На главную
Расписание занятий

Функциональный анализ. 2011/2012 учебный год

(лектор А.Ю.Пирковский)

Модули:  III  IIIIV.  

Модуль I

Программа модуля I

1.1. Нормированные пространства и ограниченные линейные операторы
Нормированные пространства; примеры: конечномерные пространства, пространства последовательностей, пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Ограниченные линейные операторы, их простейшие свойства, эквивалентность ограниченности и непрерывности; примеры: операторы умножения, сдвига, интегральные операторы. Топологические свойства линейных операторов. Мажорирование и эквивалентность норм. Классификация конечномерных нормированных пространств. Факторпространства, lp-суммы нормированных пространств.
1.2. Банаховы пространства
Напоминания о полных метрических пространствах. Банаховы пространства. Полнота классических пространств. Полнота факторпространств. Полнота пространства линейных операторов. Продолжение линейных операторов "по непрерывности". Пополнение.
1.3. Гильбертовы пространства
Полуторалинейные формы; поляризация. Скалярные произведения и предгильбертовы пространства; примеры. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца; норма на предгильбертовом пространстве. Гильбертовы пространства; примеры и конструкции. Проекции и ортогональные дополнения. Направленности и суммируемые семейства. Ортогональные и ортонормированные системы. Коэффициенты Фурье и их свойства. Неравенство Бесселя. Ортонормированные базисы. Эквивалентность свойств тотальности, максимальности и базисности ортонормированных систем. Равенство Парсеваля. Ортогонализация. Существование ортонормированных базисов. Теорема Рисса-Фишера. Классификация гильбертовых пространств.
1.4. Сопряженное пространство и сопряженный оператор
Пространство, сопряженное к нормированному пространству. Сопряженный оператор. Теорема Рисса о пространстве, сопряженном к гильбертову пространству. Описание пространства, сопряженного к lp.

Записки лекций

Задачи семинаров

Контрольные материалы

Модуль II

Программа модуля II

2.1. Сопряженное пространство и сопряженный оператор (продолжение)
Теорема Радона-Никодима и пространство, сопряженное к Lp. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Теоремы об отделении выпуклых множеств. Меры Радона. Теорема Рисса-Маркова-Какутани (без доказательства). Функции ограниченной вариации и меры Лебега-Стилтьеса. Теорема Рисса о пространстве, сопряженном к C[a,b].
2.2. Теорема Банаха-Штейнгауза и теорема Банаха об обратном операторе
Теорема Бэра. Свойство бочечности банаховых пространств. Теорема Банаха-Штейнгауза. Теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике. Дополняемые подпространства. Аннуляторы, преданнуляторы. Описание пространств, сопряженных к подпространствам и к факторпространствам. Связь свойств оператора со свойствами его сопряженного.

Записки лекций

Задачи семинаров

Контрольные материалы

Модуль III

Программа модуля III

3.1. Элементарная спектральная теория
Спектр элемента алгебры. Примеры. Алгебраические свойства спектра. Теорема об отображении спектра для многочленов и рациональных функций. Банаховы алгебры; примеры. Свойства группы обратимых элементов, компактность и непустота спектра. Спектральный радиус. Точечный, непрерывный и остаточный спектры линейного оператора. Спектры и двойственность. Вычисление спектров классических операторов.
3.2. Компактные метрические пространства
Вполне ограниченные метрические пространства. Критерий компактности метрических пространств (эквивалентность компктности, секвенциальной компактности и вполне ограниченности+полноты). Лемма Рисса о почти перпендикуляре. Некомпактность сферы в бесконечномерном нормированном пространстве. Теорема Арцела-Асколи.
3.3. Компактные и фредгольмовы операторы
Компактные операторы. Пространство компактных операторов. Компактность сопряженного оператора. Аппроксимация компактных операторов в гильбертовом пространстве операторами конечного ранга. Примеры компактных операторов. Фредгольмовы операторы. Примеры. Фредгольмовость сопряженного оператора. Индекс. Аддитивность индекса. Теория Рисса-Шаудера операторов "1+компактный". Альтернатива Фредгольма. Свойства спектра компактного оператора. Классические теоремы Фредгольма об интегральных уравнениях. Фредгольмовы операторы: критерий Никольского-Аткинсона. Алгебра Калкина. Открытость множества фредгольмовых операторов и локальная постоянность индекса. Устойчивость индекса при компактных возмущениях. Существенный спектр. Операторы Тёплица и геометрическая интерпретация их индекса.

Записки лекций

Задачи семинаров

Контрольные материалы

Модуль IV

Программа модуля IV

3.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве
Гильбертово сопряженный оператор. C*-алгебры (определение и примеры). Связь между свойствами оператора и его сопряженного. Ортогональные проекторы, изометрии, коизометрии, унитарные, самосопряженные и нормальные операторы в гильбертовом пространстве. Спектры унитарных и самосопряженых операторов. Спектральный радиус, собственные и инвариантные подпространства самосопряженного оператора. Теорема Гильберта-Шмидта о компактных самосопряженных операторах в гильбертовом пространстве. Теорема Шмидта о компактных операторах в гильбертовом пространстве. Приложение: задача Штурма-Лиувилля.
3.2. Локально выпуклые пространства
Полинормированные пространства. Локально выпуклые пространства (ЛВП) и их "полинормируемость". Примеры: пространства непрерывных, гладких, голоморфных функций, слабые топологии, топологии на пространствах операторов. Критерий непрерывности полунормы; критерий непрерывности линейного оператора между ЛВП. Эквивалентные семейства полунорм. Ограниченные множества в ЛВП. Критерии нормируемости. Достаточность множества непрерывных линейных функционалов на хаусдорфовом ЛВП. Дуальные пары и слабые топологии. Ограниченность слабо ограниченных множеств. Аннуляторы и поляры. Теорема о биполяре и ее следствия. Теорема Банаха-Алаоглу. Слабые топологии и компактные операторы.
3.3. Спектральная теория ограниченных самосопряженных операторов
Непрерывное исчисление от самосопряженного оператора. Теоремы об отображении спектра и о композиции. Связь между операторами и полуторалинейными формами. Борелевское исчисление от самосопряженного оператора. Спектральные меры и представления алгебр C(X). Спектральная теорема. Функциональная модель циклического самосопряженного оператора. Функциональная модель в общем случае.

Записки лекций

Задачи семинаров

Контрольные материалы

Список литературы

В начало   Расписание занятий  


Rambler's Top100