На главную
Расписание занятий

Функциональный анализ. 2014/2015 учебный год

(лектор А.Ю.Пирковский)

Аннотация курса: часть 1, часть 2

Модуль I

Лекция 1 (02.09.2014). Нормированные пространства; примеры: конечномерные пространства, пространства последовательностей, пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Ограниченные линейные операторы.
Лекция 2 (09.09.2014). Ограниченные линейные операторы. Эквивалентность ограниченности и непрерывности. Мажорирование и эквивалентность норм. Эквивалентность норм на конечномерном пространстве. Операторная норма. Примеры ограниченных операторов (операторы умножения, операторы сдвига, интегральные операторы). Топологические и изометрические изоморфизмы; топологически инъективные и изометрические операторы.
Лекции 3-4 (23.09.2014). Открытые и коизометрические операторы. Факторпространства и l_p-суммы нормированных пространств. Банаховы пространства, основные примеры. Полнота l_p-сумм, факторпространств и пространств линейных операторов. Теорема о продолжении операторов "по непрерывности". Пополнение нормированного пространства: существование, единственность, естественность.
Лекция 5 (30.09.2014). Полуторалинейные формы. Тождество поляризации. Предгильбертовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Норма, порожденная скалярным произведением. Гильбертовы пространства. Примеры. Ортогональные дополнения и ортогональные проекции. Теорема о существовании проекции. Ортогональные разложения гильбертовых пространств.
Лекция 6 (07.10.2014). Направленности и суммируемые семейства. Ортонормированные системы. Коэффициенты Фурье. Тотальные и максимальные ортонормированные системы; ортонормированные базисы. Существование ортонормированных базисов. Ортогонализация.
Лекция 7 (14.10.2014). Изоморфизм гильбертова пространства с l^2(I). Теорема Рисса-Фишера. Гильбертова размерность. Классификация гильбертовых пространств. Сопряженное пространство и сопряженный оператор. Простейшие свойства сопряженных операторов. Теорема Рисса о сопряженном к гильбертову пространству. Двойственность между l^p и l^q. Подобные и изометрически эквивалентные операторы; примеры.

Листки

Каждый листок можно сдавать в течение двух приемов задач, не считая дня раздачи листка. После этого листок сдавать тоже можно, но за это будет начисляться в 2 раза меньше баллов.

Задачи в листках, помеченные буквой "B", являются бонусными. За их решение начисляются дополнительные баллы.

Контрольные материалы

Модуль II

Лекция 8 (11.11.2014). Двойственность между L^p и L^q. Теорема Хана-Банаха.
Лекция 9 (18.11.2014). Следствия теоремы Хана-Банаха. Каноническое вложение нормированного пространства во второе сопряженное. Рефлексивные пространства. Пространство мер ограниченной вариации. Описание пространства, сопряженного к пространству ограниченных измеримых функций. Борелевские меры, меры Радона. Теорема Рисса-Маркова-Какутани (без доказательства). Функции ограниченной вариации на отрезке.
Лекция 10 (25.11.2014). Описание мер Радона на отрезке в терминах функций ограниченной вариации. Теорема Рисса о пространстве, сопряженном к C[a,b]. Теорема Бэра. Свойство бочечности банаховых пространств.
Лекция 11 (02.12.2014). Теорема Банаха-Штейнгауза (принцип равномерной ограниченности). Теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике. Топологические прямые суммы и дополняемые подпространства.

Листки

Контрольные материалы

Модуль III

Лекция 12 (13.01.2015). Аннуляторы и преданнуляторы. Описание пространств, сопряженных к подпространству и к факторпространству. Связь свойств оператора со свойствами его сопряженного. Теорема о замкнутом образе. Лемма Джонсона о точных последовательностях банаховых пространств.
Лекция 13 (20.01.2015). Спектр элемента алгебры. Примеры. Алгебраические свойства спектра (поведение при гомоморфизмах, теорема об отображении спектра для многочленов, спектр обратного элемента). Банаховы алгебры. Примеры. Свойства группы обратимых элементов банаховой алгебры. Компактность спектра. Резольвентная функция и ее свойства.
Лекция 14 (27.01.2015). Непустота спектра элемента банаховой алгебры. Теорема Гельфанда-Мазура. Спектральный радиус. Точечный, непрерывный и остаточный спектры линейного оператора; примеры их вычисления.
Лекция 15 (03.02.2015). Связь между частями спектра линейного оператора и частями спектра его сопряженного. Пример: части спектра операторов сдвига. Вполне ограниченные метрические пространства, связь с компактностью. Лемма Рисса о почти-перпендикуляре. Некомпактность сферы в бесконечномерном нормированном пространстве. Теорема Арцела-Асколи.
Лекция 16 (10.02.2015). Компактные операторы. Простейшие примеры и контрпримеры. Замкнутость (по норме) подпространства линейных операторов. Теорема Шаудера о компактности сопряженного оператора. Аппроксимируемость компактных операторов в гильбертовом пространстве операторами конечного ранга. Замечания о свойстве аппроксимации и базисах Шаудера. Дальнейшие примеры компактных операторов (диагональные операторы, интегральные операторы Гильберта-Шмидта). Фредгольмовы операторы, индекс. Замкнутость образа фредгольмова оператора (лемма Като). Фредгольмовость и индекс сопряженного оператора.
Лекция 17 (17.02.2015). Аддитивность фредгольмова индекса. Теория Рисса-Шаудера операторов вида "1+компактный". Следствия: абстрактные теоремы Фредгольма, классические теоремы Фредгольма в пространствах L^2 и C[a,b]. Свойства спектра компактного оператора.
Лекция 18 (24.02.2015). Критерий фредгольмовости Никольского-Аткинсона. Алгебра Калкина. Существенный спектр. Открытость множества фредгольмовых операторов. Локальная постоянность индекса. Устойчивость индекса при компактных возмущениях. Теорема Никольского о фредгольмовых операторах с нулевым индексом. Операторы Тёплица и геометрическая интерпретация их индекса.
Лекция 19 (03.03.2015). Топология, порожденная семейством полунорм. Локально выпуклые пространства. Примеры. Критерии непрерывности полунормы на локально выпуклом пространстве и оператора между локально выпуклыми пространствами. Эквивалентные семейства полунорм. Линейные функционалы на локально выпуклых пространствах (продолжение с подпространства, разделение точек).
Лекция 20 (10.03.2015). Дуальные пары и слабые топологии. Частные случаи: слабая топология на локально выпуклом пространстве и слабая* топология на его сопряженном. Описание функционалов, непрерывных в слабой топологии дуальной пары. Критерий рефлексивности в терминах топологий на сопряженном. Сопряженные операторы между дуальными парами. Слабая непрерывность линейных операторов. Аннуляторы, их свойства. Теорема о двойном аннуляторе и ее следствия.
Лекция 21 (17.03.2015). Теорема Банаха-Алаоглу-Бурбаки. Оператор, сопряженный к оператору в гильбертовом пространстве. Основные свойства операции перехода к сопряженному оператору. Связь свойств оператора и его сопряженного. Алгебраические характеризации ортогональных проекторов, изометрий и коизометрий. Самосопряженные операторы. Вещественность спектра самосопряженного оператора и совпадение его нормы со спектральным радиусом. Инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству самосопряженного оператора.

Листки

Контрольные материалы

Модуль IV

Лекция 22 (31.03.2015). Теорема Гильберта-Шмидта о компактных самосопряженных операторах. Непрерывное исчисление от самосопряженного оператора (существование, единственность, изометричность).
Лекция 23 (07.04.2015). Непрерывное исчисление от самосопряженного оператора: примеры. Теоремы об отображении спектра и о композиции для непрерывного исчисления. Непрерывность непрерывного исчисления по совокупности переменных. Положительные операторы. Теорема о квадратном корне из положительного оператора. Характеризации положительных операторов. Свойства множества положительных операторов. Отношение порядка на самосопряженных операторах. Модуль оператора. Частичные изометрии и их алгебраическая характеризация.
Лекция 24 (14.04.2015). Полярное разложение операторов в гильбертовом пространстве. Единственность полярного разложения. Приложение: деформационная ретракция GL(H) на U(H). Связь между операторами в гильбертовом пространстве и полуторалинейными формами. Слабо-мерная топология на алгебре ограниченных борелевских функций и слабая операторная топология на B(H). Раздельная непрерывность умножения в этих топологиях.
Лекция 25 (21.04.2015). Продолжение *-представлений алгебры C(X) на алгебру B(X) ограниченных борелевских функций. Борелевское исчисление от самосопряженного оператора. Банаховы *-алгебры и *-модули. Вложение категории C(X)-*-модулей в категорию B(X)-*-модулей. Циклические *-модули. Теорема о функциональной модели циклического C(X)-*-модуля.
Лекция 26 (28.04.2015). Теорема о функциональной модели самосопряженного циклического оператора. Гильбертовы суммы *-модулей. Разложение *-модуля на циклические слагаемые. Теоремы о функциональной модели для C(X)-*-модулей и для самосопряженных операторов. Спектральные меры. Интеграл по спектральной мере. Регулярные спектральные меры. Спектральная теорема для *-представлений алгебры C(X) и для самосопряженных операторов. Замечания о теории кратности и о классификации самосопряженных операторов.

Листки

Контрольные материалы

Список литературы

В начало   Расписание занятий  


Rambler's Top100