Семинар «Основные понятия математики». осень 2018 г.

(руководители Ю.М.Бурман, С.М.Львовский)

Доклады

• [20 сентября] Ю.Бурман, «Как решать кубическое уравнение и почему этого никогда не делают».
• [27 сентября] С.Львовский, «Первообразные корни».
• [4 октября] С.Львовский, «Квадратичный закон взаимности».
• [10, 17 октября] Ю.Бурман, «Главное сечение четырехмерного куба».
• [24 октября, 8 ноября] C.Львовский, «Цепные дроби».
• [15 ноября] П.Логвиненко, «Циклоида».
• [22 ноября] А.Магазинов, «Формула Эйлера».
• [29 ноября] В.Максимовский, «Ряды со случайными знаками».
• [6 декабря] А.Штарева, «Теорема Эрроу о диктаторе».

Возможные темы для докладов

Список не является исчерпывающим и будет постепенно дополняться.

1. Почему нельзя удвоить куб (а также построить правильный семиугольник и еще много что) циркулем и линейкой.
2. Постулат Бертрана: между N и 2N всегда имеется простое число.
3. Теорема Эрроу о диктаторе: не существует «идеальной» системы голосования по трем или более кандидатурам.
4. Ультрафильтры и нестандартный анализ: новая система действительных чисел, в которой есть бескончно малые и бесконечно большие числа. Как ни странно, доклад связан с предыдущим.
5. Поризм Понселе: если два эллипса таковы, что один описан вокруг n-угольника, а другой вписан в него, то одну из вершин n-угольника можно расположить в любой точке первого эллипса. Теорема имеет много доказательств (использующих идеи из алгебры, алгебраической и дифференциальной геометрии, комплексного анализа, теории меры и др.), так что можно сделать несколько докладов.

Задачи для размышления

Появляются постепенно; иногда новые задачи связаны с темой последнего доклада.

1. Кубические уравнения по модулю. Сколько решений может иметь кубическое уравнение по простому модулю p? Применимы ли в этом случае формулы, о которых рассказывалось в докладе 20 сентября?
2. Квадрат суммы равен сумме кубов. Пусть n — натуральное число, d₁, ..., d_k — его делители (включая 1 и само n), и пусть d₁ имеет m₁ делителей, d₂ — m₂ делителей, и т.д. Докажите, что m₁³ + ... + m_k³ = (m₁ + ... + m_k)².
3. Турнир. В круговом турнире каждый участник играет с каждым. Игра может закончиться победой одного из них (тогда она называется результативной) или ничьей. Общее число участников турнира нечетно. Докажите, что существует непустая группа участников (она может состоять из всего одного человека, а может даже из всех участников турнира) такая, что каждый участник турнира (как входящий в группу, так и не входящий) сыграл с членами группы четное число результативных партий.
4. Диаметры куба и шара. Диагональ единичного n-мерного куба равна корню квадратному из n (почему?), а объем равен 1. Пусть r_n — диаметр n-мерного шара объема 1. Как ведет себя отношение r_n к корню квадратному из n, если n стремится к бесконечности?
5. Полные графы. Полный граф K_n содержит n вершин, и любые две вершины соединены ребром. Хорошо известно, что полный граф K₅ нельзя нарисовать на плоскости (или сфере) так, чтобы его ребра не пересекались. А можно ли его нарисовать не проективной плоскости? Для какого наибольшего n можно нарисовать граф K_n на двумерном торе (поверхности бублика)?

Заключительный экзамен

Ответы и указания.

Результаты.