Topology 1, 2018/2019

Введение в топологию, 1 курс, 2018/2019 учебный год

(лектор А.Ю.Пирковский, семинары Н.Я. Амбург, Ю.М. Бурман, Д.И. Зубов, А.В. Пенской, М.Б. Скопенков, М.В. Финкельберг, Д.С. Шамканов)

Объявления

17.03.2019. Выложены вопросы к экзамену (окончательная версия).
17.03.2019. Выложены вопросы к экзамену (предварительная версия).
10.03.2019. Выложен 9-й список задач для семинаров.
26.02.2019. Выложен листок 3 (см. ниже).
26.02.2019. Выложен 8-й список задач для семинаров.
14.02.2019. Срок сдачи листка 2 продлен до 22.02.2019.
08.02.2019. Выложен 7-й список задач для семинаров.
21.01.2019. Выложен листок 2 (см. ниже).
21.01.2019. Выложен 6-й список задач для семинаров.
16.01.2019. Выложены вопросы к коллоквиуму 26 января.
08.01.2019. Выложен 5-й список задач для семинаров.
11.12.2018. Срок сдачи листка 1 продлен до 19.12.2018.
11.12.2018. Выложен 4-й список задач для семинаров.
23.11.2018. Опубликованы правила сдачи листков. Выложен листок 1 (см. ниже).

Лекции

Лекция 1 (31.10.2018).: Введение: какая бывает топология и чем она занимается. Метрические пространства, нормированные пространства, евклидовы пространства. Примеры.
Литература: [1,4-6,8,9,15,18].
Лекция 2 (01.11.2018).: Открытые множества в метрическом пространстве. Топологические пространства. Метризуемость. Хаусдорфовость. Сравнение топологий. Замкнутые мнжества. Примеры топологических пространств. База и предбаза топологии.
Литература: [1-9,13-19].
Лекция 3 (07.11.2017).: Сходимость последовательностей в топологическом пространстве. База и предбаза в точке. Замыкание множества в топологическом пространстве. Свойства операции замыкания. Предельные и изолированные точки; внутренность и граница множества; примеры.
Литература: [1-9,13-19].
Лекция 4 (08.11.2018).: Плотные множества и сепарабельные пространства. Первая и вторая аксиомы счетности. Описание замыкания через последовательности в пространствах с первой аксиомой счетности. Непрерывные отображения топологических пространств. Эквивалентность непрерывности и секвенциальной непрерывности для пространств с первой аксиомой счетности. Критерии непрерывности.
Литература: [1-9,13-19].
Лекция 5 (14.11.2018).: Гомеоморфизмы. Открытые и замкнутые отображения. Примеры гомеоморфизмов. Индуцированная топология на подпространстве топологического пространства. Ее описание в метрическом случае. Характеристическое свойство индуцированной топологии. Замкнутые подмножества и замыкание в индуцированной топологии.
Литература: [2,4,5,7,9,14-19].
Лекция 6 (15.11.2018).: Инициальная топология, порожденная семейством отображений. Характеристическое свойство инициальной топологии. Произведения топологических пространств. Описание базы произведения в общем случае и в случае конечного числа сомножителей. Универсальное свойство произведения. Метризуемость конечного произведения метризуемых пространств. Произведение семейства непрерывных отображений.
Литература: [2,4,5,7,9,14-19].
Лекция 7 (21.11.2018).: Финальная топология, порожденная семейством отображений. Характеристическое свойство финальной топологии. Дизъюнктные объединения топологических пространств. Универсальное свойство дизъюнктного объединения. Связные и несвязные пространства. Примеры. Связность отрезка. Основные свойства связных пространств.
Литература: [2,4,5,7,9,14-19].
Лекция 8 (22.11.2018).: Линейно связные пространства и их связность. Основные свойства линейно связных пространств. Примеры. Описание связных подмножеств прямой. Связные и линейно связные компоненты, их свойства, примеры. Локально линейно связные пространства и свойства их компонент.
Литература: [2,4,5,7,9,14-19].
Лекция 9 (28.11.2018).: Компактные пространства. Компактность в терминах замкнутых множеств. Компактность подпространств. Примеры компактных пространств. Компактность замкнутого куба в Rⁿ. Основные свойства компактных пространств. Критерий компактности подмножества в Rⁿ.
Литература: [1,2,4-9,13-19].
Лекция 10 (29.11.2018).: Теорема Александера о предбазе. Теорема Тихонова о компактности произведения. Понятия мажорирования и эквивалентности норм на векторном пространстве. Теорема об эквивалентности норм на конечномерном векторном пространстве.
Литература: [1,2,4,7,13-15,17-19].
Лекция 11 (05.12.2018).: Локально компактные топологические пространства. Примеры и контрпримеры. Локальная компактность конечных произведений, замкнутых и открытых подмножеств. Одноточечная компактификация, ее основные свойства.
Литература: [5,7,13-19].
Лекция 12 (06.12.2018).: "Единственность" одноточечной компактификации. Примеры одноточечных компактификаций. Факторпространства топологических пространств. Характеристическое свойство фактортопологии. Универсальное свойство факторпространств. Пример: отрезок со склеенными концами. Факторные отображения, их эквивалентные определения и свойства.
Литература: [2,3,5,7,14-17,19].
Лекция 13 (12.12.2018).: Достаточные условия факторности отображения. Частные случаи факторизации: стягивание подмножества в точку и склейка по отображению. Примеры факторпространств. Вещественное проективное пространство, его эквивалентные определения, компактность и хаусдорфовость.
Литература: [2,3,5,7,14,16,17,19].
Лекция 14 (13.12.2018).: Полные метрические пространства. Связь между замкнутостью и полнотой подпространств. Равномерно непрерывные, липшицевы и изометрические отображения. Сохранение фундаментальности последовательностей при равномерно непрерывных отображениях. Инвариантность полноты при равномерных гомеоморфизмах. Полнота произведений. Полнота конечномерных нормированных пространств. Полнота пространств 𝓁^∞(X) и C_b(X). Теорема о вложенных замкнутых множествах.
Литература: [1,4,6,8,20,21].
Лекция 15 (19.12.2018).: Теорема Бэра. Приложение: нигде не дифференцируемые непрерывные функции. Принцип сжимающих отображений.
Литература: [1,6,8,20,21].
Лекция 16 (09.01.2019).: Теорема о продолжении равномерно непрерывных отображений с плотного подмножества. Пополнение метрического пространства. Существование пополнения. Универсальное свойство пополнения. Единственность пополнения. Естественность пополнения.
Литература: [1,4,6,8,9,21].
Лекция 17 (10.01.2019).: Счетно компактные и секвенциально компактные топологические пространства. Характеризация счетной компактности в терминах строгих предельных точек. Взаимосвязи компактности, счетной компактности и секвенциальной компактности. Вполне ограниченные метрические пространства, их простейшие свойства, примеры и контрпримеры. Полная ограниченность ограниченных подмножеств Rⁿ.
Литература: [1,5,8,13,14,16,17].
Лекция 18 (16.01.2019).: Характеризация полной ограниченности в терминах последовательностей. Критерий компактности метрического пространства (компактность ⇔ секвенциальная компактность ⇔ счетная компактность ⇔ полная ограниченность + полнота). Следствия из критерия компактности. Теорема Кантора о равномерной непрерывности. Теорема Арцела-Асколи.
Литература: [1,2,4-6,8,9,13,16,17,21].
Лекция 19 (17.01.2019).: Теорема Арцела-Асколи (завершение доказательства). Теорема Стоуна-Вейерштрасса.
Литература: [1,14,18,19].
Лекция 20 (23.01.2019).: Регулярные и нормальные топологические пространства. Характеризации регулярности и нормальности в терминах окрестностей. Регулярность локально компактных хаусдорфовых пространств. Нормальность компактных пространств и метризуемых пространств. Лемма Урысона.
Литература: [2,4,5,7,14,15,17-19].
Лекция 21 (24.01.2019).: Теорема Титце-Урысона. Консультация перед коллоквиумом.
Литература: [2,5,14,15,17-19].
Лекция 22 (30.01.2019).: Гомотопия отображений. Согласованность гомотопии с композициями. Гомотопия относительно подмножества. Пример: линейная гомотопия отображений в выпуклое подмножество Rⁿ. Гомотопия путей. Пример: замена параметра. Произведение путей и их гомотопических классов. Свойства операции умножения гомотопических классов путей. Фундаментальная группа.
Литература: [2-5,10-12,16-18].
Лекция 23 (31.01.2019).: Завсисмость фундаментальной группы от отмеченной точки. Односвязные пространства. Поднятия отображений Y → S¹ до отображений Y → R. Фундаментальная группа окружности.
Литература: [2-5,10-12,16-18,22].
Лекция 24 (06.02.2019).: Лемма о лебеговом числе. Односвязность n-мерной сферы при n≥2. Гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный непрерывным отображением пространств. Ретракции. Примеры. Несуществование ретракции двумерного диска на его границу.
Литература: [2-5,10-12,16-18].
Лекция 25 (07.02.2019).: Теорема Брауэра о неподвижной точке (двумерный случай). Фундаментальная группа произведения. Примеры: фундаментальная группа тора и фундаментальная группа Rⁿ\{0}. Категории. Примеры категорий, изоморфизмы в категориях.
Литература: [2-5,10-13,16-18,22-24].
Лекция 26 (13.02.2019).: Функторы. Примеры функторов. Фундаментальная группа как функтор на категории пространств с отмеченной точкой. Гомотопическая эквивалентность и ее категорная интерпретация. Деформационные ретракции и строгие деформационные ретракции. Сфера Sⁿ как строгий деформационный ретракт Rⁿ⁺¹\{0}. Изоморфизм π₀(X) ≅ [pt,X]. Гомотопическая инвариантность линейной связности.
Литература: [2-5,10-13,16-18,22-24].
Лекция 27 (14.02.2019).: Стягиваемые пространства и их эквивалентные определения. Гомоморфизмы фундаментальных групп, индуцированные гомотопными отображениями. Фундаментальная группа как функтор на гомотопической категории пространств с отмеченной точкой. Изоморфизм фундаментальных групп гомотопически эквивалентных пространств.
Литература: [2-5,10-12,16-18].
Лекция 28 (20.02.2019).: Накрытия. Примеры накрытий. Число листов накрытия. Теорема о единственности поднятия. Теорема о накрывающей гомотопии (пока без доказательства).
Литература: [2-5,10-12,16-18,22].
Лекция 29 (21.02.2019).: Действия групп на множествах. Орбиты. Транзитивные и свободные действия. Примеры. Теорема о поднятии гомотопий путей. Теорема о действии фундаментальной группы на слое накрытия (действие монодромии). Приложение: фундаментальная группа вещественного проективного пространства.
Литература: [2-5,10-12,16-17].
Лекция 30 (27.02.2019).: Доказательство теоремы о накрывающей гомотопии. Теоретико-групповое отступление: стабилизатор точки при действии группы, сопряженность стабилизаторов точек из одной орбиты, морфизмы G-множеств, изоморфизм между орбитой и множеством смежных классов по стабилизатору. Гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный накрывающим отображением: его мономорфность и описание его образа как стабилизатора точки слоя. Следствие: изоморфизм между слоем накрытия и множеством смежных классов фундаментальной группы базы накрытия.
Литература: [2-5,10-12,16-17].
Лекция 31 (28.02.2019).: Критерий существования поднятия отображения Y → X до отображения Y → E, где E → X — накрытие. Следствие: существование и единственность поднятия отображения из односвязного пространства.
Литература: [5,10-12,16-17].
Лекция 32 (06.03.2019).: Категории накрытий (с отмеченной точкой и без). Категория подгрупп в группе. Функтор ℱ* из категории Cov₀*(X,x₀) связных пунктированных накрытий в категорию подгрупп фундаментальной группы. Строгие и полные функторы. Примеры. Описание морфизмов в категории Cov₀*(X,x₀) для локально линейно связного X. Строгость и полнота функтора ℱ*. Функтор ℱ из категории накрытий Cov(X) в категорию π₁(X,x₀)-множеств. Теорема о том, что всякий морфизм связных накрытий сам является накрытием.
Литература: [4,5,10-12,16-17,25].
Лекция 33 (07.03.2019).: Морфизмы транзитивных G-множеств (критерий существования в терминах стабилизаторов). Изоморфизмы транзитивных G-множеств и классы сопряженных подгрупп. Несвязные накрытия и орбиты действия монодромии. Строгость и полнота функтора ℱ : Cov(X) → π₁(X,x₀)-Sets. Следствие: критерий изоморфизма связных накрытий с отмеченной точкой и без.
Литература: [4,5,10-12,16-17,25].
Лекция 34 (13.03.2019).: Инициальные и терминальные объекты в категориях. Примеры. Универсальное накрытие и его интерпретация как инициального объекта. Относительно односвязные подмножества и полулокально односвязные пространства. Примеры и контрпримеры. Необходимое условие существования универсального накрытия. Лемма "об атласе". Теорема о существовании универсального накрытия.
Литература: [2-5,10-12,16-17,22,23,25].
Лекция 35 (14.03.2019).: Теорема о существовании универсального накрытия (завершение доказательства). Примеры универсальных накрытий. Морфизмы и изоморфизмы функторов. Примеры (в т.ч. из теории накрытий).
Литература: [2-5,10-12,16-17,22-25].
Лекция 36 (20.03.2019).: Понятие эквивалентности категорий. Примеры. Построение функтора 𝒢 : π₁(X,x₀)-Sets → Cov(X).
Литература: [4,23,26].
Лекция 37 (21.03.2019).: Основная теорема об эквивалентности категории накрытий пространства X и категории π₁(X,x₀)-множеств. Следствие: эквивалентность категории связных накрытий пространства X и категории транзитивных π₁(X,x₀)-множеств. Следствие: эквивалентность категории связных пунктированных накрытий пространства X и категории подгрупп в π₁(X,x₀). Следствия: теоремы о классификации связных накрытий и о классификации связных пунктированных накрытий в терминах подгрупп фундаментальной группы.
Литература: [2-5,10-12,16-17,23,25,26].