Семинар «Основные понятия математики». осень 2016 г.

(руководители Ю.М.Бурман, С.М.Львовский)

Доклады

• [15 и 22 сентября] Ю.Бурман, «Главное сечение четырехмерного куба».
• [29 сентября и 6 октября] С.Львовский, «Квадратичный закон взаимности».
• [13 октября] Ю.Бурман, «Как решать кубическое уравнение и почему этого никогда не делают».
• [20 окрября, 3 ноября] С.Львовский, «Теорема Банаха–Тарского».
• [10 и 17 ноября] Ю.Бурман, «Теорема Брауэра и причесывание ежа».
• [24 ноября] С.Львовский, «Построение циркулем и линейкой: неразрешимость задачи удвоения куба».
• [1 декабря] С.Львовский, «Построение циркулем и линейкой: построение правильных многоугольников».
• [8 декабря] Е.Иткина, «Постулат Бертрана»

Задачи для размышления

Появляются постепенно; иногда новые задачи связаны с темой последнего доклада.

1. Диаметры куба и шара. Диаметром множества называется максимальное расстояние между его точками. Диаметр n-мерного куба равен квадратному корню из n (почему?), а объем равен 1. Пусть r_n — диаметр n-мерного шара объема 1. Как ведет себя отношение r_n к корню квадратному из n, если n стремится к бесконечности?
2. Главное сечение пятимерного куба. Является ли правильным четырехмерный многогранник, заданный условиями -1 ≤ x₁, … x₅ ≤ 1, x₁ + … + x₅ = 0 ?
3. Квадрат суммы равен сумме кубов. Пусть n — натуральное число, d₁, ..., d_k — его делители (включая 1 и само n), и пусть d₁ имеет m₁ делителей, d₂ — m₂ делителей, и т.д. Докажите, что m₁³ + ... + m_k³ = (m₁ + ... + m_k)².
4. Бесконечное произведение Эйлера. Докажите, что при любом s > 1 имеет место равенство

   1/(1-1/2^s)  1/(1-1/3^s)  1/(1-1/5^s) ... = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ...

   В левой части — произведение по всем простым числам, в правой — сумма по всем натуральным числам.

5. Турнир. В круговом турнире каждый участник играет с каждым. Игра может закончиться победой одного из них (тогда она называется результативной) или ничьей. Общее число участников турнира нечетно. Докажите, что существует группа участников (она может состоять из всего одного человека, а может даже из всех участников турнира) такая, что каждый участник турнира (как входящий в группу, так и не входящий) сыграл с членами группы четное число результативных партий.
6. Причеши ежа. а) На круге (вместе с окружностью) нарисовано векторное поле X, не имеющее нулей. Ограничение этого поля на граничную окружность — кривая, не проходящая через начало координат. Докажите, что ее индекс (количество оборотов вокруг начала координат) равен 1. б) Пусть X — касательное векторное поле без нулей на торе (наружная поверхность бублика) с круглой дыркой. Сколько оборотов делает ограничение этого поля на границу дырки вокруг касательной к границе? в) Докажите, что на торе существует касательное векторное поле без нулей, а на наружной поверхности кренделя (она же «сфера с двумя ручками») — нет.

Возможные темы для докладов

Список не является исчерпывающим, и тоже будет постепенно дополняться.

1. Постулат Бертрана: между N и 2N всегда имеется простое число.
2. Теорема Эрроу о диктаторе: не существует «идеальной» системы голосования по трем или более кандидатурам.
3. Поризм Понселе: если два эллипса таковы, что один описан вокруг n-угольника, а другой вписан в него, то одну из вершин n-угольника можно расположить в любой точке первого эллипса. Теорема имеет много доказательств (использующих идеи из алгебры, алгебраической и дифференциальной геометрии, комплексного анализа, теории меры и др.), так что можно сделать несколько докладов.