На главную

Семинар «Основные понятия математики». 2015/2016 учебный год.

(руководители Ю.М.Бурман, С.М.Львовский)

Цель этого семинара — продемонстрировать участникам, «как работает» математика. Поэтому темы будут обсуждаться самые разнообразные (из геометрии, алгебры, теории чисел, топологии, анализа, комбинаторики...). Семинар предназначен в основном для студентов первого курса; часть тем (но не все!) будут такие же, как в прошлом году. Некоторые доклады делают руководители семинара, некоторые — приглашенные докладчики, некоторые — слушатели семинара.

По семинару можно получить зачет (в конце 2 модуля).

Планы на будущее

• Теорема Шарковского.
  Если непрерывная функция f:[0,1] -> [0,1] имеет периодическую точку периода 3 ( f(f(f(x))) = x ), то она имеет периодическую точку произвольного периода.
• Поризм Понселе.
  Эллипс E₁ расположен внутри эллипса E₂. Отображение f:E₁ -> E₁ переводит точку a в точку b такую, что хорда ab касается эллипса E₂. Если отображение f имеет периодическую точку периода n, то его n-ая итерация — тождественное отображение.
  Теорема имеет множество доказательств, использующих методы из разных областей математики (алгебра, дифференциальная геометрия, комплексный анализ). Так что на эту тему может быть даже несколько докладов.
• Теорема Эрроу о диктаторе и нестандартный анализ.
  Теорема Эрроу утверждает, что не существует системы голосования по нескольким кандидатурам, удовлетворяющей нескольким естественным требованиям. Неожиданным образом эта теорема косвенно связана с так называемым нестандартным анализом (в котором кроме обычных чисел есть и бесконечно малые).
• Теория Рамсея.
  Для произвольных k и l существует большое (иногда — ОЧЕНЬ большое) число N(k,l) такое, что при любой раскраске натуральных чисел в k цветов среди первых N(k,l) чисел найдется одноцветная арифметическая прогрессия длины l.
• Статистики Гаусса–Кузьмина.
  Вероятность того, что два взятых наугад целых числа окажутся взаимно простыми, равна 6/π².
• SO(3)=RP³.
  Множество движений трехмерного пространства, сохраняющих ориентацию и начало координат, представляет собой трехмерное проективное пространство.