На главную
Расписание занятий

Анализ, 2 курс. Осень 2016/2017 учебного года

(лектор А.Ю.Пирковский, семинары В.И. Богачёв, А.М. Красносельский, В.В. Чепыжов)

Лекции

Лекция 1 (06.09.2016).
Введение: что и на чём можно интегрировать. Историческая справка о теории меры и об интеграле Лебега. Алгебры, σ-алгебры и полуалгебры множеств; примеры. Описание алгебры, порожденной полуалгеброй. Борелевская σ-алгебра. Измеримые пространства и измеримые отображения, борелевские отображения. Прямой образ σ-алгебры и критерий измеримости отображения. Произведения измеримых пространств.
Лекция 2 (13.09.2016).
Произведения измеримых пространств. Борелевская σ-алгебра произведения топологических пространств со счетной базой. Основные свойства измеримых отображений. Меры. Примеры мер. Мера Лебега на полуалгебре стандартных параллелепипедов в Rn. Продолжение меры с полуалгебры на порожденную ей алгебру.
Лекция 3 (20.09.2016).
Свойства мер и критерии σ-аддитивности. σ-аддитивность меры Лебега. Внешние меры. Внешняя мера, порожденная мерой на алгебре множеств. Измеримость множеств по Каратеодори.
Лекция 4 (27.09.2016).
Теорема Каратеодори о продолжении мер. Эквивалентность измеримости по Каратеодори и по Лебегу для случая конечных мер. Теорема Фреше о единственности продолжения меры.
Лекция 5 (04.10.2016).
Мера Лебега в Rn. Ее инвариантность относительно сдвигов. Существование неизмеримых по Лебегу множеств. Регулярность меры Лебега. Аппроксимация измеримых множеств множествами типа Fσ и Gδ с точностью до множеств меры 0. Сохранение свойства измеримости множеств (и множеств меры 0) при локально липшицевом отображении. Мера гладкого подмногообразия в Rn меньшей размерности.
Лекция 6 (11.10.2016).
Характеризация меры Лебега в Rn в терминах инвариантности относительно сдвигов. Сохранение меры Лебега при движениях. Поведение меры Лебега при линейных преобразованиях. Пополнение пространства с мерой. Связь с продолжением по Каратеодори. Простые функции на измеримом пространстве. Аппроксимация измеримых функций простыми.
Лекция 7 (18.10.2016).
Интеграл Лебега для простых неотрицательных функций; его свойства. Интеграл Лебега для неотрицательных измеримых функций. Теорема о монотонной сходимости и теорема Фату для неотрицательных функций. Счетная аддитивность интеграла. Интеграл как функция множества.
Лекция 8 (01.11.2016).
Интегрируемые функции со значениями в R и C; интеграл Лебега. Простейшие свойства интеграла. Полунормированное пространство интегрируемых функций. Роль множеств меры 0 в теории интегрирования. Теоремы о монотонной сходимости, Фату и о мажорированной сходимости для интегрируемых функций.
Лекция 9 (08.11.2016).
Умножение меры на функцию и интеграл по полученной мере. Образ меры при измеримом отображении и интеграл по полученной мере. Связь операций умножения меры на функцию и образа меры. Образ меры Лебега в Rn при C1-диффеоморфизме. Замена переменной для интеграла Лебега в Rn.
Лекция 10 (15.11.2016).
Произведение мер. Лемма о монотонном классе. Принцип Кавальери. Теорема Фубини-Тонелли.
Лекция 11 (22.11.2016).
Теорема Фубини-Тонелли и принцип Кавальери для полных пространств с мерой. Интеграл как площадь под графиком. Интеграл Римана в Rn. Связь интегралов Римана и Лебега. Критерий Лебега интегрируемости по Риману.
Лекция 12 (29.11.2016).
Интеграл Лебега и несобственный интеграл. Непрерывность и дифференцируемость интеграла Лебега по параметру. Сходимость измеримых функций по мере. Неравенство Чебышёва. Сходимость в среднем влечет сходимость по мере. Последовательности, фундаментальные по мере. Теорема Рисса о связи сходимостей по мере и почти всюду. Теорема Егорова. Следствие: для конечных мер сходимость почти всюду влечет сходимость по мере.
Лекция 13 (06.12.2016).
Пространства Lp(X,μ). Их полнота. Плотные подпространства в Lp(X,μ). Комплексные меры. Вариация комплексной меры.
Лекция 14 (16.12.2016).
Ограниченность вариации σ-аддитивной комплексной меры на σ-алгебре. Положительная и отрицательная вариации действительной меры. Взаимно сингулярные меры. Абсолютная непрерывность мер. Примеры. Произведение меры на интегрируемую функцию. Критерий абсолютной непрерывности. Следствие: абсолютная непрерывность интеграла.
Лекция 15 (20.12.2016).
Теорема Лебега-Радона-Никодима. Полярное разложение комплексных мер. Формула вариации для произведения меры на функцию. Разложения Жордана и Хана действительных мер.

Материалы семинаров

Листки

Каждый листок можно сдавать в течение двух приемов задач, не считая дня раздачи листка. После этого листок сдавать тоже можно, но за это будет начисляться в 2 раза меньше баллов.

Вопросы к коллоквиуму 28.10.2016

Индивидуальное домашнее задание. Срок сдачи 13.12.2016 в письменном виде.

Вопросы к экзамену 27.12.2016

Критерии оценки знаний

Список литературы

Rambler's Top100