Invariants & representations of classical groups, 2012/2013

Инварианты и представления классических групп, 2012/2013 уч. год

Лектор А.Л.Городенцев

Программа Учебники Записки лекций Задачи Экзамены.

Программа

Классификация и инварианты групп отражений:: Системы корней, камеры Вейля, задание группы отражений образующими и соотношениями, классификация связных графов Кокстера, классификация кристаллографических (=«целочисленных») групп отражений и систем корней, теорема Шевалле об инвариантах групп отражений, примеры инвариантов, инварианты бинарных групп многогранников
Двойственность Шура – Вейля:: неприводимые представления S_n, GL_n, SL_n, разложение V^⊗n как S_nxGL(V)-модуля; функторы Шура, правило Литтлвуда –Ричардсона, разложение тензорных произведений
Ликбез по аффинной алгебраической геометрии и аффинным алгебраическим группам:: теоремы Гильберта о базисе и о нулях полиномиального идеала идеала; многообразия, их координатные кольца, их идеалы, их точки и их касательные векторы; аффинные алгебраические группы и их алгебры Ли, экспоненциальное отображение; свойства гомоморфизмов и регулярных действий; разложение Жордана – Шевалле.
Теория представлений алгебры sl_n:: корни, форма Киллинга, разложение в сумму sl₂-подалгебр; структура действия, решётка весов, диаграммы весов, описание неприводимых представлений; полная приводимость представлений
Инварианты классических групп:: оператор Рейнольдса, конечная порождённость алгебры инвариантов алгебраического действия линейно редуктивной группы; способы описания кольца инвариантов, критерий Игусы; образующие колец полиномиальных инвариантов наборов тензоров в стандартных представлениях классических групп и соотношения между ними
Факторы и критерий Гильберта – Мамфорда:: свойства орбитного отображения; существование и свойства категорного фактора; препятствия к существованию геометрического фактора; характеры, однопараметрические подгруппы и рациональная структура на алгебраическом торе; нуль-конус и критерий Гильберта – Мамфорда для торов и классических групп; стабильность линейных операторов, бинарных и тернарных форм; линеаризация действия на многообразии, примеры проективных и квазипроективных факторов
Представления симплектических групп и алгебр Ли:: корни, форма Киллинга, разложение в сумму sl₂-подалгебр; структура действия, решётка весов, диаграммы весов, описание и примеры неприводимых представлений; конструкция Шура – Вейля для симплектической группы; геометрия лагранжевых грассманианов
Представления ортогональных групп и алгебр Ли:: корни, форма Киллинга, разложение в сумму sl₂-подалгебр; структура действия, решётка весов, диаграммы весов, описание и примеры неприводимых представлений; конструкция Шура – Вейля для ортогональных групп; алгебры Клиффорда, спиноры, спинорные группы и спинорные представления ортогональных групп; чистые спиноры и геометрия изотропных грассманианов

Рекомендуемые учебники

Помимо записок лекций, которые мало-помалу будут пояляться ниже, для подготовки к экзаменам и выполнения контрольных работ рекомендуются следующие учебники:

Э.Б.Винберг, А.Л.Онищик Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М., Наука, 1988 (есть в колхозе)
Э.Б.Винберг,В.В.Попов Теория Инвариантов. В книге «Алгебраическая геометрия–4»: том 55 зелёной серии ВИНИТИ «Современная математика. Фундаментальные направления» (есть в колхозе)
W.Fulton, J.Harris. Representation Theory, a first course. (есть в колхозе)
У.Фултон Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии (есть в колхозе)
J.Humphreys.Reflection groups and Coxter groups. (есть в колхозе)
Ф.Клейн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений 5-й степени. (есть в колхозе)
Г.Вейль. Классические группы, их инварианты и представления. (есть в колхозе)
Х.Крафт Геометрические методы в теории инвариантов. М., Мир, 1987 (есть в колхозе)
Дж.Хамфри Линейные алгебраические группы. М., Наука, 1980 (есть в колхозе)
Дж.Хамфрис Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. М., МЦНМО, 2003 (есть в колхозе)

Записки лекций

Лекция 1. Группы, порождённые отражениями, и системы корней (записки пока не готовы, см.[5]).
Лекция 2. Графы Кокстера (записки пока не готовы, см.[5]).
Лекция 3. Инварианты групп, порождённых отражениями (записки пока не готовы, см.[2],[5],[6]).
Лекция 4. Представления симметрических групп S_n. (см. также [3],[4]).
Лекция 5. Двойственность Шура–Вейля (записки пока не готовы, см.[3],[7]).
Лекция 6. Линейные алгебраические группы (записки пока не готовы, см.[1],[9]).
Лекция 7. sl_n-модули (записки пока не готовы, см.[3],[4],[10])
Лекция 8. Рациональные инварианты и представления групп GL_n(C) и SL_n(C) (записки пока не готовы, см.[2],[4],[7]).
Лекция 9. Алгебры инвариантов и факторы по действию линейно редуктивных групп (записки пока не готовы, см.[2],[8],[9]).
Лекция 10. Инварианты наборов тензоров в стандартных представлениях классических групп (записки пока не готовы, см.[2],[7], другой подход есть в [3]).
Лекция 11. Критерий Гильберта – Мамфорда для классических групп (записки пока не готовы, см.[2],[8]).
Лекция 12. Представления симплектических групп и алгебр Ли (записки пока не готовы, см.[3]).
Лекция 13. Представления ортогональных групп и алгебр Ли (записки пока не готовы, см.[3]).
Лекция 14. Алгебры Клиффорда и спиноры (записки пока не готовы, см.[3]).

Задачи

Листок 1. Группы многогранников. Выдаётся с 7 сентября.
Листок 2. Группы отражений: основные понятия. Выдаётся с 21 сентября.
Листок 3. Группы отражений: классификация и примеры. Выдаётся с 5 октября.
Листок 4. Двойственность Шура–Вейля. Выдаётся с 10 декабря.
Листок 4 1/2. Представления симметрических групп. Выдаётся с 10 декабря.
Листок 5. Алгебры Ли алгебраических групп. Выдаётся с 22 ноября.
Листок 6. Представления GL_n(C) и SL_n(C) (не выдавался).
Листок 7. Представления Sp_n(C) и SO_n(C) (не выдавался).
Листок 8. Алгебры Клиффорда. Выдаётся с 1 июня.
Листок 9. Спиноры и изотропные грассманианы (не выдавался).

Экзамены.

Этот курс имеет статус курса по выбору для магистрантов и бакалавров. По нему предусмотрены 2 экзамена: после 2-го и после 4-го модулей, и соответственно, 2 оценки: за первое полугодие и за второе. Каждая из оценок ставится исходя из результатов экзаменационной письменной работы и количества решённых задач из листков. Если в течение полугодия Вы вы решили L% от суммарного числа всех задач без звёздочек из всех листков, выданных в этом полугодии, а на экзамене решили E% задач из экзаменционной работы, то максимальная оценка 10 баллов ставится за L+E≥150. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно.

Экзамен за первый семестр (по материалам 1-го и 2-го модулей) 21–24 декабря 2012г.

В начало Расписание занятий