Определения и формулировки теорем, которые нужно было знать

1. Интеграл Римана.
2. Равномерная сходимость последовательности функций.
3. Абсолютно сходящийся ряд.
4. Нормально сходящийся функциональный ряд.
5. Строение открытых подмножеств действительной прямой.
6. Существование «плоских» функций типа «шляпа» или «ступенька».
7. Аналитическая функция (вещественного или комплексного переменного).
8. Теорема единственности для аналитических функций (принцип аналитического продолжения).
9. Аналитичность композиции аналитических функций.
10. Теорема об аналитичности функции, обратной к аналитической.
11. Терема Стоуна-Вейрештрасса для алгебр вещественно- и комплекснозначных функций на компакте.

Теоремы, которые надо было знать с доказательством

1. Существование интеграла Римана от непрерывной функции.
2. Формула Ньютона-Лейбница для интеграла от непрерывной функции.
3. Признак сравнения для рядов с положительными членами (в том числе в асимптотической форме).
4. Признаки сходимости Даламбера и Коши.
5. Признаки сходимости Абеля и Дирихле.
6. Предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций непрерывен (для функций на произвольном топологическом пространстве).
7. Почленное интегрирование равномерно сходящейся последоваетльности непрерывных функций (на отрезке).
8. Теорема о почленном дифференцировании последовательности C¹-функций.
9. Мажорантный признак Вейерштрасса для функциональных рядов.
10. Перестановка членов в нормально сходящемся ряде.
11. Теорма о двойных рядах.
12. Аналитичность суммы и произведения аналитических фнкций.
13. Разложение в степенной ряд экспоненты, синуса и косинуса, логарифма, арктангенса и функции (1+x)^a (включая поведение на концах интервала сходимости, если он конечен).

1. Полное метрическое пространство.
2. Пополнение метрического пространства, его существование и единственность.
3. Тощие множества(они же множества первой категории).
4. Нормированное пространство.
5. Эквивалентность всех норм на конечномерном нормированном пространстве.
6. Производная отображения f:U→Rⁿ, где U — открытое подмножество в R^m.
7. Запись производной отображения из предыдущего пункта в виде матрицы из частных производных.
8. Определение функций и отображений класса C^k при 1≤k≤∞.
9. Формула Тейора для функций нескольких переменных.
10. Гессиан функции класса C² в критической точке.
11. Диффеоморфизм между открытыми подмножествами в Rⁿ.
12. Теорема об обратной функции (формулировка).
13. Теорема о неявной функции (формулировка).
14. Определение замкнутого подмногообразия в Rⁿ и в открытом подмножестве в Rⁿ.

Теоремы, которые надо знать с доказательством

1. Полнота пространства непрерывных функций на компакте.
2. Существование и единственность неподвижной точки для сжимающих отображений полного метрического пространства.
3. Лемма о замкнутых шарах.
4. Теорема Бэра.
5. Существование непрерывных нигде не дифференцируемых функций.
6. Теорема о производной композиции; ее формулировка на языке матриц.
7. Дифференцируемость функции, у которой все частные производные существуют и непрерывны.
8. Симметрия вторых частных производных для функций класса C².
9. Необходимое условие экстремума для дифференцируемой функции n переменных.
10. Достаточное условие экстремума для функций со знакоопределенным гессианом в критической точке.
11. Достаточное условие отсутствия экстремума для функций со знакоонеопределенным гессианом в критической точке.
12. Вывод теоремы о неявной функции из теоремы об обратной функции.
13. Эквивалентность трех определений гладкого подмногообразия в Rⁿ или в открытом подмножестве в Rⁿ (лекции от 15 и 21 мая).
14. Вложенное касательное пространство к подмногооббразию, эквивалентность его двух определений (лекция от 21 мая).
15. Метод множителей Лагранжа.