На главную
Расписание занятий

Темы рефератов

Необходимо выбрать одну из тем по договоренности с преподавателем, ее предложившим. Электронные адреса преподавателей смотрите в списке сотрудников факультета.

Ю.М.Бурман

  1. Представление числа пи в виде бесконечного произведения и объем n-мерного шара.
    Курант, Роббинс, «Что такое математика», МЦНМО, 2001, стр 539.
  2. Третья проблема Гильберта (неравносоставленные многогранники).
    Болтянский, «Третья проблема Гильберта».
  3. Теорема Ван-дер-Вардена об арифметических прогрессиях.
    Хинчин, «Три жемчужины теории чисел».
  4. Кривая Пеано
    Гелбаум и Олмстед, «Контрпримеры в анализе».
  5. Теорема Сильвестра о числе вещественных корней многочлена.
    Прасолов, «Многочлены».
  6. Неравенство Мюрхеда.
    Прасолов, «Многочлены».
  7. Теорема Ван-ден-Берга о фокусах эллипса.
    Прасолов, «Многочлены».

А.Л.Городенцев

  1. Решение (в целых числах) уравнения Пелля x2+d y2=N и группа единиц вещественного квадратичного поля.
    К.Айрлэнд, М.Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. (§5 из гл.17)
    З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич. Теория чисел. (§8 из гл.II)
    а также задачи А.Л.Городенцева выдавашиеся на семинаре Рудакова.
  2. Теорема Лагранжа о представлении вещественных квадратичных иррациональностей периодическими цепными дробями.
    А.Я.Хинчин. Цепные дроби. (§10 из гл.2)
    а также задачи А.Л.Городенцева выдавашиеся на семинаре Рудакова.
  3. Критерии трансцендентности:
  4. Метод Штурма отыскания вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами (и в частности, быстрого нахождения их количетва).
    И.Р.Шафаревич. Избранные главы алгебры. Учебное пособие для школьников.. (приложение к гл.5)
  5. Многочлены γk(x):=(x-1)(x-2)...(x-k)/k! образуют базис (над кольцом целых чисел Z) модуля целозначных (т.е. принимающих целые значения при любых целых значениях x) многочленов с рациональными коэффициентами. Интересно также изучить матрицу перехода от этого базиса к стандартному базису из степеней {xn} и её связь с количеством сюрьективных отображений между двумя данными конечными множествами.
    (к сожалению, я не знаю места, где этот очень простой и крайне полезный сюжет был бы коротко и внятно написан, и одним из общественно полезных последствий разбора этой темы могла бы быть коротенькая заметка в журнал типа «Квант»)
  6. Вычисление степенных сумм Sk(n)=1k+2k+3k+...+nk, и связанные с этим вычислением свойства ряда Тодда td(x)=x/(1-e-x), чисел Берулли и действия Q[[d/dx]] на Q[x].
    Н.Бурбаки. Функции действительного переменного. Элементарная теория.
    см. также Листок 28 3/4 из моего курса анализа для школьников.
    (другой подход имеется в книгах К.Айрлэнд, М.Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. (гл.15) и З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич. Теория чисел. (§8 из гл.V))
  7. Вычисление (бесконечных) степенных сумм ζ(2m)=1-2m+2-2m+3-2m+... и связанные с ним разложения тангенса (в ряд), а синуса (в произведение), снова числа Бернулли и т.д. и т.п. (тут возможен «бригадный подряд» сразу нескольких человек, берущихся разобрать отдельные куски этой и предыдущей задачи)
    К.Айрлэнд, М.Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. (гл.15)
    З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич. Теория чисел. (§8 из гл.V)
    Ж.-П.Серр. Курс арифметики. (гл.VI)
  8. Квадратичный закон взаимности.
    К.Айрлэнд, М.Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. (гл.5,6)
    Ж.-П.Серр. Курс арифметики. (гл.I)
    см. также наш Листок 5 1/2 из курса алгебры первого модуля и Листок 3 из курса С.Локтева, прочитанного этой осенью в Независимом университете.
  9. Конечные поля (тут также весьма уместен «бригадный подряд»):
  10. Циклотомические многочлены (или многочлены деления круга) — это многочлены, корнями которых являются все комплексные первообразные корни данной степени из единицы; они неприводимы над рациональными числами, имеют целые коэффициенты, могут быть явно эффективно вычислены и т.д. и т.п. (тут возможен и желателен «бригадный подряд» с выбравшими для себя предыдущую задачу)
    К.Айрлэнд, М.Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. (гл.13)
    А.И.Кострикин. Введение в алгебру (ищите сами)
    см. также наш Листок 6 1/2 из курса алгебры первого модуля.
  11. Асимптотика Стирлинга для n! (любой классический курс анализа, например Фихтенгольца или Зорича)
  12. Равномерное прибоижение вещественной функции многочленами Бернштейна (loc.cit)
  13. Задача Л.Г.Макар-Лиманова про 15 стаканчиков из нашего листка 2 по алгебре за первый модуль, и её обобщение на произвольное треугольное, и что совсем уж интересно, нетреугольное число стаканчиков. Прочесть едва ли возможно. Трудная творческая задача, где весьма уместны компьютерные эксперименты.
  14. Даны четыре попарно скрещивающихся прямые в трёхмерном пространстве. Сколько прямых пересекает их все? Хорошо бы найти все возможные ответы как для вещественного пространства R3, так и для комплексного пространства C3 (что проще), а также для соответствующих проективных пространств RP3 и CP3 (что ещё проще, особенно второе), и указать те ответы, которые устойчивы относительно малых шевелений данной четвёрки прямых. Приветствуется «бригадный подряд» с заинтересовавшимися идущей следом задачей.
    Д.Гильберт, С.Кон-Фоссен. Наглядная геометрия, а также лекцию 2 из курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow.
  15. Schleflische Doppelsechs Gerade Linien Konfiguration (двойная шестёрка Шлефли): для любых пяти попарно скрещивающихся прямых 1,2,3,4,5 в пространстве, пересекающих некую шестую прямую 6', существует (при некоторых не очень ограничительных предположениях) единственная аналогичная шестёрка прямых 1',2',3',4',5',6, такая что прямые i и j' скрещиваются при i=j и пересекаются во всех остальных случаях.
    Д.Гильберт, С.Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. (§25 из гл.III)
  16. Теорема Безу о том, что две кривые степеней m и n без общих компонент на плоскости (комплексной проективной) имеют ровно mn точек пересечения (если учитывать их с надлежащими кратностями, определяемыми простым и наглядным правилом Цейтена).
    Р. Уокер. Алгебраические кривые;
    J.G.Semple, G.T.Kneebone. Algebraic projective geometry;
    J.G.Semple, L.Roth. Introduction to algebraic geometry;
    а также лекции 10, 11 из курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow.
  17. Цепочка Клиффорда. Имеется следующая серия задач, занумерованных натуральными числами n, начиная с n=4.
    При n=4 четыре прямые на плоскости, находящихся «в общем положении» (любые две пересекаются в одной точке, через которую не проходит никая третья), ограничивают 4 треугольника, и описанные вокруг этих треугольников окружности всегда пересекаются в одной точке (см. рис. справа).
    При n=5 пять прямых «в общем положении» содержат внутри себя 5 четвёрок прямых, каждая из которых, согласно предыдущему, производит точку пересечения четырёх окружностей, описанных вокруг четырёх ограниченных выбранными четырьмя прямыми треугольников. Эти пять точек пересечения четвёрок окружностей всегда лежат на одной окружности.
    При n=6 имеется 6 пятёрок прямых,х, каждая из которых, согласно предыдущему, производит окружность, на которой лежат 5 точек пересечения четвёрок окружностей ... Как Вы уже догадались, эти 6 окружностей всегда пересекаются в одной точке. И так далее.
    Это знаменитая задача. Историю вопроса и одно из возможных (и довольно таки старинных) решений с весьма оригинальным использованием комплексных чисел см. на сайтах http://www.gogeometry.com/clifford1.htm и http://www.maa.org/editorial/knot/CenterCircle.html.
  18. Плоские построения одной линейкой: (лекция 3 из курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow)
  19. Поризм Понселе: на плоскости (комплексной проективной) нарисованы две коники (приверженцам евклидовой геометрии рекомендутся представлять себе эллипс, лежащий внутри другого эллипса); из точки на одной из них (на внешнем эллипсе) выпускают касательную к другой (к внутреннему эллипсу) пока она снова не пересечёт первую конику (внешний эллипс); из полученной точки пересечения с первой коникой снова выпускают касательную ко второй конике до её пересечения с первой и т.д. — получается ломаная, вписанная в первую конику и описанная около второй; если эта ломаная замкнётся через n шагов в n-угольник, вписанный в первую конику и описанный около второй, то это явление будет иметь место при любом выборе начальной точки на первой конике, за исключением, разве что, конечного числа точек (в этом случае говорят, что две данные коники замкнуты друг с другом по Понселе).
    J.G.Semple, G.T.Kneebone. Algebraic projective geometry;
    J.G.Semple, L.Roth. Introduction to algebraic geometry;
    а также лекцию 3 из курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow.
  20. На любой гладкой кубической поверхности в трёхмерном пространстве (комплексном проективном) лежит ровно 27 прямых.
    М.Рид. Алгебраическая геометрия для всех (§8 из гл.V),
    а также лекцию 14 из курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow.

С.К.Ландо

  1. Теорема Кэли о перечислении деревьев и ее обобщения
    С.К.Ландо, «Лекции о производящих функциях», М., МЦНМО, 2007, Теорема 8.9.
    В.Н.Сачков, «Введение в комбинаторные методы дискретной математики», М., Наука, 1982, гл. IV, п.2, теорема 1.
  2. Перечисление пилообразных перестановок
    С.К.Ландо, «Лекции о производящих функциях», М., МЦНМО, 2007, стр. 64–68
  3. Теорема Татта об инвариантах графов, удовлетворяющих соотношению удаление/стягивание
    У.Татт, «Теория графов», М., Мир, 1988, Глава IX
  4. Теорема Уитни о существовании гамильтонова цикла в плоском графе
    У.Татт, «Теория графов», М., Мир, 1988, Глава XI, стр. 398
  5. Пфаффиан кососимметрической матрицы
    М.Н.Вялый, Пфаффианы, или искусство расставлять знаки... — Сборник «Математическое Просвещение», Выпуск 9 (2005 год), формула (7)
    Э.Б.Винберг, «Курс алгебры», М., Факториал, 1999
  6. Теорема Кастеляйна о числе совершенных паросочетаний в плоском графе
    М.Н.Вялый Пфаффианы, или искусство расставлять знаки... — Сборник «Математическое Просвещение», Выпуск 9 (2005 год), стр. 135, Теорема 1.
  7. Матричная теорема о деревьях
    У.Татт, «Теория графов», М., Мир, 1988, п. VI.4
  8. Полином Джонса
    В.В.Прасолов, А.Б.Сосинский, «Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия», М., МЦНМО, 1997, Глава II, п. 3.

М.В.Финкельберг

  1. Квадратичный закон взаимности Гаусса.
    Серр, «Курс арифметики», стр. 14–19 (Вариант: стр. 19–21).
  2. Вычисление суммы 1/n2k по n от 1 до бесконечности.
    Серр, «Курс арифметики», стр. 144–145.
  3. Цикличность мультипликативной группы остатков mod p.
    Серр, «Курс арифметики», стр. 11–12.
  4. Теорема Паскаля о вписанном шестиугольнике.
    Клеменс, «Мозаика теории комплексных кривых», стр. 19–20.
  5. Решение квадратных уравнений от 3 переменных в целых числах.
    Клеменс, «Мозаика теории комплексных кривых», стр. 37–39.
  6. Построение непрерывной нигде не дифференцируемой функции.
    Рудин, «Основы математического анализа», стр. 172--173.
  7. Явная формула для чисел Фибоначчи.
    Имеется в виду решение в рамках линейной алгебры.
    Воробьев, «Числа Фибоначчи».

О.В.Шварцман

  1. Автоморфизмы деревьев: классификация и теорема о том, что конечная группа автоморфизмов дерева, не содержащая отражений, обладает неподвижной точкой.
    О.В.Богопольский, «Введение в теорию групп«, 2002; глава 2, стр 60–62
  2. Группа PSL(2,F_5) изоморфна группе A_5.
    В.В. Доценко, «Математическое просвещение», т.12, 2008, 83–85.
  3. Правильные мозаики на плоскости: классификация и группы симметрий,
    Г.С.М. Кокстер, «Введение в геометрию», Наука, 1966 глава 5,6 + упражнеия к главе 5, стр 94–100.
  4. Любое преобразование плоскости, переводящее окружности в окружности, есть либо подобие, либо композиция подобия и инверсии.
    Г.С.М. Кокстер, Введение в геометрию, Наука, 1966 глава 6, стр. 142–144
  5. Теорема Пика и характеристика Эйлера.
    Ю.А. Шакин, «Эйлерова характеристика», Наука, 1984, стр. 19–22, 34–36.
  6. Основы геометрической теории цепных дробей: алгоритм Делоне, лемма Минковского,«хорошие» приближения.
    В.И. Арнольд, «Цепные дроби», МЦНМО, 2001, стр. 6–11
  7. Лемма Минковского о выпуклом теле.
    З.И. Боревич, И.Р. Шафаревич. «Теория чисел», Наука, 1982, стр. 131–132.

Б.Л.Фейгин

  1. q-аналог формулы бинома Ньютона
    Эндрюс, «Теория разбиений», теорема 2.1 на стр. 31.
  2. Вывод q-аналога формулы бинома Ньютона с помощью подпространств над конечным полем
    Эндрюс, «Теория разбиений», задачи 1, 2, 3 к главе 13, стр. 230.
  3. Тождество Якоби
    Эндрюс, «Теория разбиений», теорема 2.8 на стр. 35 (доказательство отличается от того, что разбиралось на просеминаре).
  4. Конечная форма тождества Якоби
    Эндрюс, «Теория разбиений», задача 1 к главе 3, стр. 63 (отсюда вытекает еще одно доказательство тождества Якоби).
  5. Тождество Роджерса–Рамануджана.
    Эндрюс, «Теория разбиений», задачи 10 и 11 к главе 3, стр. 63.
  6. Тождества Эйлера и Коши
    Эндрюс, «Теория разбиений», следствие 2.6 на стр. 34.
  7. Непрерывная дробь для числа e и непрерывная дробь Ламберта.
    Ленг, «Введение в теорию диофантовых приближений», стр. 90 и след.
  8. Теорема Эйлера–Лагранжа о периодических цепных дробях
    Ленг, «Введение в теорию диофантовых приближений», теорема 3 главы 4, стр. 69.
    Хинчин, «Цепные дроби», стр. 60.
    Rambler's Top100