На главную

Исследовательский просеминар

Лекторы: Б.Л.Фейгин, Ю.М.Бурман
       Программа.
       Задачи.

Программа

Следует сразу оговориться, что просеминар это не курс лекций, а шанс для слушателей попробовать заниматься «настоящей математикой». Слушателям будут предложены задачи, решение которых будет потом коллективно обсуждаться. Список тем, приведенный ниже, ни в коем случае не является окончательным — по ходу дела могут вноситься изменения и уточнения, появляться новые темы и т.п., в зависимости от вкусов и возможностей участников.
  1. q-биномиальные коэффициенты. Многим, вероятно, известна «формула бинома Ньютона»: (a + b)n = an + nan-1 + ... + n! an-kbk/(k!(n-k)!) + ... + bn. Оказывается, это частный случай более общей «q-биномиальной формулы», которая связана с такими непростыми вещами как подсчет количества точек в грассманиане над конечным полем, свободная энергия модели Ферми-Дирака (в квантовой физике) и разностная цепочка Тоды.
  2. Тождества Роджерса-Раманужана. Количество представлений натурального числа n в виде неупорядоченной суммы слагаемых, каждые два из которых отличаются не менее, чем на 2, равно количеству представлений того же числа n в виде суммы слагаемых, каждое из которых дает при делении на 5 остаток 1 или 4. Например, при n = 6 имеем 6 = 1 + 5 = 2 + 4 — три представления (представление с одним слагаемым считается), и 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 — тоже три представления.
  3. Инварианты узлов. Узел это замкнутая несамопересекающаяся кривая в обычном трехмерном пространстве. Простейшая из таких кривых — обычная окружность. Узел называется тривиальным, если его можно «развязать», то есть непрерывно продеформировать в пространстве так, чтобы в конце концов получилась окружность (при этом узел должен в процессе деформации оставаться узлом, то есть самопересечения и разрывы не допускаются; растягивать и сжимать можно). Довольно легко убедиться на практике, что не все узлы тривиальны. Но для доказательства того, что какой-нибудь конкретный узел «не развязывается», может потребоваться мощная техника современной топологии и комбинаторики.

Задачи и лекции