На главную
Расписание занятий
Топологические векторные пространства и обобщенные функции. Осень 2015/2016 учебного года
Аннотация курса
- Лекция 1 (15.09.2015).
- Историческая справка о теории топологических векторных пространств.
Топологические векторные пространства. Топология, порожденная семейством полунорм. Примеры: пространства
непрернывных, гладких, голоморфных функций, пространство Шварца, пространство быстро убывающих последовательностей,
слабая и слабая* топологии. Выпуклые, закругленные и абсолютно выпуклые множества и их оболочки.
Поглощающие множества. Функционал Минковского и его свойства.
Задачи к лекции 1
- Лекция 2 (22.09.2015).
- Локально выпуклые пространства и их "полинормируемость".
Критерии непрерывности полунормы на локально выпуклом пространстве и линейного оператора между
локально выпуклыми пространствами. Наличие достаточного количества непрерывных
линейных функционалов на хаусдорфовом локально выпуклом пространсстве. F-нормы и примеры метризуемых
локально выпуклых пространств с тривиальным двойственным. Эквивалентные семейства полунорм; примеры.
Задачи к лекции 2
- Лекция 3 (29.09.2015).
- Конечномерные, нормируемые и метризуемые локально выпуклые
пространства. Ограниченные множества в топологических векторных пространствах. Борнологические локально выпуклые
пространства; борнологичность метризуемых пространств; критерий борнологичности в терминах линейных операторов.
Топологически инъективные, открытые и строгие линейные операторы. Критерии открытости и топологической
инъективности в терминах полунорм.
Задачи к лекции 3
- Лекция 4 (06.10.2015).
- Подпространства, факторпространства топологических
векторных пространств. Универсальное свойство факторпространств. Ассоциировнное хаусдорфово пространство.
Проективные и индуктивные локально выпуклые топологии. Примеры: пространства финитных непрерывных и финитных
гладких функций, пространство ростков голоморфных функций. Произведения.
Задачи к лекции 4 (обновлено 15.10.2015)
- Лекция 5 (13.10.2015).
- Локально выпуклые прямые суммы (копроизведения).
Обратные пределы локально выпуклых пространств. Пространства Кёте. Примеры.
Задачи к лекции 5
- Лекция 6 (20.10.2015).
- Прямые пределы локально выпуклых пространств. Примеры.
Строгие прямые пределы и их свойства. Локально выпуклые топологии на пространствах отображений.
Задачи к лекции 6
- Лекция 7 (27.10.2015).
- Сходимость направленностей в топологических пространствах.
Полные топологические векторные пространства. Продолжение линейных отображений "по непрерывности".
Конструкции, сохраняющие полноту. Примеры полных локально выпуклых пространств.
Задачи к лекции 7
- Лекция 8 (03.11.2015).
- Пополнение локально выпуклого пространства.
Пополнение как обратный предел ассоциированных банаховых пространств.
Пополнение как функтор. Равностепенно непрерывные семейства линейных отображений.
Ограниченность равностепенно непрерывных семейств. Бочечные пространства.
Бочечность пространств Фреше. Бочечные пространства и индуктивные топологии.
Теорема Банаха-Штейнгауза для бочечных пространств и ее следствия. Квазибочечные пространства.
Теорема Банаха-Алаоглу-Бурбаки.
Теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике
для пространств Фреше.
Задачи к лекции 8
- Лекция 9 (10.11.2015).
- Проективное тензорное произведение полунормированных
пространств: универсальное свойство и явная конструкция. Инъективное тензорное произведение полунормированных
пространств. Приемлемые кросс-полунормы на тензорных
произведениях. Максимальность проективной тензорной полунормы и минимальность инъективной тензорной
полунормы в классе приемлемых кросс-полунорм. Проективное и инъективное тензорные произведения локально выпуклых
пространств, их функториальность.
Задачи к лекции 9
- Лекция 10 (17.11.2015).
- Хаусдорфовость проективного и инъективного тензорных
произведений. Некоторые канонические изоморфизмы, связанные с проективным тензорным произведением.
Проективные тензорные произведения L^1-пространств, пространств Кёте, пространств гладких
функций на торах и голоморфных функций на полидисках; инъективные тензорные произведения
пространств непрерывных функций.
Задачи к лекции 10
- Лекция 11 (24.11.2015).
- Представление элемента пополненного проективного
тензорного произведения пространств Фреше в виде суммы ряда простейших тензоров.
Ядра и коядра в некоторых категориях полунормированных и локально выпуклых пространств.
Перестановочность проективных тензорных произведений с коядрами. Перестановочность
полного проективного и полного инъективного тензорных произведений с приведенными
обратными пределами и с произведениями.
Задачи к лекции 11
- Лекция 12 (01.12.2015).
- Ядерные операторы между банаховыми
пространствами. Эквивалентные определения ядерных операторов, простейшие свойства, примеры
(диагональные операторы, интегральные операторы в C[a,b]). Факторизация ядерных
операторов через гильбертовы пространства. Ядерные операторы между
локально выпуклыми пространствами. Банаховы диски и факторизация ядерных операторов
через ассоциированные банаховы пространства. Ядерные локально выпуклые пространства.
Критерий Гротендика-Пича ядерности пространства Кёте.
Сохранение ядерности при стандартных конструкциях (формулировка).
Примеры ядерных пространств (пространство быстро убывающих последовательностей,
пространства гладких и голоморфных функций, пространство Шварца).
Задачи к лекции 12
- Лекция 13 (08.12.2015).
- Сохранение ядерности при стандартных конструкциях
(доказательство). Совпадение проективного и инъективного тензорных произведений на ядерное пространство.
Точность функтора полного проективного тензорного произведения пространств Фреше при условии ядерности.
Двойственность (обзор): дуальные пары, слабые топологии, теорема о биполяре, согласованные с
двойственностью топологии, теорема Макки-Аренса, топология Макки, теорема Макки
(Макки-ограниченность слабо ограниченных множеств), сильная топология, теорема Банаха-Макки.
Задачи к лекции 13
- Лекция 14 (15.12.2015).
- Функториальность слабой топологии, топологии Макки
и сильной топологии. Полурефлексивные и рефлексивные пространства, характеризации полурефлексивности.
Полумонтелевские и монтелевские пространства, их (полу)рефлексивность. Полумонтелевость полных ядерных
пространств. Интерпретация инъективного тензорного произведения как пространства билинейных функционалов.
Вложение инъективного тензорного произведения в пространство операторов. Общая теорема о ядре.
- Лекция 15 (22.12.2015).
- Сопряженная ассоциативность (экспоненциальный закон)
для пространств Фреше. Теорема Гротендика об ограниченных множествах в проективном тензорном произведении
пространств Фреше при условии ядерности одного из сомножителей. "Топологизация" сопряженной ассоциативности.
Сопряженное к тензорному произведению ядерных пространств Фреше как тензорное произведение их сопряженных.
Пространства обобщенных функций, их свойства (в т.ч. ядерность), действия с обобщенными функциями,
пучок обобщенных функций (обзор). Теоремы Шварца о ядре для обобщенных функций.
Список литературы
Домашний экзамен. Срок сдачи - 22 декабря в письменном виде.
