На главную
Расписание занятий

Алгебра. Первый курс. 2008/2009 учебный год

Модули:  IIIIIIIV,   V.   Зачёты и экзамены  

Модуль I (лектор: А.Л.Городенцев)

Учебники   Программа   Записки лекций   Задачи семинаров   Индивидуальные задания  

Рекомендуемые учебники

Помимо выложенных ниже записок лекций (достаточных для успешной сдачи этого курса) рекомендуются следующие книги:
Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
А.Л. Городенцев. Вышкинская алгебра, модуль I. (PDF (1,2 Mb) и/или PS.GZ (600 kB))
И.Р. Шафаревич. Избранные главы алгебры (учебное пособие для школьников). Москва, «Математическое Образование», 2000 (или любое другое издание)
И.Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры. Ижевск, «R & C Dynamics», 1999 (или любое другое издание)

Программа модуля I

Множества и отображения
Подсчёт числа произвольных, биективных, инъективных, сюрьективных, возрастающих, неубывающих и т.п. отображений между (конечными упорядоченными) множествами. Мультиномиальные коэффициенты. Разбиения и диаграммами Юнга.
Знакомство с группами
Группа перестановок: чётность, цикловой тип, транспозиции, отражения. Группы многогранников. Смежные классы, индекс подгруппы, длина орбиты. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы. Простота знакопеременных групп.
Знакомство с коммутативными кольцами и полями
Комплексные числа. Алгоритм Евклида для целых чисел и многочленов. Кольца и поля вычетов Z/(p) и алгебраических чисел Q[x]/(f). Примеры конечных полей. Корни многочленов, отыскание кратных корней и общих корней нескольких многочленов. Китайская теорема об остатках. Неприводимость и взаимная простота элементов коммутативного кольца, НОД и НОК. Факториальность кольца целых чисел и кольца многочленов. K евклидово ⇒ K кольцо главных идеалов ⇒ K факториально. Гомоморфизмы, идеалы и факторизация. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю. Гауссовы целые числа.

Записки лекций

Публикуемые здесь записки не являются стенограммами реально читавшихся лекций и представляют собою нечто среднее между главами из учебника и планом занятий математического кружка. Как записки лекций, так и задачи семинаров публикуются в форматах pdf и ps.gz (GZipped PostScript). Второй формат обеспечивает на порядок более высокое качество печати, имеет несколько меньший объём и является общепринятым стандартом для электронных изданий по математике. Для работы с ним нужен (консольный) интерпретатор языка PostScript (напр. от GPL Ghostscript, скажем, GhostScript 8.63 для MS Win32), а также оконный интерфейс к нему (напр. GhostView).

Учебник «:Вышкинская алгебра, модуль I» (несколько расширенный, по сравнению с программой зачёта и экзамена) одним файлом можно скачать здесь: PDF (1,2 Mb) , PS.GZ (600 kB).

Знакомство с группами

Знакомство с коммутативными кольцами и полями

Задачи семинаров

Предлагаемые ниже задачи следует самостоятельно решать дома, понятно записывать свои решения, а затем на упражнениях по алгебре обсуждать записанные решения с преподавателями. Решать и сдавать задачи можно в любом порядке и в любые сроки. Если какие-то задачи долго не получаются, не надо стесняться обращаться за советами и помощью как к друзьям, так и к преподавателям — нашей целью является не контроль за тем, что вы «сдали», а обучение. Листочки с дробными номерами являются необязательными. Решение содержащихся в них задач весьма почётно, но никак не влияет ни на зачёт, ни на экзамен. .

Индивидуальные письменные задания

Кроме общих для всех задач семинаров каждому студенту было выдано два индивидуальных письменных домашних задания, цель которых — освоение стандартных вычислительных приёмов. Для получения зачёта по алгебре необходимо все эти задания сдать. Номер Вашего варианта в первой группе равен Вашему номеру в имеющемся у старосты списке группы, во второй группе получается добавлением к Вашему номеру в списке числа 20.

Модуль II (лектор: А.Н.Рудаков)

Программа   Планы и конспекты лекций   Задачи семинаров   Письменные домашние задания   В начало страницы  

Программа модуля II

Векторные пространства и базисы.
Линейная зависимость, линейные оболочки, существование и равномощность базисов. Оценки размерностей сумм и пересечений. Практическое отыскание базисов методом Гаусса, матричный формализм, связь с теорией линейных уравнений. Стандартные базисы в пространствах многочленов, полиномиальная интерполяция с кратными узлами и её крайние случаи – формулы Лагранжа и Тэйлора.
Линейные отображения и матрицы.
Алгебра матриц, элементарные преобразования и элементарные матрицы. Диагонализация и отыскание обратной матрицы методом Гаусса. Линейные отображения и их запись матрицами. Двойственность между подпространствами двойственных пространств. Ранг матрицы, строчный ранг равен столбцовому.
Грассмановы многочлены и определители.
Ориентированный объём параллелепипеда как однородная функция, инвариантная относительно «заваливания» параллелепипеда на бок с сохранением высоты. Полилинейность, существование и единственность объёма. Определити, их свойства и техника вычисления. Алгебра Грассмана (многочлены от «фермионных» переменных): размерность, базис, центр. Стандартный вид грассмановой квадратичной формы. Линейная замена переменных в грассмановом многочлене: миноры, разложение определителя по набору строк, формулы Сильвестра и Крамера,

Планы и записки лекций

Ниже приводятся развёрнутые планы, а также конспекты некоторых лекций.

Задачи семинаров

Письменные домашние задания

Кроме задач семинаров в этом модуле примерно раз в неделю задаются письменные домашние задания, которые необходимо выполнять в течение недели и сдавать в установленные сроки, а также одно индивидуальное письменное задание.

Модуль III (лектор: А.Н.Рудаков)

Учебники   Программа   Планы и конспекты лекций   Задачи семинаров   Индивидуальные письменные задания   В начало страницы  

Рекомендуемые учебники

[В] Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
[Г] И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. М., «МЦНМО», 1998 (или любое другое издание)

Программа модуля III

Линейные операторы, собственные векторы, инвариантные подпространства. (см. [Г]: стр.110-144, [В]: стр.214-226.)
Инвариантное подпространство (для линейного оператора $A$). Собственные вектора. Инв.подпространство $\corr$ матрица с углом нулей. Базис из собственных векторов. Диагонализуемость. Вычисление собственных векторов. Характеристический многочлен. Теорема: собственные вектора с различными соб.значениями линейно независимы. Характеристический многочлен имеет $n$ различных корней равносильно оператор диагонализуем. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона-Кэли. Над C любое инвариантное подпространство содержит собственный вектор. Над C любая матрица подобна треугольной. Комплексификация вещественного векторного пространства. Над R оператор имеет одномерное или двумерное инвариантное подпространство. Над C коммутирующие операторы имеют общий собственный вектор.
Евклидовы пространства. (см. [Г]: стр.34-109, [В]: стр.191-210.)
Абстрактное евклидово (векторное) пространство. Свойства скалярного произведения. Ортогональные и ортонормальные базисы евклидова пространства. Выражение координат векторов через скалярные произведения. Формула для матричных элементов оператора. Проекция и ортогональная составляющая вектора. Расстояние до подпространства. Ортогональное проектирование. Ортогональное отражение.
Квадратичные и билинейные формы. (см. [Г]: стр.34-109, [В]: стр.191-210.)
Квадратичные функции (формы). Приведение квадратичной формы к линейной комбинации квадратов (новых) координат. Матричная запись квадратичной формы. Билинейные формы. Соответствие между квадратичными и симметрическими билинейными формами. Ортогональность. Ортогональные базисы для симметрической билинейной формы. Ортогональное дополнение подпространства. Ядро билинейной формы, невырожденность. Критерий невырожденности через определитель. Над R: положительная определенность. Положительная определенность равносильна положительности главных миноров. Закон инерции (над R). Ортогонализация Лагранжа и Якоби. Критерий Сильвестра.
Ортогональные и унитарные операторы. (см. [Г]:стр.144-173, [В]:стр.202-213.)
Сохранение расстояния равносильно сохранению скалярного произведения. Ортогональные операторы. Свойства ортогональных операторов, матрица ортогонального оператора, ортогональная группа. Инвариантность подпространства равносильна инвариантности его ортогонального дополнения. Приведение ортогональные оператора к клеточно диагональному виду. Комплексификация евклидова пространства, эрмитово скалярное произведение. Унитарные операторы, свойства собственных значений, инвариантность ортогонального дополнения. Диагонализуемость унитарных операторов.
Симметрические и самосопряженные операторы. (см. [Г]: стр.154-200, [В]: стр.226-236.)
Самосопряженные (эрмитовы) операторы. Матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе. Собственные значения самосопряженных операторов, диагонализуемость. Диагонализируемость симметрических операторов. Квадратичные формы в евклидовом пространстве. Приведение квадратичной формы к главным осям.

Планы и записки лекций

Ниже приводятся развёрнутые планы и конспекты некоторых лекций.

Задачи семинаров

.

Индивидуальные письменные задания

Модуль IV (лектор: А.Л.Городенцев)

Учебники   Программа   Записки лекций   Задачи семинаров   Индивидуальные задания  

Рекомендуемые учебники

Помимо выложенных ниже записок лекций (достаточных для успешной сдачи этого курса) рекомендуются следующие книги:
Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)

Программа модуля IV:

Нормальные операторы на пространствах со скалярным произведением.
Сопряжение операторв на эрмитовом и евклидовом пространстве. Критерии нормальности, ортогональная диагонализация и её специализация для (анти)самосопряжённых и изометрических операторов.
Комплексные и вещественные структуры
Комплексификация, овеществление, условия Коши-Римана. Келеровы тройки, соотношения Римана, зигелево полупространство. Кватернионы и спиноры.
Словарик «Линейная Алгебра — Проективная Геометрия»
Проективизация векторного пространства, однородные координаты, аффинные карты и локальные барицентрические координаты. Дополнительные подпространства и проектирование. Линейная проективная группа. Проективная двойственность. Пространства гиперповерхностей. Отображения Веронезе, Плюккера и Сегре (примеры).
Проективные квадрики.
Игры с плоскими кониками, пучками прямых и дробно линейными преобразованиями P1. Пересечение квадрики и прямой, касательное пространство к квадрике, полярное преобразование. Линейные подпространства, лежащие на квадрике. Индекс вещественной квадрики. Геометрическая классификация проективных и аффинных квадрик (над R и над С) и евклидовых квадрик (с точностью до движения). Инварианты пучка квадрик.

Записки лекций

Задачи семинаров

.

Индивидуальные письменные задания

Модуль V (лектор: М.В.Финкельберг)

Учебники   Программа   Задачи семинаров  

Рекомендуемые учебники

Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)

Программа модуля V:

Конечнопорожденные абелевы группы.
Прямые суммы. Гомоморфизмы и автоморфизмы. Свободные группы и образующие. Теорема о подходящем базисе подрешетки. Разложение конечно порждённой абелевой группы в прямую сумму циклических. Классификация конечнопорожденных абелевых групп.
Конечнопорожденные модули над евклидовыми кольцами.
Диагонализация матрицы над евклидовым кольцом методом Гаусса. Конечномерные модули над кольцом многочленов. Жорданова нормальная форма матрицы. Функции от линейных операторов.

Задачи семинаров

.

Зачёты и экзамены

По этому курсу происходят один письменный зачёт (после второго модуля) и два письменных экзамена (после третьего и пятого модулей).

Зачёт во II модуле был 18 декабря и представлял собою письменную работу (вот один из вариантов в формате PDF и/или в формате PS.GZ). Итоговая отметка по алгебре складывалась из результата зачётной письменной работы (с весом 5), результатов трёх выдававшихся в I-II модулях индивидуальных письменных заданий (каждое с весом 2) и четырёх выдавашихся во II модуле письменных домашних заданий (каждое с весом 1), а также штрафов: из итоговой оценки вычитался 1 балл, если не сдано более одного индивидуального письменного задания или более двух домашних заданий, а также если если суммарный недобор до оценки 3 (из 10) по всем листкам с задачами семинаров превышает 2; эти штрафы складывались. Зачёт–автомат (т.е. итоговая оценка 10 без написания зачётной работы) ставился за решение не менее 75 процентов задач из каждого листка и каждого письменного задания.

Экзамен в III модуле был 4 марта; итоговая оценка по алгебре за третий модуль вычислялась по формуле min(140,E+L)/14 , где E - процентная доля решённых экзаменационных задач, а L - процентная доля решённых от 230 обязательных задач семинаров, предлагавшихся в листках с 1 по 11 включительно. Таким образом для получения 10 баллов достаточно иметь E+L>140, для получения 4 баллов достаточно иметь E+L>56.

Итоговая отметка за модуль V в равной пропорции учитывает: (1) индивидуальные письменные задания, начиная с ИПЗ N5 включительно, (2) задачи семинаров, начиная с листка N11 включительно (в общей сложности 189 задач), (3) экзаменационную письменную работу, которая проходила 23 июня 2009 г и 25 июня 2009 г (тем, кто писал обе работы ставился максимум из двух результатов). Формула для вычисления итоговой оценки такова: 10min(225,Z+L+E)/225, где Z, L и E - процентные доли решённых задач из индивидуальных письменных заданий, листков и экзаменационной работы соответственно. Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно было набрать Z+L+E > 225 (что примерно соответствует решению 75% задач каждоого из трёх видов), а для получения минимальной оценки 4 — Z+L+E > 90 (что соответствует, например, решению 90% задач в одном из видов, однако, как показал опыт, те, кто легкомысленно выбрали для себя в качестве такового вида экзамен, заветных четырёх баллов набрать так и не смогли).

В начало   Расписание занятий   Модули  I  II  III  IV   V   Зачёт и экзамен  


Rambler's Top100