Приблизительная тематика семинара — обсуждение разнообразных сюжетов, находящихся на стыке указанных в его названии областей. Также приветствуются доклады, относящиеся только к функциональному анализу (но не лишенные алгебраического аромата) или только к некоммутативной геометрии в достаточно широком понимании этого термина.
Семинар проходит по пятницам в 14:00-15:20 на факультете математики НИУ ВШЭ (Усачёва ул., д. 6) в ауд. 208.
Желающие выступить с докладом могут обращаться к руководителю семинара (pirkosha собака gmail точка com).
Аннотация. Классическая теория комплексного умножения позволяет построить по мнимому квадратичному полю эллиптическую кривую, и в ее терминах описать максимальное абелево расширение. Для вещественного поля такой теории нет, но есть гипотеза Старка, которая дает гипотетическое описание абелевого расширения как поля, которое получается присоединением значений некоторых функций. Возникает вопрос: можно ли получить эти функции каким-то образом по геометрическому объекту, связанному с квадратичным полем? Я хочу рассказать о Программе «Вещественное умножение» Ю.И.Манина. Эта теория позволяет определить некоммутативный аналог комплексной кривой с комплексным умножением — двумерный квантовый тор, и пытается перенести на него разные классические утверждения.
Аннотация. Я постараюсь дать короткое введение в производную алгебраическую геометрию, после чего обсудить возникающий формализм Фурье-Мукая и некоторые из его применений.
Аннотация. Я продолжу рассказ про кластерные алгебры. Для понимания желательно знать определение обычной (коммутативной) кластерной алгебры, хотя я кратко выпишу его в форме, удобной для нашей цели. Наша цель — это аналог определения кластерной алгебры, где кластерные переменные в каждом кластере q-коммутировали бы. Все определения, относящиеся к некоммутативному случаю, будут повторены. Определённая в итоге алгебра будет подалгеброй в теле частных квантового тора.
Аннотация. Кластерные алгебры, введённые в начале 2000-ых С.Фоминым и А.Зелевинским — это коммутативные алгебры, у которых система образующих (возможно, бесконечная) состоит из (иногда пересекающихся) конечных кластеров одинакового размера. Эти кластеры получаются из начального кластера цепочками мутаций; новые кластерные переменные являются рациональными функциями от переменных начального кластера (на самом деле, даже многочленами Лорана, но это не очевидно). В рамках принципа «квантовать всё, что движется», у кластерных алгебр тоже есть квантовые аналоги; в этом случае кластерные переменные одного кластера q-коммутируют с друг с другом. Многие приятные свойства кластерных алгебр (феномен Лорана, гипотеза положительности) есть и в квантовом случае.
В своём докладе я определю кластерные алгебры, расскажу про некоторые их свойства и дам все необходимые определения, чтобы корректно описать квантовую версию.
Аннотация. Гипотезы Капланского заключаются в следующем: в любой разумной групповой алгебре (целочисленной, С*, Сr*) дискретной группы без кручения нет нетривиальных идемпотентов. «Теорема» Громова о том, что любое утверждение о всех группах либо тривиально, либо неверно, позволяет надеяться, что существует некоторый пока неизвестный класс сложно устроенных групп, для которых она неверна; например, парасвободная гипотеза привела к открытию Баумслагом парасвободных групп. Не обращая внимания на открывающиеся возможности, я попробую рассказать о том, при каких ограничениях гипотеза Капланского верна, и как построить несколько интересных следов на групповых алгебрах и их К-теориях, помогающих в доказательстве.
Аннотация. В геометрии есть множество инструментов для изучения пространств: К-теория, различные (ко)гомологии, связности, кривизны — всё не перечислить. Я расскажу о том, как обобщить это на случай некоммутативной геометрии, и покажу пару теорем из классической геометрии в этом контексте.
Аннотация. Около 30 лет назад в той части математики, которую Дж. фон Нойманн называл «абстрактным анализом», зародилось новое направление. Данное событие привело к решению значительного числа хорошо известных проблем, которые изначально были сформулированы в чисто классических терминах. Это было сделано после того, как некоторые математики в процессе исследования той или иной задачи осознали, что наряду с классической нормой на заданном линейном пространстве нередко в скрытом виде присутствует существенно более богатая структура — так называемая «квантовая норма» или «структура абстрактного операторного пространства».
Мы начнем с описания нескольких классических проблем, которые были прояснены и решены после их переформулировки на языке квантовых норм. Затем мы обсудим два основных понятия данной области — понятия квантовой нормы и вполне ограниченного оператора, а также приведем некоторые примеры и контрпримеры. Мы также объясним использование терминов «квантовая норма» и «квантование нормированного пространства» с общих позиций идеологии, называемой квантовой или некоммутативной математикой.
В квантовом функциональном анализе нетрудно выделить три особенно глубоких и важных результата, которые образуют ядро этого предмета. Это теорема Руана о представлении (суть которой в том, что нет квантовых пространств кроме операторных пространств), теорема Арвесона-Виттстока (называемая также квантовой теоремой Хана-Банаха) и теорема Полсена-Виттстока о разложении (которая сводит произвольные вполне ограниченные операторы к операторам двух вполне конкретных типов). В заключительной части доклада мы обсудим эти теоремы, формулировки которых весьма просты и прозрачны.
Аннотация. Две алгебры называются Морита-эквивалентными, если у них эквивалентные категории модулей. Мы обсудим множество примеров, ряд способов проверки этого свойства, а также специфику этого явления для C*-алгебр.
Аннотация. Рассказ будет строиться по работам Ника Уивера (Nik Weaver). В качестве некоммутативного аналога метрических пространств он предлагает рассматривать области определения специального вида неограниченных дифференцирований (W*-derivation). Идея базируется на том факте, что в коммутативной ситуации такими областями определения являются алгебры липшицевых функций. Некоммутативные примеры включают в себя W*-динамические системы, где динамика естественным образом порождает «метрическую структуру» (в частности, такая структура есть на некоммутативных торах). В коммутативном случае эта теория также полезна, т. к. задаёт дифференциальное исчисление на метрических пространствах.
Аннотация. Данный доклад будет посвящён разбору статьи Ф.Рунде и др. "Gelfand theory for non-commutative Banach algebras", в которой авторы аксиоматизируют понятие преобразования Гельфанда для произвольной (не обязательно коммутативной) банаховой алгебры. Все необходимые определения будут даны по ходу доклада.
Ссылки на статью: препринт, опубликованная версия
Аннотация. Чтобы сформировать факторпространство некоторого топологического пространства, достаточно задать на нем отношение эквивалентности. Однако обычно отношения эквивалентности приходят из более богатой структуры, например, из действия группы; в подобной ситуации отношение эквивалентности забывает о том, какими разными способами можно отождествить две точки. Мы разберем конструкцию Конна: по "данным факторизации" мы построим некую некоммутативную алгебру, про которую стоит думать как про некоммутативное факторпространство. В хороших ситуациях эта алгебра оказывается Морита-эквивалентной алгебре функций на обычном факторпространстве, а в плохих позволяет заниматься "геометрией", несмотря, например, на нехаусдорфовость (или даже антидискретность) топологии на факторпространстве. В докладе будет сделан упор на наглядные примеры.
Аннотация. Квантовыми торами обычно называют ассоциативные алгебры, являющиеся (в том или ином смысле) некоммутативными деформациями различных алгебр функций на n-мерном торе — полиномиальных, голоморфных, гладких, непрерывных... Цель доклада — вычислить гомологические размерности некоторых из них. Попутно мы обсудим соотношения Ван ден Берга между гомологиями и когомологиями Хохшильда ассоциативных алгебр, выясним, какую роль в вопросах такого рода может сыграть свойство ядерности рассматриваемых алгебр, и поговорим об общей проблеме сравнения глобальной размерности с биразмерностью.
