На главную
Расписание занятий

Мера и интеграл. 2014/2015 учебный год, осенний семестр

(лектор А.Ю.Пирковский)

Аннотация курса

Лекция 1 (09.09.2014). Историческая справка о теории меры и интеграле Лебега. Алгебры, σ-алгебры и полуалгебры множеств. Борелевская σ-алгебра. Измеримые пространства и измеримые отображения, борелевские отображения. Прямой образ σ-алгебры и критерий измеримости отображения. Произведения измеримых пространств. Борелевская σ-алгебра произведения топологических пространств. Литература: [BogachSmol, MakPodk, Cohn, Folland, Bogachev, KolmFom, KirGvish, Fremlin, Lang].

Лекция 2 (23.09.2014). Основные свойства измеримых отображений. Меры. Примеры мер. Мера Лебега на полуалгебре стандартных параллелепипедов в Rⁿ. Продолжение меры с полуалгебры на порожденную ей алгебру. Свойства мер и критерии σ-аддитивности. σ-аддитивность меры Лебега. Литература: [BogachSmol, MakPodk, Cohn, Folland, Bogachev, KolmFom, KirGvish, Fremlin, Lang, Rudin].

Лекция 3 (30.09.2014). Внешние меры. Внешняя мера, порожденная мерой на алгебре множеств. Измеримость множеств по Каратеодори. Теорема Каратеодори о продолжении мер. Теорема Фреше о единственности продолжения меры. Эквивалентные определения измеримых множеств для случая конечных мер. Литература: [MakPodk, Cohn, Folland, Bogachev, Fremlin, Rudin].

Лекция 4 (07.10.2014). Мера Лебега в Rⁿ. Регулярность меры Лебега. Сохранение измеримости множества при локально липшицевом отображении. Характеристическое свойство меры Лебега - инвариантность относительно сдвигов и конечность на компактах. Инвариантность меры Лебега относительно движений. Литература: [MakPodk, Cohn].

Лекция 5 (14.10.2014). Поведение меры Лебега при линейных преобразованиях. Простые функции. Аппроксимация измеримых функций простыми. Пополнение пространства с мерой и связь с конструкцией Каратеодори. Связь между измеримостью функции относительно исходной и пополненной σ-алгебр. Интеграл для простых функций и его простейшие свойства. Литература: [BogachSmol, MakPodk, Cohn, Folland, Bogachev, Lvovsky, Halmos, Fremlin, Rudin].

Лекция 6 (21.10.2014). Интеграл для неотрицательных функций. Теорема о монотонной сходимости. Лемма Фату. σ-аддитивность интеграла. Интеграл для функций со значениями в R и C. Линейность интеграла. Полунормированное пространство интегрируемых функций. Роль множеств меры 0 в теории интегрирования. Литература: [BogachSmol, MakPodk, Cohn, Folland, Lvovsky, Fremlin, Rudin].

Лекция 7 (28.10.2014). Теорема Лебега о мажорированной сходимости. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана (собственным и несобственным). Сходимость в L¹ и сходимость по мере. Литература: [BogachSmol, MakPodk, Cohn, Folland, Fremlin, Rudin].

Лекция 8 (11.11.2014). Теорема Рисса о связи сходимости по мере и сходимости почти всюду. Теорема Егорова. Пространства L^p(X,μ). Литература: [BogachSmol, MakPodk, Cohn, Folland, Bogachev, KolmFom, KirGvish, Halmos, Fremlin, Lang, Rudin].

Лекция 9 (02.12.2014). Плотные подпространства в L^p(X,μ). Произведения мер. Теоремы Фубини и Тонелли. Литература: [BogachSmol, MakPodk, Cohn, Folland, Bogachev, KolmFom, KirGvish, Lvovsky, Halmos, Fremlin, Lang, Rudin].

Лекция 10 (09.12.2014). Теоремы Фубини и Тонелли для полных мер. Принцип Кавальери. Интеграл как площадь под графиком. Умножение меры на функцию. Образ меры при отображении. Замена переменной в интеграле Лебега в Rⁿ.

Лекции 11-12 (16.12.2014). Комплексные меры. Вариация комплексной меры, ее конечность. Положительная и отрицательная вариации действительной меры. Взаимно сингулярные и абсолютно непрерывные меры. Теорема Лебега-Радона-Никодима. Полярное разложение комплексных мер. Вариация абсолютно непрерывной меры. Разложения Жордана и Хана. Интегрирование по комплексной мере.

Экзамен. Срок сдачи - 26 декабря.

В начало   Расписание занятий