На главную
Расписание занятий

Семинар «Гомологические и гомотопические методы в геометрии»

Направления работы   Ближайшие доклады   Материалы предыдущих заседаний  

Занятия происходят по средам в ауд. 522 главного здания ГУ-ВШЭ (Мясницкая ул., д. 20, 5 этаж, из лифта направо в дверь, потом по коридору налево). Cтуденческая секция (если бывает) — обычно с 16⁴⁰ до 18⁰⁰, взрослая секция — обычно с 18¹⁰ до 19⁴⁰. Точное время заседаний см. ниже.

Для прохода в здание нужен пропуск, оформить который участники семинара могут связавшись за пару дней до визита с Алексеем Городенцевым (город ат итеп ру латинскими буквами; здесь же можно попросить о включении адреса вашей электронной почты в список рассылки информации о семинаре).

Направления работы семинара

Ближайшие доклады

27 мая 2009, 17⁰⁰, ауд. 522 (взрослая секция):

Vincent Pasquier. Alternating sign matrices from a physicist point of view.
There has recently been a convergence of interests between combinatorics and physics through the observation due to Razumov and Stroganov that the components of the ground state wave function of the 6-vertex (at a special value of the anisotropy parameter) model enumerate alternating sign matrices. This correspondence is still mysterious. I shall present one approach to the problem which uses the Macdonald polynomials and points towards a connection with the Quantum Hall Effect.

Материалы предыдущих заседаний

8 апреля 2009, 17⁰⁰, ауд. 522 (взрослая секция):

М.Спиваковский (Университет Тулузы, Франция). Гипотеза Пиерса-Биркгоффа и вещественный спектр кольца.
Функция f: Rⁿ→R называется кусочно полиномиальной, еслиона непрерывна и существует конечный набор многочленов f_i от n переменных, такой, что для каждого x в Rⁿ выполняется равенство f(x)=f_i(x) для некоторого i. Гипотеза Пиерса-Биркгоффа состоит в том, что всякая кусочно-полиномиальная функция f может быть получена из конечного набора многочленов при помощи операций «максимум» и «минимум». Гипотеза уже доказана в размерностях 1 и 2. Было рассказано о программе её доказательства и о некоторых частных результатах в размерности 3 и выше. Предлагаемый метод решения задачи использует понятие вещественного спектра кольца многочленов. Большая часть доклада была посвящена ему. При помощи вещественного спектра, было объяснено, что на самом деле гипотеза Пиерса-Биркгоффа — это задача о контакте между двумя кривыми в эвклидовом пространстве.

1 апреля 2009, 16⁴⁰, ауд. 522 (взрослая секция):

В.Голышев. Тензорная категория особенностей.
Было рассказано о возможности кодирования поведения фуксовых систем (их монодромий, особенностей и т.п.) относительно свёрток посредством тензорной категории векторных пространств, снабжённых несимметричной билинейной формой и взвешенных набором комплексных чисел.

25 марта 2009, 17³⁰, ауд. 522 (взрослая секция):

Ш.Шакиров. Аналог log det = tr log тождества для результантов

Было рассказано об эффективном способе явного вычисленя результанта системы n обнородных полиномиальных уравнений заданных степеней d₁, d₂, ... , d_n от n неисвестных (результант — это универсальный неприводимый полином от коэффициентов уравнений, зависящий только от n и d₁, d₂, ... , d_n, который обращается в нуль в точности на системах, имеющих ненулевое решение). Способ основан на тождествах, связывающих формальные разложения логарифма результанта, аналогичных соответствующим тождествам для определителя (результанта ситемы линейных урвнений). В 2008 году эта работа стала лауреатом конкурса Мёбиуса.

18 марта 2009, 17³⁰, ауд. 522 (взрослая секция):

Д.Каледин. О восстановлении К-теории по производной категории (продолжение предыдущего доклада)

Были изложены детали основной конструкции и дан набросок доказательства теоремы о восстановлении.

11 марта 2009, 17⁰⁰, ауд. 522 (взрослая секция):

Д.Каледин. О восстановлении К-теории по производной категории

Было рассказано о расслоенных категориях и К-теории по Вальдхаузену, а также небросана основная конструкция - фильтрованная производная категория, и сформулирована теорема о восстановлении К-теории по фильтрованной структуре.

21 января 2009.

16⁴⁰, ауд. 522 (суденческая секция): Обсуждение оригинальной работы А.А.Маркова «О бинарных квадратичных формах положительного определителя» и её связи с решётками Мукаи (продолжение)

18¹⁰, ауд. 522 (взрослая секция): А.Л.Городенцев. Барицентрически инвариантное функториальное гомотопически ассоциативное коумножение комбинаторных симплициальных цепей

Было рассказано об A_∞-копроизведениях и их индуцировании на подкомплексы, а также о функториальном относительно отображений конечных множеств индуцировании функториальных A_∞-копроизведений симплициальных цепей с барицентрического разбиения (комбинаторного) симплициального комплекса на сам комплекс (над полем нулевой характеристики такое индуцирование существует и единственно с точностью до умножения на константу). Мы покажем, что над полем нулевой характеристики имеется единственное функториальное A_∞-копроизведение (комбинаторых) симплициальных цепей, которое индуцирует само себя с барицентрического разбиения. На отрезке его можно вычислить явно, и ответ, по-существу, даётся рядом Тодда. В общем случае ответ, судя по всему, тесно связан с каноническим проектированием пополненной тензорной алгебры на подпространство лиевских рядов и с формулой Кэмпбела-Хаусдорфа.

27 ноября и 4 декабря 2008.

16⁴⁰, ауд. 236 (суденческая секция): Обсуждение оригинальной работы А.А.Маркова «О бинарных квадратичных формах положительного определителя» и её связи с решётками Мукаи

18¹⁰, ауд. 234 (взрослая секция): Игорь Артамкин. Производящие функции графов.

Было рассказано о производящих функциях для различных семейств графов и их связи с уравнением теплопроводности, уравнением Бюргерса и задачей обращения полиномиального отображения.

13 ноября 2008.

16⁴⁰, ауд. 224 (суденческая секция): А.Л.Городенцев. С.А.Кулешов. Ввведение в алгебру Римана - Роха.

Было рассказано о формальных степенных рядах и решётке Мукаи проективного пространства. Продолжение следует.

18¹⁰, ауд. 234 (взрослая секция): Эмиль Ахмедов. Комплексы Сташефа и граф-комплексы.

Было рассказано о комбинаторной топологии полиэдральных комплексов, связанных с триангуляциями римановых поверхностей с многоугольными дырками. В качестве клеток этих комплексов выступают многогранники Сташефа, а правила их склейки происходят из комбинаторики графов на поверхности. Картина была представлена глазами физиков.

6 ноября 2008.

16⁴⁰, ауд. 222 (суденческая секция) Сергей Кулешов. О формах Маркова. Записки в формате PS.GZ.

18¹⁰, ауд. 234 (взрослая секция): Василий Голышев. О квантовых мотивах.

Квантовые мотивы еще не построены, зато их реализации — дело понятное, ими можно пользоваться. Мы обсудим некоторые известные теоремы с квантово-мотивной точки зрения, и сформулируем важные для приложений задачи.

30 октября 2008

А.Л.Городенцев. Цепочка Маркова, формы Давенпорта и решётки Мукаи, 3.

Продолжение предыдущего обсуждения.

20 октября 2008, ауд. 522, начало в 18¹⁰.

А.Л.Городенцев. Цепочка Маркова, формы Давенпорта и решётки Мукаи, 2.

Продолжение предыдущего обсуждения.

13 октября 2008, ауд. 522, начало в 18¹⁰.

А.Л.Городенцев. Цепочка Маркова, формы Давенпорта и решётки Мукаи, 1.

Это первый из двух докладов, намеченных в продолжение доклада А.Н.Рудакова семинаре от 6 октября. Цепочка марковских квадратичных форм (корни которых суть действительные числа с наихудшими рациональными приближениями, см. книгу: Дж. Касселс. Введение в теорию диофантовых приближений (колхоз, dvd 11)) будет проинтерпретирована в теминах трёхмерной решётки с несимметричным скалярным произведением (решётки Мукаи категории когерентных пучков на проективной плоскости). Мы обсудили общие свойства таких решёток (классификацию, действие группы кос на полуортогональных базисах), а также возможные обобщения цепочки Маркова (гипотетическую связь кубических форм Давенпорта, доставляющих изолированные максимумы для однородных минимумов вполне вещественных кубических форм, с четырёхмерными решётками Мукаи). Студентам, заинтересовавшимся этой тематикой, рекомендуется помимо цитированной книги Касселса посмотреть следующую далее подборку листочков с задачами о цепных дробях и дофантовых приближениях квадратичных иррациональностей (или скачать все 4 листка одним файлом):

Листок 0. Площади на клетчатой бумаге (совсем вводный листок с полезными стандартными формулами)

Листок 1. Задача о трёх кузнечиках (геометрия разложения в цепную дробь)

Листок 2. Цепные дроби (аналитические свойства и теорема Лагранжа)

Листок 3. Вещественные квадратичные иррациональности (рациональные приближения, группа единиц и уравнение Пелля)

6 октября 2008.

А.Н.Рудаков. Уравнение Маркова и некоторые связанные с ним задачи.

Уравнение Маркова – это диофантово уравнение x²+y²+z²=3xyz. Его решения естественно организуются в бинарное дерево – дерево Маркова. Было рассказано (с надеждой, что студенты тоже поняли) о некоторых задачах, которые связаны с этим уравнением, в том числе об имеющей более чем столетнюю историю (и до сих пор не решённой) проблеме Маркова.

А.Л.Городенцев. Функториальные гомотопические копроизведения на симплициальных цепях.

Был дан анонс (неопубликованной пока) работы Городенцева, Лосева и Лысова о функториальном относительно отображений конечных множеств и барицентрически инвариантном гомотопически коассоциативном копроизведении комбинаторных симплициальных цепей.