Приблизительная тематика семинара — обсуждение разнообразных сюжетов, находящихся на стыке указанных в его названии областей. Также приветствуются доклады, относящиеся только к функциональному анализу (но не лишенные алгебраического аромата) или только к некоммутативной геометрии в достаточно широком понимании этого термина.
Семинар проходит по понедельникам в 15:30-16:50 на факультете математики НИУ ВШЭ (Усачёва ул., д. 6) в ауд. 109.
Желающие выступить с докладом могут обращаться к руководителю семинара (pirkosha собака gmail точка com).
Аннотация. Группоиды обобщают как пространства, так и группы. Классическое определение морфизма между группоидами — это функтор между соответствующими категориями, это обобщает как отображения пространств, так и гомоморфизмы групп. При переходе к алгебре функций возникает проблема: для пространств это контравариантный функтор, а для групп ковариантный. Это лишь одно из препятствий к функториальности конструкции алгебры функций для группоида. Я расскажу об альтернативном определении морфизма между группоидами, которое решает проблему функториальности.
Аннотация. Назовём Lp-операторной алгеброй любую замкнутую (по норме) подалгебру B(Lp(X,μ)), где (X,Σ,μ) — некоторое пространство с мерой. Теорема Бернарда-Коула-Люмера утверждает, что фактор L2-операторной алгебры по её замкнутому двустороннему идеалу есть снова L2-операторная алгебра (возможно, ассоциированная с другим гильбертовым пространством). Аналогичное утверждение неверно в случае p≠2; я собираюсь разобрать соответствующий контрпример (взятый из [1]), а также рассказать, как и в каких случаях теорема всё же обобщается на Lp-случай.
[1] E.Gardella and H. Thiel. Quotients of Banach algebras acting on Lp-spaces. Adv. Math. 296 (2016), 85-92.
Аннотация. Для компактного топологического пространства спаривание Кронекера между комплексной K-теорией и K-гомологиями выражается как индекс некоторого эллиптического оператора. С другой стороны, спаривание можно вычислять между когомологическим и гомологическим характерами Черна. Возникающее равенство позволяет считать индекс как сумму соответствующих интегралов. В отличие от классической теоремы Атьи-Зингера, эту формулу можно обобщить до случая, когда С*-алгебра некоммутативна. Я расскажу о фредгольмовых модулях, некоммутативном обобщении характера Черна и докажу теорему Конна о спаривании между K-теорией и K-гомологиями. Оставшееся время будет посвящено альтернативному подходу к вычислению индекса в терминах спектральных троек.
Аннотация. Двойственность Понтрягина для локально компактных абелевых групп можно разными способами обобщать на классы групп, среди которых могут быть необязательно абелевы. В стереотипной теории стандартный прием для этого состоит в использовании оболочек топологических алгебр, в частности, оболочки Аренса-Майкла, и разных других. Конструкции двойственности, которые при этом получаются, естественно представлять как результаты из дисциплин, которые в математике принято называть геометриями в широком смысле: комплексная геометрия, дифференциальная геометрия, топология. В каждой из этих конструкций класс групп, охватываемый соответствующей двойственностью, к настоящему времени точно не описан. На докладе 27.11.2017 я постараюсь объяснить положение дел на текущий момент в стереотипной двойственности для дифференциальной геометрии.
Аннотация. В своём докладе я попытаюсь дать обзор некоторых связей между указанными в заголовке темами. Более конкретно: в 1995 году Бост и Конн описали квантово-механическую систему (которая, уходя от физики, является просто некоторой C*-алгеброй с действующей на ней однопараметрической группой автоморфизмов), чьи состояния равновесия тесно связаны с группой Галуа максимального абелевого расширения поля Q. Я расскажу об истории вопроса, дам идейную составляющую их конструкции, поговорю о значимости результата и некоторых переформулировках и обобщениях.
Аннотация. Этот доклад может рассматриваться как продолжение доклада от 25.09.2017, хотя формально зависеть от него не будет (все необходимые определения я напомню). Мы построим семейство плотных подалгебр Фреше в C*-алгебре Тёплица и получим условие, достаточное для того, чтобы такая алгебра была квазисвободной. В частности, будет показано, что гладкая алгебра Тёплица, играющая важную роль в K-теории и теории циклических гомологий, квазисвободна. (По мотивам совместного проекта с О. Ю. Аристовым.)
Аннотация. Я расскажу об алгебрах Кунца и их q-аналогах. Алгебры Кунца и их различные вариации (графовые С*-алгебры, алгебры Кунца-Кригера, Кунца-Пимзнера и т.д.) широко используются в классификационной теории С*-алгебр и являются одним из основных примеров в некоммутативной геомтерии. Я подробно рассмотрю один из возможных q-аналогов алгебр Кунца — алгебры q-изометрий. С алгебрами Кунца связано представление особого вида, называемое представлением Фока, его же удаётся построить и в q-случае. Я покажу, почему в случае q-изометрий представление Фока получается точным, а также приведу соображения, почему q-изометрии могут оказаться изоморфными алгебре Кунца-Тёплица.
Литература:
Аннотация. В отличие от прошлого раза, в этот раз почти не будет бар-комплексов и связанных с ними вычислений. Вместо этого я попробую показать, как это всё выглядит для проективного пространства.
Аннотация. Формула Лефшеца о числе неподвижных точек и теорема Хирцебруха-Римана-Роха похожи: если первая считает пересечение диагонали с графиком отображения, то вторая, грубо говоря, — пересечение "графиков двух отображений в точку". Однако для многообразий это сравнение не имеет особого смысла. Если же взамен рассмотреть (гладкие собственные) дифференциально-градуированные алгебры, то можно получить утверждения, явным образом схожие между собой, хотя и более формальные: в частности, в HRR не будет класса Тодда. Я расскажу это по второй половине статьи Luntz "Lefschetz Fixed Point theorems for Fourier-Mukai functors and DG-algebras". Тема доклада относится к некоммутативной производной геометрии, но рассчитана на слушателей, не знакомых с ней. В качестве пререквизитов достаточно не бояться дифференциально-градуированных категорий и гомологий Хохшильда, но я напомню необходимые определения.
Аннотация. Известно, что свободные группы характеризуются когомологической размерностью 1. Я расскажу о том, как Герстен, Громов и Григорчук построили некоторые инварианты когомологического типа, которые аналогичным образом определяют "мягкие" геометрические свойства групп, такие как, например, гиперболичность, аменабельность и сложность проблемы слов.
Аннотация. Пусть X — банахово пространство. Теорема Линденштраусса-Цафрири гласит, что если всякое замкнутое подпространство в X дополняемо, то X топологически изоморфно некоторому гильбертову пространству. Оказывается, это утверждение имеет эквивалентную переформулировку в терминах свойств конечномерных подпространств в X и доказательство при помощи локальной теории банаховых пространств, о котором я и расскажу в своем докладе.
Аннотация. Как хорошо известно, любой самосопряжённый и даже нормальный оператор T в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве представляется в виде суммы D+K, где D — диагонализируемый и K — компактный операторы. Естественно поставить вопрос об описании всех операторов вида D+K. Легко видеть, что любой оператор T = D+K является существенно нормальным, а именно, оператор T*T-TT* является компактным (или, другими словами, образ T будет нормальным в алгебре Калкина), однако не каждый существенно нормальный оператор представляется в виде суммы компактного и диагонализируемого оператора. Критерий для возможности такого представления использует понятие фредгольмова индекса оператора и был впервые дан Брауном, Дугласом и Филлмором. Их доказательство замечательно тем, что привнесло топологические и гомологические методы в теорию операторов. Я собираюсь поподробнее рассказать о всём круге вопросов, связанных с существенно нормальными операторами, и дать представление об идеях, лежащих в основе BDF-теории.
Аннотация. Ассоциативная алгебра над полем называется квазисвободной, если любое ее расширение с нильпотентным ядром расщепляется. Существуют и другие эквивалентные определения таких алгебр — в терминах гомологической размерности, в терминах связностей... Впервые квазисвободные алгебры начали систематически исследовать Кунц и Квиллен в 1995 г. С идеологической точки зрения на квазисвободные алгебры можно смотреть как на некоммутативные аналоги гладких аффинных многообразий в категории всех ассоциативных алгебр. Квазисвободные алгебры можно рассматривать и в контексте функционального анализа, и это приводит к довольно большому числу сугубо аналитических примеров таких алгебр, не имеющих смысла в чисто алгебраической ситуации. В докладе будет рассказано про несколько подходов к понятию квазисвободной топологической алгебры, объяснено, чем такие алгебры хороши и для чего могут быть полезны, и будут приведены разнообразные примеры, в том числе новые.
Аннотация. В 1952 году Э. Майкл сформулировал такую гипотезу: для любой комплексной алгебры Фреше её характеры непрерывны. Спустя 65 лет эта гипотеза остаётся открытой, несмотря на многочисленные частичные результаты и попытки её решения.
В своём докладе я расскажу о теореме Диксона-Эстерля — красивой переформулировке гипотезы Майкла, связывающей теорию топологических алгебр и многомерный комплексный анализ. Как следствие, выполнение гипотезы Майкла тесно связано с существованием "экзотических" областей в Cn для n>1.
Этот доклад основан на записках лекций Жана Эстерля на конференции "Banach Algebras and Applications". Для понимания доклада никаких специальных знаний из функционального анализа не требуется.
