На главную
Расписание занятий
Функциональный анализ. 2011/2012 учебный год
(лектор А.Ю.Пирковский)
Модули:
I,
II
III,
IV.
- 1.1. Нормированные пространства и ограниченные линейные операторы
- Нормированные пространства; примеры: конечномерные пространства, пространства последовательностей, пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Ограниченные линейные операторы, их простейшие свойства, эквивалентность ограниченности и непрерывности; примеры: операторы умножения, сдвига, интегральные операторы. Топологические свойства линейных операторов. Мажорирование и эквивалентность норм. Классификация конечномерных нормированных пространств. Факторпространства, lp-суммы нормированных пространств.
- 1.2. Банаховы пространства
- Напоминания о полных метрических пространствах. Банаховы пространства. Полнота классических пространств. Полнота факторпространств. Полнота пространства линейных операторов. Продолжение линейных операторов "по непрерывности". Пополнение.
- 1.3. Гильбертовы пространства
- Полуторалинейные формы; поляризация. Скалярные произведения и предгильбертовы пространства; примеры. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца; норма на предгильбертовом пространстве. Гильбертовы пространства; примеры и конструкции. Проекции и ортогональные дополнения. Направленности и суммируемые семейства. Ортогональные и ортонормированные системы. Коэффициенты Фурье и их свойства. Неравенство Бесселя. Ортонормированные базисы. Эквивалентность свойств тотальности, максимальности и базисности ортонормированных систем. Равенство Парсеваля. Ортогонализация. Существование ортонормированных базисов. Теорема Рисса-Фишера. Классификация гильбертовых пространств.
- 1.4. Сопряженное пространство и сопряженный оператор
- Пространство, сопряженное к нормированному пространству. Сопряженный оператор. Теорема Рисса о пространстве, сопряженном к гильбертову пространству. Описание пространства, сопряженного к lp.
Записки лекций
- Листок 1. Раздается с 1 сентября.
- Листок 2. Раздается с 8 сентября.
- Листок 3. Раздается с 15 сентября.
- Листок 4. Раздается с 6 октября.
- Листок 5. Раздается с 13 октября и будет учитываться в следующем модуле. Обновлено 9 ноября.
- 2.1. Сопряженное пространство и сопряженный оператор (продолжение)
- Теорема Радона-Никодима и пространство, сопряженное к Lp. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Теоремы об отделении выпуклых множеств. Меры Радона. Теорема Рисса-Маркова-Какутани (без доказательства). Функции ограниченной вариации и меры Лебега-Стилтьеса. Теорема Рисса о пространстве, сопряженном к C[a,b].
- 2.2. Теорема Банаха-Штейнгауза и теорема Банаха об обратном операторе
- Теорема Бэра. Свойство бочечности банаховых пространств. Теорема Банаха-Штейнгауза. Теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике. Дополняемые подпространства. Аннуляторы, преданнуляторы. Описание пространств, сопряженных к подпространствам и к факторпространствам. Связь свойств оператора со свойствами его сопряженного.
Записки лекций
- 3.1. Элементарная спектральная теория
- Спектр элемента алгебры. Примеры. Алгебраические свойства спектра. Теорема об отображении спектра для многочленов и рациональных функций. Банаховы алгебры; примеры. Свойства группы обратимых элементов, компактность и непустота спектра. Спектральный радиус. Точечный, непрерывный и остаточный спектры линейного оператора. Спектры и двойственность. Вычисление спектров классических операторов.
- 3.2. Компактные метрические пространства
- Вполне ограниченные метрические пространства. Критерий компактности метрических пространств (эквивалентность компктности, секвенциальной компактности и вполне ограниченности+полноты). Лемма Рисса о почти перпендикуляре. Некомпактность сферы в бесконечномерном нормированном пространстве. Теорема Арцела-Асколи.
- 3.3. Компактные и фредгольмовы операторы
- Компактные операторы. Пространство компактных операторов. Компактность сопряженного оператора. Аппроксимация компактных операторов в гильбертовом пространстве операторами конечного ранга. Примеры компактных операторов. Фредгольмовы операторы. Примеры. Фредгольмовость сопряженного оператора. Индекс. Аддитивность индекса. Теория Рисса-Шаудера операторов "1+компактный". Альтернатива Фредгольма. Свойства спектра компактного оператора. Классические теоремы Фредгольма об интегральных уравнениях. Фредгольмовы операторы: критерий Никольского-Аткинсона. Алгебра Калкина. Открытость множества фредгольмовых операторов и локальная постоянность индекса. Устойчивость индекса при компактных возмущениях. Существенный спектр. Операторы Тёплица и геометрическая интерпретация их индекса.
Записки лекций
- Домашняя контрольная: задачи 13.3 (1), 13.5, 13.6, 13.12, 15.4, 15.6, 15.7, 15.8 из листков. Срок сдачи - 15 марта.
- Письменный зачет 27.03.2012
- 3.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве
- Гильбертово сопряженный оператор. C*-алгебры (определение и примеры). Связь между свойствами оператора и его сопряженного. Ортогональные проекторы, изометрии, коизометрии, унитарные, самосопряженные и нормальные операторы в гильбертовом пространстве. Спектры унитарных и самосопряженых операторов. Спектральный радиус, собственные и инвариантные подпространства самосопряженного оператора. Теорема Гильберта-Шмидта о компактных самосопряженных операторах в гильбертовом пространстве. Теорема Шмидта о компактных операторах в гильбертовом пространстве. Приложение: задача Штурма-Лиувилля.
- 3.2. Локально выпуклые пространства
- Полинормированные пространства. Локально выпуклые пространства (ЛВП) и их "полинормируемость". Примеры: пространства непрерывных, гладких, голоморфных функций, слабые топологии, топологии на пространствах операторов. Критерий непрерывности полунормы; критерий непрерывности линейного оператора между ЛВП. Эквивалентные семейства полунорм. Ограниченные множества в ЛВП. Критерии нормируемости. Достаточность множества непрерывных линейных функционалов на хаусдорфовом ЛВП. Дуальные пары и слабые топологии. Ограниченность слабо ограниченных множеств. Аннуляторы и поляры. Теорема о биполяре и ее следствия. Теорема Банаха-Алаоглу. Слабые топологии и компактные операторы.
- 3.3. Спектральная теория ограниченных самосопряженных операторов
- Непрерывное исчисление от самосопряженного оператора. Теоремы об отображении спектра и о композиции. Связь между операторами и полуторалинейными формами. Борелевское исчисление от самосопряженного оператора. Спектральные меры и представления алгебр C(X). Спектральная теорема. Функциональная модель циклического самосопряженного оператора. Функциональная модель в общем случае.
Записки лекций
- Домашняя контрольная: задачи 17.1 (кроме п. (c)), 17.3, 18.1, 18.2, 18.5, 19.10, 19.11, 19.14, 19.15 (1), 20.1, 20.2, 20.3 из листков. Срок сдачи - 21 июня.
- Письменный экзамен 21.06.2012
- Повторный письменный экзамен 19.09.2012
Список литературы
В начало
Расписание занятий
