На главную
Расписание занятий
Модули:
I,
II,
III,
IV,
V.
Зачёты и экзамены
Учебники
Программа
Записки лекций
Задачи семинаров
Индивидуальные задания
Рекомендуемые учебники
Помимо выложенных ниже записок лекций (достаточных для успешной сдачи этого курса) рекомендуются следующие книги:
Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
А.Л. Городенцев. Вышкинская алгебра, модуль I.
(PDF (1,2 Mb) и/или PS.GZ (600 kB))
И.Р. Шафаревич. Избранные главы алгебры (учебное пособие для школьников). Москва, «Математическое Образование», 2000 (или любое другое издание)
И.Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры. Ижевск, «R & C Dynamics», 1999 (или любое другое издание)
Программа модуля I
- Множества и отображения
-
Подсчёт числа произвольных, биективных, инъективных, сюрьективных, возрастающих, неубывающих и т.п. отображений между
(конечными упорядоченными) множествами. Мультиномиальные коэффициенты. Разбиения и диаграммами Юнга.
- Знакомство с группами
-
Группа перестановок: чётность, цикловой тип, транспозиции, отражения. Группы многогранников. Смежные классы, индекс подгруппы, длина орбиты.
Гомоморфизмы и нормальные подгруппы. Простота знакопеременных групп.
- Знакомство с коммутативными кольцами и полями
-
Комплексные числа. Алгоритм Евклида для целых чисел и многочленов. Кольца и поля вычетов Z/(p) и алгебраических чисел Q[x]/(f). Примеры конечных полей. Корни многочленов, отыскание кратных корней и общих корней нескольких многочленов. Китайская теорема об остатках. Неприводимость и взаимная простота элементов коммутативного кольца, НОД и НОК. Факториальность кольца целых чисел и кольца многочленов. K евклидово ⇒ K кольцо главных идеалов ⇒ K факториально. Гомоморфизмы, идеалы и факторизация. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю. Гауссовы целые числа.
Записки лекций
Публикуемые здесь записки не являются стенограммами реально читавшихся лекций
и представляют собою нечто среднее между главами из учебника и планом занятий математического кружка.
Как записки лекций, так и
задачи семинаров публикуются в форматах pdf и ps.gz (GZipped PostScript). Второй формат
обеспечивает на порядок более высокое качество печати, имеет несколько меньший объём и является общепринятым стандартом для электронных изданий
по математике. Для работы с ним нужен (консольный) интерпретатор языка PostScript (напр. от
GPL Ghostscript, скажем,
GhostScript 8.63 для MS Win32), а также оконный интерфейс к нему (напр.
GhostView).
Учебник «:Вышкинская алгебра, модуль I» (несколько расширенный, по сравнению с программой зачёта и экзамена) одним файлом можно скачать здесь:
PDF (1,2 Mb) , PS.GZ (600 kB).
Знакомство с группами
- Лекция 1. Множества и отображения
(PDF и/или PS.GZ).
- Лекция 2. Группы преобразований
(PDF и/или PS.GZ).
- Лекция 3. Орбиты
(PDF и/или PS.GZ).
- Лекция 4. Абстрактные группы и гомоморфизмы
(PDF и/или PS.GZ).
- Лекция 5. Нормальные подгруппы и строение гомоморфизмов
(PDF и/или PS.GZ).
Знакомство с коммутативными кольцами и полями
- Лекция 6. Коммутативные кольца и поля. Комплексные числа.
(PDF и/или PS.GZ).
- Лекция 7. Целые числа и вычеты.
(PDF и/или PS.GZ).
- Лекция 8. Многочлены и алгебраические числа.
(PDF и/или PS.GZ).
- Лекция 9. Гомоморфизмы, идеалы и факторизация.
(PDF и/или PS.GZ).
Предлагаемые ниже задачи следует самостоятельно решать дома, понятно записывать
свои решения, а затем на упражнениях по алгебре обсуждать записанные решения с преподавателями.
Решать и сдавать задачи можно в любом порядке и в любые сроки.
Если какие-то задачи долго не получаются, не надо стесняться обращаться за советами и помощью как к друзьям, так и
к преподавателям — нашей целью является не контроль за тем, что вы «сдали», а
обучение. Листочки с дробными номерами являются необязательными. Решение содержащихся в них задач весьма почётно,
но никак не влияет ни на зачёт, ни на экзамен.
- Листок 1. Элементы комбинаторики
(PDF и/или PS.GZ).
Выдаётся с 1 сентября.
- Листок 2. Перестановки
(PDF и/или PS.GZ).
Выдаётся с 8 сентября.
- Листок 3. Группы.
(PDF и/или PS.GZ).
Выдаётся с 15 сентября
- Листок 3 1/2 (необязательный). Дополнительные задачи про группы.
(PDF и/или PS.GZ).
Выдаётся с 15 сентября.
- Листок 4. Комплексные числа
(PDF и/или PS.GZ).
Выдаётся с 25 сентября
- Листок 5. Кольца и поля вычетов.
(PDF и/или PS.GZ).
Выдаётся со 2 октября
- Листок 5 1/2 (необязательный). Дополнительные задачи про вычеты (квадратичный закон взаимности и первообразные корни).
(PDF и/или PS.GZ)
Выдаётся с 6 октября
- Листок 6. Делимость, многочлены, алгебраические числа и гомоморфизмы.
(PDF и/или PS.GZ).
Выдаётся с 28 октября
- Листок 6 1/2 (необязательный). Обращение Мёбиуса (арифметика, круговые многочлены, конечные поля, чумы).
(PDF и/или PS.GZ).
Выдаётся с 6 октября.
.
Кроме общих для всех задач семинаров каждому студенту было выдано два
индивидуальных письменных домашних задания, цель которых — освоение стандартных вычислительных приёмов.
Для получения зачёта по алгебре необходимо все эти задания сдать.
Номер Вашего варианта в первой группе равен Вашему номеру в имеющемся у старосты списке группы, во второй группе
получается добавлением к Вашему номеру в списке числа 20.
Программа
Планы и конспекты лекций
Задачи семинаров
Письменные домашние задания
В начало страницы
- Векторные пространства и базисы.
-
Линейная зависимость, линейные оболочки, существование и равномощность базисов. Оценки размерностей сумм и пересечений.
Практическое отыскание базисов методом Гаусса, матричный формализм, связь с теорией линейных уравнений.
Стандартные базисы в пространствах многочленов, полиномиальная интерполяция с кратными
узлами и её крайние случаи – формулы Лагранжа и Тэйлора.
- Линейные отображения и матрицы.
-
Алгебра матриц, элементарные преобразования и элементарные матрицы. Диагонализация и отыскание обратной матрицы методом Гаусса.
Линейные отображения и их запись матрицами. Двойственность между подпространствами двойственных пространств.
Ранг матрицы, строчный ранг равен столбцовому.
- Грассмановы многочлены и определители.
-
Ориентированный объём параллелепипеда как однородная функция, инвариантная относительно «заваливания» параллелепипеда на бок
с сохранением высоты. Полилинейность, существование и единственность объёма. Определити, их свойства и техника вычисления.
Алгебра Грассмана (многочлены от «фермионных» переменных): размерность, базис, центр. Стандартный вид грассмановой
квадратичной формы. Линейная замена переменных в грассмановом многочлене: миноры, разложение определителя по набору строк, формулы Сильвестра
и Крамера,
Планы и записки лекций
Ниже приводятся развёрнутые планы, а также конспекты некоторых лекций.
- Листок 7. Векторные пространства
(PDF и/или PS.GZ).
Выдаётся с 11 нояября.
- Листок 8. Матрицы
(рукопись лектора).
Выдаётся с 4 декабря.
Кроме задач семинаров в этом модуле примерно раз в неделю задаются письменные домашние задания, которые необходимо
выполнять в течение недели и сдавать в установленные сроки, а также одно индивидуальное письменное задание.
Учебники
Программа
Планы и конспекты лекций
Задачи семинаров
Индивидуальные письменные задания
В начало страницы
Рекомендуемые учебники
[В] Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
[Г] И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. М., «МЦНМО», 1998 (или любое другое издание)
- Линейные операторы, собственные векторы, инвариантные подпространства.
(см. [Г]: стр.110-144, [В]: стр.214-226.)
-
Инвариантное подпространство (для линейного оператора $A$). Собственные вектора.
Инв.подпространство $\corr$ матрица с углом нулей.
Базис из собственных векторов. Диагонализуемость.
Вычисление собственных векторов. Характеристический многочлен.
Теорема: собственные вектора с различными соб.значениями линейно независимы.
Характеристический многочлен имеет $n$ различных корней равносильно
оператор диагонализуем.
Минимальный многочлен линейного оператора.
Теорема Гамильтона-Кэли.
Над C любое инвариантное подпространство содержит собственный вектор.
Над C любая матрица подобна треугольной.
Комплексификация вещественного векторного пространства.
Над R оператор имеет одномерное или двумерное инвариантное подпространство.
Над C коммутирующие операторы имеют общий собственный вектор.
- Евклидовы пространства.
(см. [Г]: стр.34-109, [В]: стр.191-210.)
-
Абстрактное евклидово (векторное) пространство. Свойства скалярного произведения.
Ортогональные и ортонормальные базисы евклидова пространства. Выражение координат векторов через скалярные произведения. Формула для матричных элементов оператора.
Проекция и ортогональная составляющая вектора. Расстояние до подпространства. Ортогональное проектирование. Ортогональное отражение.
- Квадратичные и билинейные формы.
(см. [Г]: стр.34-109, [В]: стр.191-210.)
-
Квадратичные функции (формы). Приведение квадратичной формы к линейной комбинации квадратов (новых) координат.
Матричная запись квадратичной формы. Билинейные формы. Соответствие между квадратичными и симметрическими билинейными формами.
Ортогональность. Ортогональные базисы для симметрической билинейной формы. Ортогональное дополнение подпространства.
Ядро билинейной формы, невырожденность. Критерий невырожденности через определитель.
Над R: положительная определенность. Положительная определенность равносильна положительности главных миноров.
Закон инерции (над R). Ортогонализация Лагранжа и Якоби. Критерий Сильвестра.
- Ортогональные и унитарные операторы.
(см. [Г]:стр.144-173, [В]:стр.202-213.)
-
Сохранение расстояния равносильно сохранению скалярного произведения. Ортогональные операторы.
Свойства ортогональных операторов, матрица ортогонального оператора, ортогональная группа.
Инвариантность подпространства равносильна инвариантности его ортогонального дополнения.
Приведение ортогональные оператора к клеточно диагональному виду.
Комплексификация евклидова пространства, эрмитово скалярное произведение.
Унитарные операторы, свойства собственных значений, инвариантность ортогонального дополнения.
Диагонализуемость унитарных операторов.
- Симметрические и самосопряженные операторы.
(см. [Г]: стр.154-200, [В]: стр.226-236.)
-
Самосопряженные (эрмитовы) операторы. Матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе.
Собственные значения самосопряженных операторов, диагонализуемость.
Диагонализируемость симметрических операторов.
Квадратичные формы в евклидовом пространстве. Приведение квадратичной формы к главным осям.
Планы и записки лекций
Ниже приводятся развёрнутые планы и конспекты некоторых лекций.
- Вместо введения:
матрицы перехода и
квадратичные формы
- Лекция 1. Собственные значения, характеристический многочлен, диагонализуемость
(рукопись лектора)
- Лекция 2. Собственные подпространства, аннулирующие многочлены, тождество Гамильтона - Кэли
(рукопись лектора)
- Лекция 3. Ещё об инвариантных подпространствах и аннулирующих многочленах
(рукопись лектора)
- Лекция 4. Евклидовы пространства: расстояния, углы, ортонормальные базисы
(рукопись лектора)
- Лекция 5. Евклидовы пространства: ортогонализация Грама-Шмидта, нормальная форма ортогонального оператора
(рукопись лектора)
- Лекция 6 (А.Л.Городенцев). Евклидовы пространства: определители Грама, объёмы, расстояния и ортогональное проектирование
(PDF и/или PS.GZ).
- Лекция 7 (А.Л.Городенцев). Ортогональная геометрия билинейных форм над произвольным полем.
Ортогональная группа порождается отражениями. Лемма Витта, разложение формы в сумму гиперболической и анизотропной.
Индекс и сигнатура вещественных квадратичных форм.
(PDF и/или PS.GZ).
- Лекции 8-11. Эрмитовы пространства и эрмитова геометрия. Самосопряжённые и унитарные операторы:
диагонализуемость и полярное разложение.
(PDF и/или PS.GZ).
- Листок 9. Матричные вычисления, собственные векторы, инвариантные подпространства.
(PDF и/или PS.GZ)
Выдаётся с 14 января. Обратите внимание на то, что некоторые задачи следует сдать до 23 января (включительно).
- Листок 10. Евклидовы пространства, ортогонализация и ортогональные дополнения.
(PDF и/или PS.GZ)
Выдаётся с 21 января. Обратите внимание на то, что некоторые задачи следует сдать до 11 февраля (включительно).
- Листок 11. Евклидова геометрия.
(PDF и/или PS.GZ)
Выдаётся с 4 февраля.
- Листок 11 1/2 (необязательный). Евклидова геометрия (дополнительные задачи).
(PDF и/или PS.GZ)
Выдаётся с 4 февраля.
.
- Индивидуальное письменное задание N4:
собственные подпространства
(40 вариантов, форматы PS.GZ и PDF).
Выдаётся с 22 января. Алгоритм определения номера варианта и значений некоторых констант указан в задании.
Срок сдачи – 28 января перед лекцией.
- Индивидуальное письменное задание N5:
ортогональная геометрия
(40 вариантов, форматы PS.GZ и PDF).
Выдаётся с 20 февраля. Алгоритм определения номера варианта: номер по списку + 10x(номер группы - 1).
Срок сдачи – 27 февраля перед лекцией.
Учебники
Программа
Записки лекций
Задачи семинаров
Индивидуальные задания
Рекомендуемые учебники
Помимо выложенных ниже записок лекций (достаточных для успешной сдачи этого курса) рекомендуются следующие книги:
Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
Программа модуля IV:
- Нормальные операторы на пространствах со скалярным произведением.
-
Сопряжение операторв на эрмитовом и евклидовом пространстве. Критерии нормальности, ортогональная диагонализация и её
специализация для (анти)самосопряжённых и изометрических операторов.
- Комплексные и вещественные структуры
-
Комплексификация, овеществление, условия Коши-Римана. Келеровы тройки, соотношения Римана, зигелево полупространство. Кватернионы и спиноры.
- Словарик «Линейная Алгебра — Проективная Геометрия»
-
Проективизация векторного пространства, однородные координаты, аффинные карты и локальные барицентрические координаты.
Дополнительные подпространства и проектирование. Линейная проективная группа. Проективная двойственность. Пространства гиперповерхностей.
Отображения Веронезе, Плюккера и Сегре (примеры).
- Проективные квадрики.
-
Игры с плоскими кониками, пучками прямых и дробно линейными преобразованиями P1.
Пересечение квадрики и прямой, касательное пространство к квадрике, полярное преобразование.
Линейные подпространства, лежащие на квадрике. Индекс вещественной квадрики. Геометрическая классификация проективных и аффинных квадрик
(над R и над С) и евклидовых квадрик (с точностью до движения). Инварианты пучка квадрик.
Записки лекций
- Лекция 1.
Эрмитова геометрия. Нормальные операторы на конечномерном эрмитовом пространстве.
(PDF и/или PS.GZ).
- Лекция 2.
Овеществление и комплексификация. Вещественные и комплексные структуры.
Комплексные собственные векторы вещественных операторов.
Нормальные операторы на конечномерном евклидовом пространстве.
(PDF и/или PS.GZ).
- Лекция 3.
Кватернионы.
(PDF и/или PS.GZ).
- Лекция 4.
Проективные пространства. Однородные и локальные аффинные координаты. Алгебраические многообразия. Подпространства и проекции.
Проективная линейная группа.
(PDF и/или PS.GZ).
- Лекция 5.
Проективные квадрики.
(PDF и/или PS.GZ).
- Листок 12. Линейные операторы на пространствах со скалярным произведением.
(PDF и/или PS.GZ).
Выдаётся с 4 марта.
- Листок 12 1/2. Дополнительные задачи про операторы на пространствах со скалярным произведением.
(PDF и/или PS.GZ).
Выдаётся с 11 марта.
- Листок 12 2/3 (обязательный!!!).
Разгонно-вспомоществовательные задачки про матрички.
(PDF и/или PS.GZ).
Выдаётся с 1 апреля. Несмотря на дробный номер, этот листок является обязательным и, более того, имеет ограниченный срок сдачи.
Последний день приёма задач из этого листка — пятница 10 апреля.
- Листок 13. Комплексные и вещественные структуры. Кватернионы.
(PDF и/или PS.GZ).
Выдаётся с 25 марта.
- Листок 14. Проективная геометрия.
(PDF и/или PS.GZ).
Выдаётся с 10 апреля.
.
- Индивидуальное письменное задание N6:
нормальные операторы на пространствах со скалярным произведением
(форматы PS.GZ и PDF).
Выдаётся с 1 апреля (это не шутка). Номер варианта равен Вашему номеру в новом едином алфавитном списке всех студентов.
Срок сдачи – 8 апреля перед занятием.
Учебники
Программа
Задачи семинаров
- Конечнопорожденные абелевы группы.
-
Прямые суммы. Гомоморфизмы и автоморфизмы. Свободные группы и образующие. Теорема о подходящем базисе подрешетки. Разложение конечно порждённой абелевой группы в прямую сумму циклических. Классификация конечнопорожденных абелевых групп.
- Конечнопорожденные модули над евклидовыми кольцами.
-
Диагонализация матрицы над евклидовым кольцом методом Гаусса. Конечномерные модули над кольцом многочленов. Жорданова нормальная форма матрицы. Функции от линейных операторов.
Задачи семинаров
- Листок 15. Прямые произведения конечных групп.
(PDF).
Выдаётся с 6 мая.
- Листок 16. Гомоморфизмы абелевых групп.
(PDF).
Выдаётся с 8 мая.
- Листок 17. Разложения абелевых групп в прямые суммы циклических.
(PDF).
Выдаётся с 15 мая.
- Листок 18. Жорданова нормальная форма.
(PDF).
Выдаётся с 22 мая.
- Листок 19. Минимальные многочлены линейных операторов.
(PDF).
Выдаётся с 3 июня.
.
Зачёты и экзамены
По этому курсу происходят один письменный зачёт (после второго модуля) и два письменных экзамена (после третьего и пятого модулей).
Зачёт во II модуле был 18 декабря и представлял собою письменную работу (вот один из вариантов
в формате PDF и/или в формате PS.GZ).
Итоговая отметка по алгебре складывалась из результата зачётной письменной работы (с весом 5), результатов трёх выдававшихся в I-II модулях индивидуальных
письменных заданий (каждое с весом 2) и четырёх выдавашихся во II модуле письменных домашних заданий (каждое с весом 1), а также штрафов:
из итоговой оценки вычитался 1 балл, если не сдано более одного индивидуального письменного задания или более двух домашних заданий,
а также если если суммарный недобор до оценки 3 (из 10) по всем листкам с задачами семинаров превышает 2; эти штрафы складывались.
Зачёт–автомат (т.е. итоговая оценка 10 без написания зачётной работы) ставился за решение не менее 75 процентов задач из каждого
листка и каждого письменного задания.
Экзамен в III модуле был 4 марта; итоговая оценка по алгебре за третий модуль вычислялась по формуле min(140,E+L)/14 ,
где E - процентная доля решённых экзаменационных задач,
а L - процентная доля решённых от 230 обязательных задач семинаров, предлагавшихся в листках с 1 по 11 включительно.
Таким образом для получения 10 баллов достаточно иметь
E+L>140, для получения 4 баллов достаточно иметь E+L>56.
Итоговая отметка за модуль V в равной пропорции учитывает: (1) индивидуальные письменные задания,
начиная с ИПЗ N5 включительно, (2) задачи семинаров,
начиная с листка N11 включительно (в общей сложности 189 задач), (3) экзаменационную письменную работу, которая
проходила
23 июня 2009 г и
25 июня 2009 г
(тем, кто писал обе работы ставился максимум из двух результатов). Формула для вычисления итоговой оценки такова: 10min(225,Z+L+E)/225, где Z, L и E -
процентные доли решённых задач из индивидуальных письменных заданий, листков и экзаменационной работы соответственно. Таким образом,
для получения максимальной оценки 10 достаточно было набрать Z+L+E > 225 (что примерно соответствует решению 75% задач каждоого из трёх видов), а для получения минимальной оценки 4 — Z+L+E > 90 (что соответствует, например, решению 90% задач в одном из видов, однако, как показал опыт, те, кто
легкомысленно выбрали для себя в качестве такового вида экзамен, заветных четырёх баллов набрать так и не смогли).
В начало
Расписание занятий
Модули
I
II
III
IV
V
Зачёт и экзамен