Приблизительная тематика семинара — обсуждение разнообразных сюжетов, находящихся на стыке указанных в его названии областей. Также приветствуются доклады, относящиеся только к функциональному анализу (но не лишенные алгебраического аромата) или только к некоммутативной геометрии в достаточно широком понимании этого термина.
Семинар проходит по четвергам в 15:30-16:50 на факультете математики НИУ ВШЭ (ул. Вавилова, д. 7) в ауд. 302.
Желающие выступить с докладом могут обращаться к руководителю семинара (pirkosha собака gmail точка com).
Аннотация. Многообразия (в различных науках) определяются как пространства, "склеенные" из модельных пространств, например из Rn, Cm, аффинных схем. Можно также построить теорию бесконечномерных многообразий, у которых моделями будут банаховы (более общо — локально выпуклые) пространства. Оказывается, что теория банаховых многообразий очень похожа на теорию конечномерных дифференцируемых многообразий. Я сформулирую основные теоремы из этой теории, а также дам несколько примеров и покажу, как можно её применить к конкретной задаче. Возможно, я затрону более общую теорию бесконечномерных многообразий, в которой известно больше естественных примеров многообразий, зато можно сформулировать меньше общих результатов.
Аннотация. Будет рассказано о возможности определения К-теории С*-алгебр с помощью ненамного более общих порождающих, чем проекторы и унитарные элементы. Помимо методического удобства (не нужно присоединять единицу), такое описание позволяет обобщать некоторые топологические результаты.
Аннотация. Рассмотрим групповую алгебру фон Неймана свободной группы от n образующих. Правда ли, что для разных n эти алгебры не изоморфны? Если бы это были групповые C*-алгебры, то операторная К-теория давала бы ответ да, но в нашем случае ответ неизвестен! Дан Войкулеску в 1986 году предложил теорию свободной вероятности в надежде построить новый инвариант "свободная размерность". Увы, это все еще не сделано, но зато оказалось, что эта теория применима в изучении случайных матриц, асимптотической теории представлений, квантовой теории информации и многих других областях. Я расскажу основные определения и теоремы, и в зависимости от желаний аудитории расскажу о приложениях. Никаких предварительных знаний не требуется.
Аннотация. Будет рассказано про некоторые разработки Nik Weaver'а, изложенные в его монографии "Lipschitz algebras" и статье "Lipschitz Algebras and Derivations of von Neumann Algebras". Он исследовал вопрос о "правильном" аксиоматическом определении алгебры липшицевых функций, и выяснил, что они имеют очень интересную природу, близкую к природе алгебр фон Ноймана (например, они являются двойственными пространствами). Прогресс в изучении таких алгебр позволил построить аналог дифференциального исчисления на метрических пространствах. Также будет рассказано про некоммутативные "липшицевы алгебры" в смысле Weaver'а, открывающие путь к дифференциальному исчислению на некоммутативных пространствах.
Аннотация. Это будет вводный доклад, на котором я расскажу про основные понятия и конструкции, связанные с DG-категориями. В частности, я расскажу про их квази-эквивалентности и Морита-эквивалентности и про то, что такое DG-оснащение для триангулированной категории. Надеюсь, что в результате моего доклада сложится какое-то представление о том, почему DG-категории могут быть объектом изучения некоммутативной геометрии.
Аннотация. В этом докладе я расскажу про подход, который может помочь вычислить оболочки Аренса-Майкла некоторых лорановских расширений Оре, в частности, оболочку квантовой универсальной обёртывающей алгебры при |q|≠1. Для этого я определю аналитические аналоги обратимых бимодулей, докажу самые базовые свойства этих объектов и попытаюсь рассказать, как можно дойти до определения аналитического аналога L(M) — лорановской тензорной алгебры обратимого бимодуля. Также я объясню, почему это сделать намного сложнее, чем для T(M) — обычной тензорной алгебры.
Этот доклад, по сути, является продолжением доклада 11.02.2016, но все необходимые определения я всё равно напомню.
Аннотация. Топологическая алгебра над полем комплексных чисел называется штейновой, если она изоморфна алгебре голоморфных функций на некотором комплексном пространстве Штейна. Теорема Форстера (1967) утверждает, что категория пространств Штейна двойственна (т.е. антиэквивалентна) категории штейновых алгебр. Этот результат напоминает теорему Гельфанда-Наймарка о двойственности между хаусдорфовыми компактами и коммутативными C*-алгебрами (с единицей), а также категорную форму теоремы Гильберта о нулях, устанавливающую двойственность между аффинными алгебраическими многообразиями и конечно порожденными коммутативными алгебрами без нильпотентов. Однако, в отличие от двух вышеупомянутых результатов, теорема Форстера не дает описания штейновых алгебр во "внутренних" терминах и не позволяет отождествить категорию штейновых алгебр с "коммутативной частью" какой-либо разумной категории топологических алгебр.
Цель доклада — вкратце обсудить основные моменты доказательства теоремы Форстера, а затем модифицировать ее таким образом, чтобы по возможности ликвидировать ее вышеупомянутый недостаток. С этой целью будет введена категория голоморфно кончено порожденных алгебр (HFG-алгебр), и будет показано, что коммутативные HFG-алгебры — это в точности алгебры голоморфных функций на пространствах Штейна конечной размерности вложения. В объединении с теоремой Форстера это означает, что категория пространств Штейна конечной размерности вложения двойственна категории коммутативных HFG-алгебр.
Если позволит время, мы также поговорим о том, какие бывают некоммутативные HFG-алгебры, чем категория HFG-алгебр хороша, чем она плоха, и какие в этой связи есть нерешенные задачи.
Аннотация. Доклад посвящен обсуждению вопросов справедливости классических утверждений и построений гомологической алгебры в различных классах аддитивных категорий с ядрами и коядрами. Такие (неабелевы) категории нередко возникают в алгебре и функциональном анализе.
Аннотация. Я расскажу о том, как Джонс придумал свой инвариант узлов: изначально он изучал подфакторы алгебр фон Неймана и разработал базовую конструкцию, которая позволяет построить цепочку подфакторов и проекторов. Оказалось, что данные проекторы удовлетворяют соотношениям в алгебре Темперли-Либа, которые тесно связаны с узлами. Все определения будут даны, никаких предварительных знаний не требуется.
Аннотация. Метрику на топологическом компакте можно восстановить, зная, какие из непрерывных функций на нём являются сжимающими. Значит, задание функции расстояния эквивалентно заданию отображения, сопоставляющего каждой непрерывной функции её липшицеву константу. Marc A. Rieffel в серии своих работ предложил аксиоматизацию такого отображения ("липшицевой полунормы"), которая очевидным образом обобщается на некоммутативный случай. Получившийся объект он назвал "квантовым метрическим компактом".
Эти объекты тесно связаны со спектральными тройками A. Connes'а, но гораздо проще в определении и работе с ними. В частности, для квантовых метрических компактов существует аналог сходимости по Громову-Хаусдорфу. Основные примеры: групповые С*-алгебры с заданной на группе функцией длины, квантовые торы, С*-динамические системы. Также абстрактные липшицевы полунормы связаны с вопросами метризации пространства состояний С*-алгебр.
Аннотация. Мы сформулируем достаточные условия существования C∞-функционального исчисления на топологических *-алгебрах. Главным из них является дифференциальное условие Киссина-Шульмана для последовательности преднорм. Будут рассмотрены примеры из коммутативной и некоммутативной геометрии и обсуждено понятие оболочки: функтора из алгебраической геометрии в дифференциальную.
Аннотация. Я расскажу о пространстве плиток Пенроуза X как о примере некоммутативного пространства. Алгебра некоммутативных функций на X окажется AF-aлгеброй. Мы посчитаем ее К-группы и поймем, что это говорит о плитках, а затем обсудим общую теорию AF-алгебр. Все определения будут даны, никаких предварительных знаний от слушателей не требуется.
Аннотация. На семинаре 02.03.16 мы обсудили конструкцию непрерывной оболочки стереотипной алгебры и ее применение для категорного построения топологии. Семинар 24.03.16 будет посвящен аналогичной конструкции в дифференциальной геометрии. Мы опишем понятие гладкой оболочки, приведем важные примеры и построим "гладкое" обобщение понтрягинской двойственности для некоторых классов групп Ли.
Аннотация. Неравенство Гротендика связывает фундаментальные банаховы пространства (L1 и L∞) с гильбертовым пространством (L2). В докладе мы обсудим доказательство самого неравенства, а также разнообразные его применения, переформулировки и обобщения. Также я постараюсь рассказать и о некоммутативном варианте неравенства Гротендика для C*-алгебр.
Аннотация. Важным инвариантом топологического пространства являются его К-группы, которые приходят из рассмотрения векторных расслоений на этом пространстве. Я расскажу о том, как эти группы построить, смотря лишь на алгебру непрерывных функций на этом пространстве, и о том, что такое К-теория С*-алгебр. Этот подход не только дает новый взгляд на классическую К-теорию, но и позволяет расширить ее область применения. Доклад будет базовым, я дам необходимые определения, приведу примеры типичных рассуждений (например, мы докажем периодичность Ботта). В последующие разы на основе этого я постараюсь рассказать о том, как с помощью этой науки доказывать различные теоремы об индексе (например, теорему Атьи-Зингера).
Аннотация. Я продолжу рассказ про полугруппы "диффузии", а именно, про однопараметрические полугруппы вполне марковских операторов. Рассказ начнётся с содержательных примеров и определения С*-форм Дирихле. Тройки вида (A,m,E), состоящие из С*-алгебры, полуконченого следа и С*-формы Дирихле, являются "геометрическими" объектами. Для них возможно построить дифференциальное исчиление первого порядка, определить бимодуль "сечений касательного расслоения", аналоги градиента, дивергенции, римановой метрики. Примеры таких "некоммутативных геометрий" можно строить, например, на групповых алгебрах с заданной функцией длины или алгебрах Клиффорда поливекторных полей риманова многообразия. В коммутативном случае такой подход позволяет определить измеримый аналог римановой геометрии на пространствах, не являющихся многообразиями, например, на графах или фрактальных множествах, вроде ковра Серпинского.
Основная литература по теме:
Аннотация. Со времен изобретения первых оптических приборов в физике утвердилась идея, что видимый образ наблюдаемого объекта зависит от инструментов наблюдения. Один из способов формализовать ее в математике — конструкция, сопоставляющая произвольному объекту A категории K его оболочку EnvΦΩA в заданном классе морфизмов Ω (интерпретируемом как класс представлений) относительно заданного класса морфизмов Φ (интерпретируемого как класс инструментов наблюдения). Оказывается, что если в качестве K фиксировать какую-нибудь достаточно широкую категорию топологических алгебр (например, категорию стереотипных алгебр), то каждый выбор классов Ω и Φ будет определять некую "проекцию функционального анализа в геометрию", причем стандартные математические дисциплины — комплексная геометрия, дифференциальная геометрия и топология — становятся частными примерами этой конструкции. Наглядно детали этих построений и их результаты удобно изобразить в виде следующей таблицы: (см. файл). Мы поговорим о том, как работает и что позволяет увидеть эта схема в различных геометрических дисциплинах.
Аннотация. Рассказ начнётся с описания классической конструкции GNS-представления и конструкции L^p-пространств, связанных с W*-алгеброй. Затем будет определена полугруппа "диффузии", а именно однопараметрическая полугруппа вполне марковских операторов. Такие полугруппы удобно задавать квадратичными формами на L^2-пространстве, называемыми С*-формами Дирихле. Тройки вида (A,m,E), состоящие из С*-алгебры, полуконченого следа и С*-формы Дирихле являются "геометрическими" объектами. Для них возможно построить дифференциальное исчиление первого порядка, определить бимодуль "сечений касательного расслоения", аналоги градиента, дивергенции, римановой метрики. Примеры таких "геометрий" можно строить, например, на групповых алгебрах с заданной функцией длины или алгебрах Клиффорда поливекторных полей риманова многообразия.
Аннотация. По аналогии с другими разделами математики, теория меры также имеет свой "некоммутативный" аналог. В данном случае это теория W*-алгебр и связанных с ними операторных Lp-пространств. Я предлагаю обсудить основные факты и конструкции этой науки. В основном речь пойдёт о случае полуконечных W*-алгебр, в котором все построения заметно упрощаются. В конце доклада я дам определение вполне марковской полугруппы операторов, которая будет играть центральную роль в продолжении рассказа.
Аннотация. В своём докладе я постараюсь рассказать про оболочки Аренса-Майкла топологических алгебр. Сначала будут разобраны основные примеры, иллюстрирующие главные свойства этого соответствия. Также пойдёт речь о расширениях Оре, и о том, при каких условиях можно посчитать оболочку Аренса-Майкла данного расширения Оре. В конце я расскажу про нерешённые проблемы в этой области.
