т.ч. конечномерность неприводимых представлений компактной группы).

Семинары

Листки

Каждый листок можно сдавать в течение двух приемов задач, не считая дня раздачи листка. После этого листок сдавать тоже можно, но за это будет начисляться в 2 раза меньше баллов.

Задачи в листках, помеченные буквой "B", являются бонусными. За их решение начисляются дополнительные баллы.

Вопросы к коллоквиуму 22.03.2019

Вопросы к экзамену 24.05.2019

Критерии оценки знаний

Список литературы

Rambler's Top100