На главную
Расписание занятий
Функциональный анализ – 2. Весна 2015/2016 учебного года
Аннотация курса
- Лекция 1 (14.01.2016).
- Топологически инъективные операторы, открытые операторы,
изометрии, коизометрии. Факторпространства нормированных пространств. Универсальное свойство факторпространств.
Полнота факторпространств. Теорема Банаха об открытом отображении.
- Лекция 2 (21.01.2016).
- Сопряженное (двойственное) пространство, сопряженный
(двойственный) оператор. Примеры. Каноническое вложение нормированного пространства во второе сопряженное.
Рефлексивность. Примеры рефлексивных и нерефлексивных банаховых пространств.
Аннуляторы, преданнуляторы, их свойства. Описание пространств, сопряженных к подпространству и к факторпространству.
- Лекция 3 (28.01.2016).
- Связь свойств оператора со свойствами его сопряженного.
Теорема о замкнутом образе. Лемма Джонсона о точных последовательностях банаховых пространств.
- Лекция 4 (04.02.2016).
- Спектр элемента алгебры. Примеры. Алгебраические свойства
спектра (поведение при гомоморфизмах, теорема об отображении спектра для многочленов, спектр обратного
элемента). Банаховы алгебры. Примеры. Свойства группы обратимых элементов банаховой алгебры.
Автоматическая непрерывность гомоморфизмов в C.
- Лекция 5 (11.02.2016).
- Компактность спектра элемента банаховой алгебры.
Резольвентная функция и ее свойства. Непустота спектра. Теорема Гельфанда-Мазура. Спектральный радиус.
Точечный, непрерывный и остаточный спектры линейного оператора; примеры их вычисления.
- Лекция 6 (18.02.2016).
- Связь между частями спектра линейного оператора
и частями спектра его сопряженного. Пример: части спектра операторов сдвига.
Фредгольмовы операторы, индекс. Замкнутость образа фредгольмова оператора (лемма Като). Фредгольмовость
и индекс сопряженного оператора. Аддитивность фредгольмова индекса. Теорема Шаудера о компактности
сопряженного оператора.
- Лекция 7 (25.02.2016).
- Теория Рисса-Шаудера операторов вида "1+компактный".
Следствия: абстрактные теоремы Фредгольма, классические теоремы Фредгольма в пространствах L^2 и C[a,b].
Свойства спектра компактного оператора.
- Лекции 8-9 (10.03.2016).
- Критерий фредгольмовости Никольского-Аткинсона.
Алгебра Калкина. Существенный спектр. Открытость множества фредгольмовых операторов.
Локальная постоянность индекса. Устойчивость индекса при компактных возмущениях. Теорема Никольского
о фредгольмовых операторах с нулевым индексом. Операторы Тёплица и геометрическая интерпретация их индекса.
Топологические векторные пространства. Топология, порожденная семейством полунорм. Примеры.
- Лекция 10 (17.03.2016).
- Дальнейшие примеры топологий, порожденных семействами полунорм
(пространства непрерывных и гладких функций, пространство Шварца, сильная и слабая операторные топологии).
Выпуклые, закругленные, абсолютно выпуклые и поглощающие множества в векторных пространствах.
Функционал Минковского и его свойства.
Локально выпуклые пространства и их "полинормируемость". Критерии непрерывности полунормы на локально
выпуклом пространстве и оператора между локально выпуклыми пространствами.
- Лекция 11 (24.03.2016).
- Эквивалентные семейства полунорм. Примеры. Линейные
функционалы на локально выпуклых пространствах (продолжение с подпространства, разделение точек).
Проективные и индуктивные локально выпуклые топологии. Примеры: стандартные топологии на пространствах
непрерывных и гладких функций с компактным носителем.
- Лекция 12 (07.04.2016).
- Описание сходящихся последовательностей в пространстве
D(U) гладких функций с компактным носителем. Эквивалентность непрерывности и секвенциальной
непрерывности линейных отображений из D(U). Дуальные пары и слабые топологии. Частные случаи:
слабая топология на локально выпуклом пространстве и слабая* топология на его сопряженном. Описание
функционалов, непрерывных в слабой топологии дуальной пары. Критерий рефлексивности в терминах топологий
на сопряженном. Сопряженные операторы между дуальными парами. Слабая непрерывность линейных операторов.
- Лекция 13 (08.04.2016).
- Аннуляторы, их свойства. Теорема о двойном аннуляторе
и ее следствия. Равностепенно непрервыные семейства линейных отображений. Теорема Банаха-Алаоглу-Бурбаки.
Оператор, сопряженный к оператору между гильбертовыми пространствами. Основные свойства операции
перехода к сопряженному оператору. C*-тождество.
- Лекция 14 (14.04.2016).
- Связь свойств оператора между гильбертовыми пространствами
со свойствами его сопряженного. Вещественность спектра самосопряженного оператора.
Совпадение нормы нормального оператора с его спектральным радиусом. Инвариантность ортогонального дополнения
к инвариантному подпространству самосопряженного оператора. *-алгебры, банаховы *-алгебры, C*-алгебры.
Примеры. Непрерывность *-представлений банаховых *-алгебр. Непрерывное исчисление от самосопряженного
оператора (существование, единственность, изометричность). Примеры. Теоремы об отображении спектра
и о композиции для непрерывного исчисления.
- Лекция 15 (21.04.2016).
- Комплексные меры. Вариация комплексной меры.
Интегрирование ограниченных измеримых функций по комплексной мере. Описание пространства, сопряженного
к пространству ограниченных измеримых функций. Меры Радона. Теорема Рисса-Маркова-Какутани (без доказательства).
Слабо-мерная топология на алгебре ограниченных борелевских функций и слабая операторная топология на B(H).
Раздельная непрерывность умножения в этих топологиях. Связь между операторами в гильбертовом пространстве
и полуторалинейными формами. Продолжение *-представлений алгебры C(X) на алгебру B(X) ограниченных
борелевских функций. Борелевское исчисление от самосопряженного оператора.
- Лекция 16 (28.04.2016).
- *-модули над банаховыми *-алгебрами. Циклические *-модули.
Примеры. Теорема о функциональной модели циклического C(X)-*-модуля. Следствие: теорема о функциональной
модели самосопряженного циклического оператора. Гильбертовы суммы *-модулей. Разложение *-модуля на циклические слагаемые.
Теоремы о функциональной модели для C(X)-*-модулей и (как следствие) для самосопряженных операторов.
Спектральные меры. Интеграл по спектральной мере. Регулярные спектральные меры.
Спектральное разложение для *-представлений алгебры C(X) и (как следствие) для самосопряженных операторов.
Замечания о теории кратности и о классификации самосопряженных операторов.
28.04.2016: прием задач (листки 5-6).
21.04.2016: классический семинар.
14.04.2016: прием задач (листки 4-5). Deadline по листку 4!
07.04.2016: классический семинар.
24.03.2016: прием задач (листки 3-5). Deadline по листку 3!
17.03.2016: классический семинар.
03.03.2016: 2-я пара — классический семинар, 3-я пара — прием задач (листки 3,4).
25.02.2016: прием задач (листки 1-3). Deadline по листкам 1-2!
18.02.2016, 11.02.2016: классический семинар
04.02.2016, 28.01.2016: прием задач (листки 1,2)
21.01.2016, 14.01.2016: классический семинар
Каждый листок можно сдавать в течение двух приемов задач, не считая дня раздачи листка.
После этого листок сдавать тоже можно, но за это будет начисляться в 2 раза меньше баллов.
Задачи в листках, помеченные буквой "B", являются бонусными. За их решение начисляются дополнительные баллы.
Вопросы к коллоквиуму 12.05.2016
Список литературы
