На главную
Исследовательский просеминар
Лекторы: Б.Л.Фейгин, Ю.М.Бурман
     
Программа.
     
Задачи.
Следует сразу оговориться, что просеминар это не курс лекций, а шанс для
слушателей попробовать заниматься «настоящей математикой».
Слушателям будут предложены задачи, решение которых будет потом коллективно
обсуждаться. Список тем, приведенный ниже, ни в коем случае не является
окончательным — по ходу дела могут вноситься изменения и уточнения,
появляться новые темы и т.п., в зависимости от вкусов и возможностей
участников.
- q-биномиальные коэффициенты. Многим, вероятно, известна
«формула бинома Ньютона»: (a + b)n = an
+ nan-1 + ... + n! an-kbk/(k!(n-k)!) + ... +
bn. Оказывается, это частный случай более общей
«q-биномиальной формулы», которая связана с такими
непростыми вещами как подсчет количества точек в грассманиане над конечным
полем, свободная энергия модели Ферми-Дирака (в квантовой
физике) и разностная цепочка Тоды.
- Тождества Роджерса-Раманужана. Количество представлений
натурального числа n в виде неупорядоченной суммы слагаемых, каждые
два из которых отличаются не менее, чем на 2, равно количеству
представлений того же числа n в виде суммы слагаемых, каждое из
которых дает при делении на 5 остаток 1 или 4. Например,
при n = 6 имеем 6 = 1 + 5 = 2 + 4 — три
представления (представление с одним слагаемым считается), и 6 = 1
+ 1 + 4 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 — тоже три представления.
- Инварианты узлов. Узел это замкнутая
несамопересекающаяся кривая в обычном трехмерном пространстве.
Простейшая из таких кривых — обычная окружность. Узел
называется тривиальным, если его можно «развязать», то
есть непрерывно продеформировать в пространстве так, чтобы в конце концов
получилась окружность (при этом узел должен в процессе деформации
оставаться узлом, то есть самопересечения и разрывы не
допускаются; растягивать и сжимать можно). Довольно легко убедиться на
практике, что не все узлы тривиальны. Но для доказательства того, что
какой-нибудь конкретный узел «не развязывается», может
потребоваться мощная техника современной топологии и комбинаторики.