На главную
Расписание занятий

Функциональный анализ – 2. Весна 2017/2018 учебного года

(лектор А.Ю.Пирковский, семинары М.З. Ровинский)

Аннотация курса

Лекции

Лекция 1 (16.01.2018).
Топологически инъективные операторы, открытые операторы, изометрии, коизометрии. Факторпространства нормированных пространств. Универсальное свойство факторпространств. Полнота факторпространств.
Лекция 2 (23.01.2018).
Свойство бочечности банаховых пространств. Теорема Банаха-Штейнгауза (принцип равномерной ограниченности). Теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике.
Лекция 3 (30.01.2018).
Топологические прямые суммы и дополняемые подпространства. Сопряженное (двойственное) пространство, сопряженный (двойственный) оператор. Примеры.
Лекция 4 (06.02.2018).
Аннуляторы, преданнуляторы, их свойства. Описание пространств, сопряженных к подпространству и к факторпространству. Связь свойств оператора со свойствами его сопряженного. Теорема о замкнутом образе. Лемма Джонсона о точных последовательностях банаховых пространств.
Лекция 5 (13.02.2018).
Спектр элемента алгебры. Примеры. Алгебраические свойства спектра (поведение при гомоморфизмах, теорема об отображении спектра для многочленов, спектр обратного элемента). Банаховы алгебры. Примеры. Свойства группы обратимых элементов банаховой алгебры. Автоматическая непрерывность гомоморфизмов в C. Компактность спектра элемента банаховой алгебры.
Лекция 6 (20.02.2018).
Резольвентная функция и ее свойства. Непустота спектра. Теорема Гельфанда-Мазура. Спектральный радиус. Части спектра линейного оператора: точечный, непрерывный и остаточный спектры. Примеры: вычисление спектра и его частей для диагонального оператора и для оператора умножения в Lp(X,μ).
Лекция 7 (27.02.2018).
Спектры подобных операторов. Пример: спектр оператора сдвига в l2(Z). Соотношения между частями спектра линейного оператора и частями спектра его сопряженного. Пример: части спектра операторов сдвига в lp. Вполне ограниченные метрические пространства. Их простейшие свойства, примеры и контрпримеры. Критерий полной ограниченности в терминах последовательностей. Формулировка критерия компактности метрического пространства (компактность ⇔ секвенциальная компактность ⇔ счетная компактность ⇔ полная ограниченность + полнота). Лемма Рисса о почти перпендикуляре. Некомпактность сферы в бесконечномерном нормированным пространстве.
Лекция 8 (06.03.2018).
Доказательство критерия компактности метрического пространства. Следствия из него. Теорема Арцела-Асколи. Компактные операторы: определение, простейшие примеры и контрпримеры. Свойства множества компактных операторов. Теорема Шаудера о компактности сопряженного оператора. Пример: критерий компактности диагонального оператора.
Лекция 9 (13.03.2018).
Аппроксимируемость компактных операторов в гильбертовом пространстве операторами конечного ранга. Замечания о свойстве аппроксимации и базисах Шаудера. Фредгольмовы операторы, индекс. Замкнутость образа фредгольмова оператора (лемма Като). Фредгольмовость и индекс сопряженного оператора. Теорема Рисса об операторах вида "1+компактный".
Лекция 10 (20.03.2018).
Следствия из теории Рисса-Шаудера: абстрактные теоремы Фредгольма, теоремы Фредгольма об интегральных уравнениях в L2(X,μ) и в C[a,b], свойства спектра компактного оператора. Оператор, сопряженный к оператору между гильбертовыми пространствами. Основные свойства операции перехода к сопряженному оператору. C*-тождество. Связь свойств оператора между гильбертовыми пространствами со свойствами его сопряженного. Самосопряженные операторы. Вещественность спектра самосопряженного оператора. Совпадение нормы нормального оператора с его спектральным радиусом.
Лекция 11 (27.03.2018).
Теорема Гильберта-Шмидта о компактных самосопряженных операторах в гильбертовом пространстве. Теорема Шмидта о компактных операторах в гильбертовом пространстве. Аддитивность фредгольмова индекса.
Лекция 12 (03.04.2018).
Критерий фредгольмовости Никольского-Аткинсона. Алгебра Калкина. Существенный спектр линейного оператора. Открытость множества фредгольмовых операторов. Локальная постоянность индекса. Устойчивость индекса при компактных возмущениях. Теорема Никольского о фредгольмовых операторах с нулевым индексом. Операторы Тёплица и геометрическая интерпретация их индекса.
Лекция 13 (10.04.2018).
Топологические векторные пространства. Топология, порожденная семейством полунорм. Локально выпуклые пространства и их "полинормируемость" (без доказательства). Примеры локально выпуклых пространств (пространства непрерывных и гладких функций, пространство Шварца, сильная и слабая операторные топологии). Критерии непрерывности полунормы на локально выпуклом пространстве и оператора между локально выпуклыми пространствами. Эквивалентные семейства полунорм.
Лекция 14 (17.04.2018).
Линейные функционалы на локально выпуклых пространствах (продолжение с подпространства, разделение точек и подпространств). Дуальные пары и слабые топологии. Частные случаи: слабая топология на локально выпуклом пространстве и слабая* топология на его сопряженном. Описание функционалов, непрерывных в слабой топологии дуальной пары. Сопряженные операторы между дуальными парами. Слабая непрерывность линейных операторов. Аннуляторы, их свойства. Теорема о двойном аннуляторе и ее следствия.
Лекция 15 (24.04.2018).
Равностепенно непрервыные семейства линейных отображений. Теорема Банаха-Алаоглу-Бурбаки. *-алгебры, банаховы *-алгебры, C*-алгебры. Примеры. Непрерывность *-гомоморфизмов из банаховых *-алгебр в C*-алгебры. Непрерывное исчисление от самосопряженного элемента C*-алгебры (существование, единственность, изометричность). Примеры. Теоремы об отображении спектра и о композиции для непрерывного исчисления.
Лекция 16 (15.05.2018).
Меры Радона и теорема Рисса-Маркова-Какутани (обзор). Слабо-мерная топология WM на алгебре B(X) ограниченных борелевских функций. Плотность C(X) в (B(X),WM). Раздельная непрерывность умножения и непрерывность инволюции в WM. Раздельная непрерывность умножения и непрерывность инволюции в слабой операторной топологии. Связь между операторами в гильбертовом пространстве и полуторалинейными формами.
Лекция 17 (22.05.2018).
Продолжение *-представлений алгебры C(X) на алгебру B(X) ограниченных борелевских функций. Борелевское исчисление от самосопряженного оператора. *-модули над банаховыми *-алгебрами. Циклические *-модули. Примеры. Теорема о функциональной модели циклического C(X)-*-модуля. Следствие: теорема о функциональной модели самосопряженного циклического оператора. Гильбертовы суммы *-модулей. Разложение *-модуля на циклические слагаемые. Теоремы о функциональной модели для C(X)-*-модулей и – как следствие – для самосопряженных операторов (спектральная теорема).

Семинары

Листки

Каждый листок можно сдавать в течение двух приемов задач, не считая дня раздачи листка. После этого листок сдавать тоже можно, но за это будет начисляться в 2 раза меньше баллов.

Задачи в листках, помеченные буквой "B", являются бонусными. За их решение начисляются дополнительные баллы.

Вопросы к экзамену 29.05.2018

Список литературы

Rambler's Top100