В.А. Тиморин, А.В. Клименко, А.И. Эстеров

Гамильтоновы и интегрируемые системы

Содержание курса.

Геометрическая оптика. Принцип Ферма, обобщенный закон Снелла. Принцип Гюйгенса.
Преобразование Лежандра: напоминание. Уравнения Гамильтона. Вывод уравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа.
Теорема Гамильтона-Якоби. Закон сохранения энергии.
Напоминание: многообразия. Векторные поля.
Линейные дифференциальные операторы. Символ операторов второго порядка. Коммутатор векторных полей.
Напоминание: дифференциальные формы. Интегрирующие множители.
Классификация квазилинейных гиперболических и параболических уравнений с частными производными второго порядка.
Симплектические формы. Гамильтоновы векторные поля и гамильтоновы потоки.
Первые интегралы. Канонические инварианты. Теорема Пуанкаре о возвращении.
Скобка Пуассона. Теорема Дарбу о симплектических координатах.
Канонические преобразования, производящие функции.
Понижение порядка системы при помощи первого интеграла.
Вполне интегрируемые системы.
Контактные формы, Лежандровы подмногообразия.
Теория УрЧП первого порядка.

Литература по курсу:

В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, Изд. 5, Москва: URSS, 2003
Cannas da Silva, Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry. Lecture notes. Электронная версия доступна на странице автора
Владимиров В.С., Жаринов В.В., Уравнения математической физики. Учебник для ВУЗов.-2-е изд.-М.:Физматлит, 2003.
Арнольд В. И., Лекции об уравнениях с частными производными. Москва: Фазис, 1997.
Арнольд В.И., Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва: URSS, 2002.
Тихомиров В.М., Рассказы о максимумах и минимумах. Москва: Наука, 1986
Доступна в электронной библиотеке МЦНМО