На главную

Топология. 2008/2009 учебный год.

Программа курса

Третий модуль

1. Введение. Примеры топологических идей и задач, которые мы научимся решать/доказывать в этом курсе: основная теорема алгебры, теорема Борсука о склеивании отображения S² --> R² и Sⁿ --> Rⁿ, неподвижные точки отображений, векторные поля на поверхностях, Эйлерова характеристика, идея пересечения.
2. Топологические пространства. Открытые множества, топологическая структура. База топологии. Непрерывные отображения. Примеры топологических пространств: метрические пространства, топология Зарисского, инвариантные топологии, дискретная топология. Индуцированная топология. Операции над топологическим пространствами: несвязное объединение, прямое произведение, фактортопология, конус, надстройка. Джойн. Компактность. Связность и линейная связность. Гомеоморфизм. Примеры конкретных топологических пространств: сферы, проективные пространства, грассмановы многообразия, группы Ли.
3. Гомотопия отображений. Стягиваемость выпуклых множеств. Фундаментальная группа топологического пространства. Ее вычисление для простейших пространств: окружности, сфер, проективных пространств, двумерных поверхностей, грассманианов. Старшие гомотопические группы, их зависимость от отмеченной точки. Коммутативность старших гомотопических групп. Гомотопическая эквивалентность. Гомотопическая инвариантность гомотопических групп. Понятие о размерности топологического пространства.
4. Накрытия, примеры накрытий. Свойство накрывающей гомотопии, классификация накрытий данного пространства в терминах фундаментальной группы.
5. Клеточные пространства. Клеточная структура классических многообразий. Лемма Борсука. Применение клеточной структуры к вычислению фундаментальной группы. Относительные гомотопические группы и точная последовательность пары.
6. Гладкие многообразия. Классификация двумерных компактных связных многообразий. Многообразия с краем. Касательное пространство, риманова структура. Аппроксимации непрерывных отображений гладкими. Ориентируемость.
7. Степень отображения. Классификация отображений Mⁿ --> Sⁿ. Инвариант Хопфа. Индекс векторного поля, его гомотопическая инвариантность. Эйлерова характеристика. Основная теорема алгебры, неподвижная точка отображения шара в себя.

Пятый модуль

1. Расслоения. Свойство накрывающей гомотопии для расслоений. Точная гомотопическая последовательность расслоения.
2. Гомологии цепного комплекса, их наглядный смысл. Симплициальные гомологии симплициальных комплексов. Первые примеры вычисления. Сингулярные гомологии. Отображения (гомоморфизмы) цепных комплексов. Топологическая и гомотопическая инвариантность групп сингулярных гомологий. Гомологии с произвольными коэффициентами.
3. Основные свойства сингулярных гомологий и методы их вычисления. Точная последовательность пары, тройки, Майера-Вьеториса. Клеточные гомологии. Инвариантность клеточных и симплициальных гомологий.
4. Теория Морса. Комплекс Морса, приклеивание ручек. Перестройки функций Морса. Неравенства Морса. Гомологии гладких многообразий. Фундаментальный цикл.
5. (Если останется время). Когомологии и двойственность Пуанкаре. Индекс пересечения. Двойственность Александера. Гомологический смысл степени отображения, индекса векторного поля, инварианта Хопфа. Индекс зацепления кривых как степень отображения.
6. (Если останется время). Мультипликативная структура в когомологиях. Существование нетривиальных отображений RP^m --> RPⁿ, m>n, и задача Борсука. Сопряженные комплексы и оператор Лапласа. Общее представление о комплексе де Рама.

Записки лекций

Задачи семинаров

Листок 1

Листок 2

Листок 3

Листок 4

Домашнее задание ко вторнику, 23 мая: задачи 5аб, 6б, 7в, 8абв и 9 письменно.

Зачеты и экзамены

Зачет 3 марта 2009 г., вариант 1.

Зачет 3 марта 2009 г., вариант 2.

Зачет 5 марта 2009 г., вариант 1.

Зачет 5 марта 2009 г., вариант 2.

После 5-го модуля предполагается письменный экзамен.