На главную
Расписание занятий

Функциональный анализ – 2. Весна 2016/2017 учебного года

(лектор А.Ю.Пирковский, семинары М.З. Ровинский)

Аннотация курса

Лекции

Лекция 1 (13.01.2017).
Топологически инъективные операторы, открытые операторы, изометрии, коизометрии. Факторпространства нормированных пространств. Универсальное свойство факторпространств. Полнота факторпространств. Теорема Банаха об открытом отображении.
Лекция 2 (20.01.2017).
Сопряженное (двойственное) пространство, сопряженный (двойственный) оператор. Примеры. Каноническое вложение нормированного пространства во второе сопряженное. Рефлексивность. Примеры рефлексивных и нерефлексивных банаховых пространств. Аннуляторы, преданнуляторы, их свойства.
Лекция 3 (27.01.2017).
Описание пространств, сопряженных к подпространству и к факторпространству. Связь свойств оператора со свойствами его сопряженного. Теорема о замкнутом образе. Лемма Джонсона о точных последовательностях банаховых пространств.
Лекция 4 (03.02.2017).
Спектр элемента алгебры. Примеры. Алгебраические свойства спектра (поведение при гомоморфизмах, теорема об отображении спектра для многочленов, спектр обратного элемента). Банаховы алгебры. Примеры. Свойства группы обратимых элементов банаховой алгебры.
Лекция 5 (10.02.2017).
Компактность спектра элемента банаховой алгебры. Резольвентная функция и ее свойства. Непустота спектра. Теорема Гельфанда-Мазура. Спектральный радиус. Примеры: спектры операторов умножения и оператора сдвига в l2(Z).
Лекция 6 (17.02.2017).
Точечный, непрерывный и остаточный спектры линейного оператора. Соотношения между частями спектра линейного оператора и частями спектра его сопряженного. Примеры: части спектра диагонального оператора и операторов сдвига в lp. Фредгольмовы операторы, индекс. Замкнутость образа фредгольмова оператора (лемма Като). Фредгольмовость и индекс сопряженного оператора. Аддитивность фредгольмова индекса.
Лекция 7 (03.03.2017).
Теорема Шаудера о компактности сопряженного оператора. Теория Рисса-Шаудера операторов вида "1+компактный". Следствия: абстрактные теоремы Фредгольма, свойства спектра компактного оператора.
Лекция 8 (10.03.2017).
Топологические прямые суммы и дополняемые подпространства. Критерий фредгольмовости Никольского-Аткинсона. Алгебра Калкина. Существенный спектр линейного оператора.
Лекция 9 (17.03.2017).
Открытость множества фредгольмовых операторов. Локальная постоянность индекса. Устойчивость индекса при компактных возмущениях. Теорема Никольского о фредгольмовых операторах с нулевым индексом. Операторы Тёплица и геометрическая интерпретация их индекса. Топологические векторные пространства. Топология, порожденная семейством полунорм.
Лекция 10 (24.03.2017).
Локально выпуклые пространства и их "полинормируемость" (без доказательства). Примеры локально выпуклых пространств (пространства непрерывных и гладких функций, пространство Шварца, сильная и слабая операторные топологии). Критерии непрерывности полунормы на локально выпуклом пространстве и оператора между локально выпуклыми пространствами. Эквивалентные семейства полунорм. Линейные функционалы на локально выпуклых пространствах (продолжение с подпространства, разделение точек и подпространств).
Лекция 11 (31.03.2017).
Дуальные пары и слабые топологии. Частные случаи: слабая топология на локально выпуклом пространстве и слабая* топология на его сопряженном. Описание функционалов, непрерывных в слабой топологии дуальной пары. Критерий рефлексивности в терминах топологий на сопряженном. Сопряженные операторы между дуальными парами. Слабая непрерывность линейных операторов. Аннуляторы, их свойства. Теорема о двойном аннуляторе и ее следствия.
Лекция 12 (07.04.2017).
Равностепенно непрервыные семейства линейных отображений. Теорема Банаха-Алаоглу-Бурбаки. Оператор, сопряженный к оператору между гильбертовыми пространствами. Основные свойства операции перехода к сопряженному оператору. C*-тождество. Связь свойств оператора между гильбертовыми пространствами со свойствами его сопряженного. Полуторалинейная и комплексно-квадратичная формы, связанные с оператором в гильбертовом пространстве. Характеризация самосопряженных операторов в терминах квадратичных форм.
Лекция 13 (14.04.2017).
Вещественность спектра самосопряженного оператора. Совпадение нормы нормального оператора с его спектральным радиусом. Инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству самосопряженного оператора. *-алгебры, банаховы *-алгебры, C*-алгебры. Примеры. Непрерывность *-гомоморфизмов из банаховых *-алгебр в C*-алгебры. Непрерывное исчисление от самосопряженного оператора (существование, единственность, изометричность). Примеры. Теоремы об отображении спектра и о композиции для непрерывного исчисления.
Лекция 14 (21.04.2017).
Полунепрерывность спектра. Теоремы о непрерывности непрерывного исчисления от самосопряженного оператора. Положительные операторы. Теорема о квадратном корне из положительного оператора. Характеризации положительных операторов. Свойства множества положительных операторов. Отношение порядка на самосопряженных операторах. Разложение самосопряженного оператора в разность положительных. Модуль оператора. Алгебраические характеризации изометрий, коизометрий, унитарных операторов и ортогональных проекторов. Частичные изометрии и их алгебраическая характеризация.
Лекция 15 (28.04.2017).
Полярное разложение операторов в гильбертовом пространстве. Единственность полярного разложения. Приложение: деформационная ретракция GL(H) на U(H). Меры Радона и теорема Рисса-Маркова-Какутани (обзор). Слабо-мерная топология WM на алгебре B(X) ограниченных борелевских функций. Плотность C(X) в (B(X),WM). Раздельная непрерывность умножения и непрерывность инволюции в WM.
Лекция 16 (19.05.2017).
Раздельная непрерывность умножения и непрерывность инволюции в слабой операторной топологии. Связь между операторами в гильбертовом пространстве и полуторалинейными формами. Продолжение *-представлений алгебры C(X) на алгебру B(X) ограниченных борелевских функций. Борелевское исчисление от самосопряженного оператора. *-модули над банаховыми *-алгебрами. Циклические *-модули. Примеры. Теорема о функциональной модели циклического C(X)-*-модуля. Следствие: теорема о функциональной модели самосопряженного циклического оператора.
Лекция 17 (24.05.2017).
Гильбертовы суммы *-модулей. Разложение *-модуля на циклические слагаемые. Теоремы о функциональной модели для C(X)-*-модулей и (как следствие) для самосопряженных операторов. Спектральные меры. Интеграл по спектральной мере. Радоновские спектральные меры. Спектральное разложение для *-представлений алгебры C(X) и (как следствие) для самосопряженных операторов. Замечания о теории кратности и о классификации самосопряженных операторов.

Семинары

Листки

Каждый листок можно сдавать в течение двух приемов задач, не считая дня раздачи листка. После этого листок сдавать тоже можно, но за это будет начисляться в 2 раза меньше баллов.

Задачи в листках, помеченные буквой "B", являются бонусными. За их решение начисляются дополнительные баллы.

Вопросы к экзамену 26.05.2017

Список литературы

Rambler's Top100