На главную
Семинар «Основные понятия математики».
2014/2015 учебный год.
Цель этого семинара — продемонстрировать участникам,
«как работает» математика. Поэтому темы будут обсуждаться самые
разнообразные (из геометрии, алгебры, теории чисел, топологии, анализа,
комбинаторики...). Большинство докладов в 3 и 4 модуле делают участники
семинара, и доклады связаны с темами их курсовых работ. Семинар
предназначен в основном для студентов первого курса; часть тем
(но не все!) будут такие же, как в прошлом году.
По семинару можно получить зачет (в конце 4 модуля). Для зачета
достаточно сделать доклад.
Доклады (3–4 модуль)
- [22.1.15] К.Коровина, «Поризм Понселе».
Если два эллипса таковы, что один описан вокруг n-угольника, а
другой вписан в него, то одну из вершин n-угольника можно
расположить в любой точке первого эллипса. Теорема имеет десятки
различных доказательств с использованием идей из самых неожиданных
областей математики (алгебры, алгебраической и дифференциальной
геометрии, комплексного анализа, теории меры и др.).
- [29.1.15] И.Сухарев, «Первый закон Кеплера».
Планета движутся по эллипсу, в одном из фокусов которого находится
Солнце. Движение описывается дифференциальным уравнением —
законом всемирного тяготения — но для доказательства теоремы
не нужно уметь решать дифференциальные уравнения.
- [5.2.15] А.Пухов, «Плоские кубики».
Плоская кубика — кривая на плоскости, задаваемая уравнением
3 степени. Гладкая плоская кубика имеет естественную структуру
абелевой группы. Негладкая плоская кубика параметризуется
проективной прямой.
- [12.2.15] А.Базыкина, В.Курситыс, «Цепные дроби
и число π».
Гипергеометрические функции — широкий класс функций (в него
входят, например, тангенс и арктангенс), допускающие изящное
разложение в цепную дробь. Применяя общую формулу к функции
арктангенс, можно получить доказательство того, что π —
иррациональное число.
- [19.2.15] С.Абрамян, «Теорема Ван дер Вардена об
арифметических прогрессиях».
Для произвольных k и l найдется такое большое (иногда — ОЧЕНЬ
большое) число N(k,l), что если раскрасить все числа от 1 до N(k,l)
в k цветов, то найдется одноцветная арифметическая прогрессия длины
l.
- [5.3.15] А.Галкин, «Изопериметрическая задача»
Из всех областей с заданным периметром наибольшую площадь имеет
круг.
- [12.3.15] А.Гимадиев, «Теорема Лиувилля и транцендентность числа
e»
- [2.4.15] В.Игнатовская, «Формула Пика»
Площадь многоугольника, вершины которого имеют целые координаты,
выражается через число целых точек на границе и внути многоугольника
и его эйлерову характеристику. Есть и трехмерный аналог формулы.
- [9.4.15] С.Коротких, «Задача Гурвица о произведении сумм квадратов
»
В каких случаях произведение суммы n квадратов и суммы m
квадратов можно записать как сумму квадратов. Частный случай этой
задачи связан с алгебрами Клиффорда.