На главную
Расписание занятий

Введение в топологию, 1 курс, 2017/2018 учебный год

(лектор А.Ю.Пирковский, семинары С.М. Львовский, А.В. Пенской, М.Б. Скопенков, А.С. Скрипченко, Д.С. Шамканов)

Лекции

Лекция 1 (04.12.2017).
Введение: какая бывает топология и чем она занимается. Метрические пространства, нормированные пространства, евклидовы пространства. Примеры. Открытые множества в метрическом прстранстве.
Литература: [1,4-6,8,9,15,18].
Лекция 2 (07.12.2017).
Топологические пространства. Метризуемость. Хаусдорфовость. Сравнение топологий. Замкнутые мнжества. Примеры топологических пространств. База и предбаза топологии; примеры.
Литература: [1-9,13-18].
Лекция 3 (11.12.2017).
Сходимость последовательностей в топологическом пространстве. База и предбаза в точке. Первая и вторая аксиомы счетности. Замыкание множества в топологическом пространстве. Свойства операции замыкания. Описание замыкания через последовательности в пространствах с первой аксиомой счетности. Внутренность и граница множества, предельные и изолированные точки; примеры. Плотные множества и сепарабельные пространства.
Литература: [1-9,13-18].
Лекция 4 (14.12.2017).
Непрерывные отображения топологических пространств. Эквивалентность непрерывности и секвенциальной непрерывности для пространств с первой аксиомой счетности. Критерии непрерывности. Гомеоморфизмы. Открытые и замкнутые отображения. Примеры гомеоморфизмов. Индуцированная топология на подпространстве топологического пространства. Ее описание в метрическом случае. Характеристическое свойство индуцированной топологии.
Литература: [1-9,13-18].
Лекция 5 (12.01.2018).
Характеристическое свойство индуцированной топологии на подпространстве и его следствия. Замкнутые подмножества и замыкание в индуцированной топологии. Финальная топология, порожденная семейством отображений. Характеристическое свойство финальной топологии. Дизъюнктные объединения топологических пространств. Универсальное свойство дизъюнктного объединения. Инициальная топология, порожденная семейством отображений. Характеристическое свойство инициальной топологии. Произведения топологических пространств.
Литература: [2,4,5,7,9,13-19].
Лекция 6 (15.01.2018).
Произведения топологических пространств. Универсальное свойство произведения. База произведения конечного числа пространств. Метризуемость конечного произведения метризуемых пространств. Произведение семейства непрерывных отображений. Непрерывность поточечных суммы и произведения непрерывных функций. Связные и несвязные пространства. Примеры. Связность отрезка. Основные свойства связных пространств.
Литература: [2,4,5,7,9,14-19].
Лекция 7 (18.01.2018).
Линейно связные пространства и их связность. Основные свойства линейно связных пространств.Примеры. Описание связных подмножеств прямой. Связные и линейно связные компоненты, их свойства, примеры. Локально линейно связные пространства и свойства их компонент. Компактные пространства. Компактность в терминах замкнутых множеств. Компактность подпространств.
Литература: [1,2,4-9,13-19].
Лекция 8 (22.01.2018).
Компактность подпространств. Примеры компактных пространств. Компактность замкнутого куба в Rn. Основные свойства компактных пространств. Критерий компактности подмножества в Rn. Теорема Александера о предбазе. Теорема Тихонова о компактности произведения. Понятия мажорирования и эквивалентности норм на векторном пространстве.
Литература: [1,2,4-9,13-19].
Лекция 9 (25.01.2018).
Теорема об эквивалентности норм на конечномерном векторном пространстве. Локально компактные топологические пространства. Примеры и контрпримеры. Локальная компактность конечных произведений, замкнутых и открытых подмножеств. Одноточечная компактификация, ее основные свойства.
Литература: [1,2,5,7,13-19].
Лекция 10 (29.01.2018).
"Единственность" одноточечной компактификации. Примеры одноточечных компактификаций. Факторпространства топологических пространств. Характеристическое свойство фактортопологии. Универсальное свойство факторпространств. Факторные отображения, их эквивалентные определения и свойства. Достаточные условия факторности. Примеры факторпространств.
Литература: [2,3,5,7,14-17,19].
Лекция 11 (01.02.2018).
Частные случаи факторизации: стягивание подмножества в точку и склейка по отображению. Примеры. Вещественное проективное пространство, его эквивалентные определения, компактность и хаусдорфовость. Полные метрические пространства. Связь между замкнутостью и полнотой подпространств. Равномерно непрерывные, липшицевы и изометрические отображения. Сохранение фундаментальности последовательностей при равномерно непрерывных отображениях. Инвариантность полноты при равномерных гомеоморфизмах.
Литература: [1-6,8,9,13,16,17,19].
Лекция 12 (05.02.2018).
Полнота произведений. Полнота конечномерных нормированных пространств. Полнота пространств l∞(X) и Cb(X). Теорема о вложенных замкнутых множествах. Теорема Бэра. Приложение: функции 1-го класса Бэра и их точки непрерывности.
Литература: [1,6,8,20].
Лекция 13 (08.02.2018).
Точки непрерывности функций 1-го класса Бэра. Принцип сжимающих отображений. Приложение: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (простейший случай). Теорема о продолжении равномерно непрерывных отображений с плотного подмножества.
Литература: [1,6,8,20,21].
Лекция 14 (12.02.2018).
Пополнение метрического пространства. Существование пополнения. Универсальное свойство пополнения. Единственность пополнения. Естественность пополнения. Счетно компактные и секвенциально компактные топологические пространства. Характеризация счетной компактности в терминах строгих предельных точек. Взаимосвязи компактности, счетной компактности и секвенциальной компактности.
Литература: [1,4,5,8,9,14,16,17,19].
Лекция 15 (15.02.2018).
Вполне ограниченные метрические пространства, их простейшие свойства, примеры и контрпримеры. Полная ограниченность ограниченных подмножеств Rn. Характеризация полной ограниченности в терминах последовательностей. Критерий компактности метрического пространства (компактность ⇔ секвенциальная компактность ⇔ счетная компактность ⇔ полная ограниченность + полнота). Следствия из критерия компактности. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
Литература: [1,2,4-6,8,9,13,16,17,21].
Лекция 16 (19.02.2018).
Регулярные и нормальные топологические пространства. Характеризации регулярности и нормальности в терминах окрестностей. Регулярность локально компактных хаусдорфовых пространств. Нормальность компактных пространств и метризуемых пространств. Лемма Урысона. Теорема Титце-Урысона.
Литература: [2,4,5,7,14,15,17-19].
Лекция 17 (22.02.2018).
Гомотопия отображений. Согласованность гомотопии с композициями. Гомотопия относительно подмножества. Пример: линейная гомотопия отображений в выпуклое подмножество Rn. Гомотопия путей. Пример: замена параметра. Произведение путей и их гомотопических классов. Свойства операции умножения гомотопических классов путей. Фундаментальная группа.
Литература: [2-5,10-12,16-18].
Лекция 18 (26.02.2018).
Накрытия. Примеры накрытий. Число листов накрытия. Теорема о единственности поднятия. Теорема о накрывающей гомотопии (пока без доказательства). Следствия: свойство поднятия пути, свойство поднятия гомотопии путей. Односвязные пространства. Связь фундаментальной группы базы накрытия со слоем накрытия (монодромия). Фундаментальная группа окружности.
Литература: [2-5,10-12,16-18].
Лекция 19 (01.03.2018).
Лемма о лебеговом числе. Доказательство теоремы о накрывающей гомотопии. Односвязность n-мерной сферы при n≥2. Фундаментальная группа вещественного проективного пространства. Зависимость фундаментальной группы от отмеченной точки. Гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный непрерывным отображением пространств.
Литература: [2-5,10-12,16-18].
Лекция 20 (05.03.2018).
Ретракции. Примеры. Несуществование ретракции двумерного диска на его границу. Теорема Брауэра о неподвижной точке (двумерный случай). Фундаментальная группа произведения. Примеры: фундаментальная группа тора и фундаментальная группа Rn\{0}. Гомотопическая эквивалетность. Деформационные ретракции, строгие деформационные ретракции. Стягиваемые пространства. Примеры. Гомоморфизмы фундаментальных групп, индуцированные гомотопными отобаржениями. Изоморфизм фундаментальных групп гомотопически эквивалентных пространств. Топологическое доказательство "основной теоремы алгебры".
Литература: [2-5,10-12,16-18].

Материалы семинаров

Листки

Вопросы к коллоквиуму 30.01.2018

Вопросы к экзамену 06.03.2018

Критерии оценки знаний

Список литературы

Rambler's Top100