Введение в топологию, 1 курс, 2019/2020 учебный год

(лектор А.Ю. Пирковский, семинары Ю.М. Бурман, А.И. Ильин, А.В. Пенской, М.В. Финкельберг, А.И. Эстеров)

Объявления

Лекции

Лекция 1 (30.10.2019).
Введение: какая бывает топология и чем она занимается. Метрические пространства, нормированные пространства, евклидовы пространства. Примеры: Rn, C[a,b], дискретная метрика, 𝓁∞(S), 𝓁1, 𝓁2, p-адическая метрика на Q, метрика Хаусдорфа.
Литература: [1,4-6,8,9,15,18,19].
Лекция 2 (06.11.2019).
Открытые множества в метрическом пространстве. Топологические пространства. Метризуемость. Хаусдорфовость. Сравнение топологий. Замкнутые мнжества. Примеры: дискретная и антидискретная топологии, топология Зарисского.
Литература: [1-9,13-19].
Лекция 3 (07.11.2019).
База и предбаза топологии. Примеры. Критерий существования топологии с данной (пред)базой. Пример: топология поточечной сходимости. Сходимость последовательностей в топологическом пространстве. База и предбаза в точке. Описание сходимости в метрическом пространстве. Замыкание множества в топологическом пространстве. Свойства операции замыкания. Предельные и изолированные точки.
Литература: [1-9,13-19].
Лекция 4 (13.11.2019).
Предельные и изолированные точки, внутренность и граница множества; примеры. Плотные множества и сепарабельные пространства. Первая и вторая аксиомы счетности. Описание замыкания через последовательности в пространствах с первой аксиомой счетности. Непрерывные отображения топологических пространств.
Литература: [1-9,13-19].
Лекция 5 (20.11.2019).
Непрерывные отображения топологических пространств. Критерии непрерывности. Эквивалентность непрерывности и секвенциальной непрерывности для пространств с первой аксиомой счетности. Гомеоморфизмы. Открытые и замкнутые отображения. Примеры гомеоморфизмов. Топологические многообразия; примеры. Индуцированная топология на подпространстве топологического пространства. Ее описание в метрическом случае. Свойства индуцированной топологии.
Литература: [1-9,13-19].
Лекция 6 (21.11.2019).
Замкнутые подмножества и замыкание в индуцированной топологии. Инициальная топология, порожденная семейством отображений. Свойства инициальной топологии. Произведения топологических пространств. Описание базы произведения в общем случае и в случае конечного числа сомножителей. Универсальное свойство произведения. Метризуемость конечного произведения метризуемых пространств.
Литература: [2,4,5,7,9,14-19].
Лекция 7 (27.11.2019).
Декартово произведение семейства непрерывных отображений. Непрерывность поточечных суммы и произведения непрерывных функций. Критерий хаусдорфовости пространства в терминах диагонали. Замкнутость множества точек совпадения двух непрерывных отображений. Финальная топология, порожденная семейством отображений. Свойства финальной топологии. Дизъюнктные объединения топологических пространств. Универсальное свойство дизъюнктного объединения. Связные и несвязные пространства. Примеры.
Литература: [2,4,5,7,9,14-19].
Лекция 8 (04.12.2019).
Связность отрезка. Основные свойства связных пространств. Линейно связные пространства и их связность. Основные свойства линейно связных пространств. Примеры. Описание связных подмножеств прямой. Теорема "о промежуточном значении".
Литература: [2,4,5,7,9,14-19].
Лекция 9 (05.12.2019).
Связные и линейно связные компоненты, их свойства, примеры. Локально линейно связные пространства и свойства их компонент. Компактные пространства. Критерий компактности в терминах замкнутых множеств. Критерий компактности подпространства в терминах покрытий множествами, открытыми в топологии объемлющего пространства.
Литература: [1,2,4-9,13-19].
Лекция 10 (11.12.2019).
Основные свойства компактных пространств. Теорема о непрерывных функциях на компактном пространстве со значениями в R. Центрированные семейства множеств и их свойства. Теорема Тихонова о компактности произведения. Критерий компактности подмножества в Rn.
Литература: [1,2,4-9,13-19].
Лекция 11 (18.12.2019).
Локально компактные топологические пространства. Примеры и контрпримеры. Локальная компактность конечных произведений, замкнутых и открытых подмножеств. Одноточечная компактификация, ее основные свойства. "Единственность" одноточечной компактификации. Примеры одноточечных компактификаций.
Литература: [5,7,13-19].
Лекция 12 (15.01.2020).
Понятия мажорирования и эквивалентности норм на векторном пространстве. Теорема об эквивалентности норм на конечномерном векторном пространстве. Факторпространства топологических пространств. Свойства фактортопологии. Универсальное свойство факторпространств. Примеры: отрезок со склеенными концами, тор как факторпространство квадрата, топология на R/Q.
Литература: [1-5,7,13-19].
Лекция 13 (22.01.2020).
Частные случаи факторизации: стягивание подмножества в точку и склейка по отображению. Примеры: круг со стянутой в точку границей, склейка двух кругов по границам. Факторные отображения, их эквивалентные определения и свойства. Достаточные условия факторности отображения.
Литература: [2-5,7,14-19].
Лекция 14 (23.01.2020).
Вещественное проективное пространство, его эквивалентные определения, компактность и хаусдорфовость. Регулярные и нормальные топологические пространства. Характеризации регулярности и нормальности в терминах окрестностей. Регулярность локально компактных хаусдорфовых пространств. Нормальность компактных пространств и метризуемых пространств.
Литература: [2-5,7,14-19].
Лекция 15 (29.01.2020).
Лемма Урысона. Консультация перед коллоквиумом.
Литература: [2,4,5,7,14,15,17-19].
Лекция 16 (05.02.2020).
Гомотопия отображений. Согласованность гомотопии с композициями. Гомотопия относительно подмножества. Пример: линейная гомотопия отображений в выпуклое подмножество Rn. Гомотопия путей. Пример: замена параметра. Произведение путей и их гомотопических классов. Свойства операции умножения гомотопических классов путей. Фундаментальная группа.
Литература: [2-5,10-12,16-18,20-21].
Лекция 17 (06.02.2020).
Фундаментальная группа (завершение построения). Поднятия отображений Y → S1 до отображений Y → R. Фундаментальная группа окружности.
Литература: [2-5,10-12,16-18,20-21].
Лекция 18 (12.02.2020).
Фундаментальная группа окружности (завершение вычисления). Пространства с отмеченной точкой и их отображения. Гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный отображением пространств с отмеченной точкой. Ретракции. Примеры. Несуществование ретракции двумерного диска на его границу.
Литература: [2-5,10-12,16-18,20-21].
Лекция 19 (19.02.2020).
Теорема Брауэра о неподвижной точке (двумерный случай). Завсисмость фундаментальной группы от отмеченной точки. Односвязные пространства. Лемма о лебеговом числе. Односвязность n-мерной сферы при n≥2. Фундаментальная группа произведения. Примеры: фундаментальная группа тора и фундаментальная группа Rn\{0}.
Литература: [2-5,10-12,16-18,20-21].
Лекция 20 (20.02.2020).
Гомотопическая эквивалентность. Деформационные ретракции и строгие деформационные ретракции. Сфера Sn как строгий деформационный ретракт Rn+1\{0}. Стягиваемые пространства и их эквивалентные определения. Гомоморфизмы фундаментальных групп, индуцированные гомотопными отображениями. Изоморфизм фундаментальных групп гомотопически эквивалентных пространств. Следствие: односвязность стягиваемых пространств.
Литература: [2-5,10-12,16-18,20-21].
Лекция 21 (26.02.2020).
Накрытия. Примеры накрытий. Число листов накрытия. Теорема о единственности поднятия (пока без доказательства). Теорема о накрывающей гомотопии (существование поднятия гомотопии).
Литература: [2-5,10-12,16-18,20-21].
Лекция 22 (04.03.2020).
Теорема о единственности поднятия. Теорема о накрывающей гомотопии (завершение доказательства). Следствия: поднятие путей, поднятие гомотопий путей. Отображение фундаментальной группы базы накрытия в слой над отмеченной точкой; условия его сюръективности и биективности. Фундаментальная группа вещественного проективного пространства.
Литература: [2-5,10-12,16-18,20-21].
Лекция 23 (05.03.2020).
Гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный накрывающим отображением, его мономорфность и описание его образа. Критерий существования поднятия отображения, действующего в базу накрытия, до отображения в накрывающее пространство. Следствие: существование и единственность поднятия отображения из односвязного пространства. Пунктированные накрытия. Теорема о классификации морфизмов связных пунктированных накрытий и критерий их изоморфизма.
Литература: [2-5,10-12,16-17,21].
Лекция 24 (11.03.2020).
Действие монодромии. Условие его транзитивности. Стабилизатор точки слоя при действии монодромии. Биекция между слоем накрытия и множеством смежных классов фундаментальной группы базы по образу фундаментальной группы накрывающего пространства. Морфизмы накрытий. Морфизм π1(X,x0)-множеств, индуцированный морфизмом накрытий.
Литература: [2,5,10,16,22].
Лекция 25 (25.03.2020) (видеозапись)
Теорема о классификации морфизмов связных накрытий (биективность соответствия между морфизмами накрытий и морфизмами соответствующих π1(X,x0)-множеств). Критерий изоморфизма связных накрытий в терминах сопряженных подгрупп фундаментальной группы базы. Нормализатор подгруппы в группе. Описание группы автоморфизмов связного накрытия в терминах фундаментальной группы базы. Следствие: группа автоморфизмов односвязного накрытия. Примеры.
Литература: [2,5,10,16,22].
Лекция 26 (15.04.2020) (видеозапись) (конспект)
Полулокально односвязные пространства. Примеры и контрпримеры. Универсальное накрытие и его универсальное свойство. Необходимое условие существования универсального накрытия. Теорема о существовании универсального накрытия (набросок доказательства). Примеры универсальных накрытий. Факторизация накрытий по действиям групп автоморфизмами. Теорема о существовании накрытия, ассоциированного с заданной подгруппой фундаментальной группы базы. Теорема о классификации накрытий (с отмеченной точкой и без). Пример: классификация накрытий окружности.
Литература: [2-5,10-12,16,17,21,22].

Списки задач для семинаров

Листки

Правила сдачи листков

Распределение студентов по преподавателям и контактные данные преподавателей

Вопросы к коллоквиуму 01.02.2020

Вопросы к экзамену (предварительная версия)

Программа экзамена 29.06.2020 (окончательная версия)

Критерии оценки знаний

Список литературы