На главную
Расписание занятий

Темы курсовых работ

Темы на этой странице будут появляться постепенно. Необходимо выбрать одну из тем по договоренности с преподавателем, ее предложившим. Электронные адреса преподавателей смотрите в списке сотрудников факультета. Крайний срок для выбора руководителя и темы: для 2-го курса бакалавриата — конец первого модуля, для 1-го курса бакалавриата и 1-го курса магистратуры — 1 декабря; настоятельно рекомендуется сделать это раньше. Студенты 3-го и 4-го курсов бакалавриата выбрали своих руководителей и примерные темы в конце прошлого года; если хотите сменить, то делайте это как можно раньше.

Для защиты курсовой работы необходимо, во-первых, написать текст (и набрать его в TeX'е), и во-вторых, сделать по теме работы доклад на семинаре или еще где-нибудь. Как будет организована защита дипломной работы, мы напишем позднее.

Л. Д. Беклемишев

Для 1 курса

  1. Лямбда-исчисление как универсальная вычислительная модель.
  2. Интуиционистская логика высказываний и е└ возможные интерпретации.
  3. Теоремы о неподвижной точке в формальной арифметике и теории алгоритмов.
  4. Разрешимость элементарной теории поля действительных чисел (теорема Зайденберга-Тарского).
  5. Аксиоматика Тарского элементарной геометрии.
  6. Модели, представимые конечными автоматами.
  7. Вторая теорема Геделя о неполноте и прогрессии Тьюринга.

Ю. М. Бурман

  1. Бесконечные симметрические степени.
    Бесконечная симметрическая степень топологического пространства X это пространство его конечных подмножеств (с определенным отождествлением). Требуется доказать, что бесконечная симметрическая степень сферы Sn является пространством K(Z,n), т.е. его n-я гомотопическая группа равна Z, а остальные — тривиальны.
    Для 2–3 курса, 1 курса магистратуры.
    Литература: S.Kallel, «Homotopy theory of Mapping Spaces: methods and applications.»
  2. Отображение Ляшко–Лооийенги.
    Отображение Ляшко–Лооийенги сопоставляет рациональной функции набор ее критических значений. Требуется вычислить кратность этого отображения (количество прообразов точки общего положения) в нескольких случаях.
    Для 2–3 курса.
    Литература: Арнольд, «Топологическая классификация комплексных тригонометрических многочленов и комбинаторика графов с одинаковым числом вершин и ребер», Функц. анализ, 1(30), 1996.
  3. Инверсии и спуски.
    Доказательство того, что количество перестановок с k инверсиями равно количеству перестановок с суммарным спуском k. Более трудная теорема: количество перестановок с k инверсиями и суммарным спуском l симметрично по k и l.
    Для 1 курса.
    Литература: Эндрюс, «Теория разбиений».
  4. Неравенство Мюрхеда.
    Общая теорема о симметричных неравенствах типа x12 + ... + xn2 ≥ 2(x1 x2 + ... + xn-1 xn)
    Для 1 курса.
    Литература: Дворянинов и Ясиновый, «Как получаются симметричные неравенства», Квант N7, 1985 г.; также Харди, Литтльвуд и Полиа, «Неравенства»
  5. Вероятность того, что два взятых наугад целых числа взаимно просты, равна 6/π2.
    Для 1–2 курса.
    Литература: А.М.Яглом, И.М.Яглом, «Неэлементарные задачи в элементарном изложении».

В. А. Васильев

Курсы 1–2

  1. Классификация Уитни устойчивых гладких отображений R2 в R2 и R2 в R3.
    Литература: В.И.Арнольд, А.Н.Варченко, С.М.Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений.
  2. Особенности Тома—Бордмана гладких отображений.
    Литература: В.И.Арнольд,А.Н.Варченко, С.М.Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений
  3. Геометрия дискриминантов в пространствах оснащенных узлов (в том числе многомерных).
    Литература: В.А.Васильев, Топология дополнений к дискриминантам. Изд-во Фазис, 1997, глава V.

Курсы 2–3

  1. Топологическая сложность нахождения корней вещественных полиномиальных систем уравнений с фиксированной главной частью.
    Литература: В.А.Васильев, Топология дополнений к дискриминантам. Изд-во Фазис, 1997, II:5.
  2. Ветвление формы объема алгебраических тел невысокой степени.
    Литература: В.А.Васильев, Ветвящиеся интегралы. МЦНМО:2000. V.A.Vassiliev, Applied Picard–Lefschetz Theory, AMS, 2002.
  3. Топология пространств полиномиальных узлов невысоких степеней.
    Литература: В.А.Васильев, Топология дополнений к дискриминантам. Изд-во Фазис, 1997,VII:3I.

Курс 3 — магистратура

  1. Род канонического 6!-листного накрытия над конфигурационным пространством наборов из 6 точек на плоскости.
    Литература: В.А.Васильев, Топология дополнений к дискриминантам. Изд-во Фазис, 1997, глава II.
  2. Формула Тома-Дольда.
    Источник самостоятельно найти в интернете.
  3. Ветвление аналитического продолжения функции расстояния на аналитическом римановом многообразии.
    Литература: В.А.Васильев, О топологических инвариантах вещественных алгебраических функций, Функц. Анализ и его прил. 2011:3, с. 4–15; A topological proof of Arnold four cusp theorem. See here,
  4. Гомологии пространств неособых вещественных алгебраических многообразий.
    Литература: В.А.Васильев, Как вычислять гомологии пространств неособых алгебраических проективных гиперповерхностей. Труды МИАН им. Стеклова, 1999. Т. 225. N2. C. 132–152

М. С. Вербицкий

1 курс

  1. Топологическая группа есть топологическое пространство G с заданной на нем групповой операцией, такая, что умножение GxG -> G и взятие обратного непрерывны. Пусть G компактная, связная топологическая группа, причем для какого-то t, множество t, t2, t3, t4, ... плотно в G. Докажите, что G изоморфно окружности.
  2. «Тело» есть ассоциативная алгебра с делением. Докажите, что любое конечное тело коммутативно.
  3. Постройте счетное, связное хаусдорфово топологическое пространство. Может ли оно быть компактно? Решение лучше поискать в литературе (Гуглем, например), самостоятельно найти такую штуку будет трудно.
  4. «Пространство Урысона диаметра $d$» есть метрическое пространство Ud, такое, что любое метрическое пространство мощности континуум может быть изометрически вложено в Ud. Постройте Ud.

2 курс.

  1. Пусть T — (гладкий) диффеоморфизм S2, сохраняющий ориентацию. Докажите, что он изотопен тождественному.
  2. Аменабельная группа есть группа G, снабженная инвариантной аддитивной положительной мерой на кольце всех подмножеств (можно считать, что мера G равна 1). Докажите, что Zn аменабельна, а свободная группа Fn от двух и более образующих не аменабельна. Докажите, что группа, содержащая Fn, не аменабельна.
  3. Докажите «альтернативу Титса»: если группа Ли не разрешима, она содержит свободную группу F2. Решение поищите в литературе, если не получается.
  4. Определим группу, свободно порожденную классами конгруэнтных треугольников на плоскости Лобачевского, и профакторизуем по соотношению A = ∑ Ai, если треугольник A разбит в объединение треугольников Ai, пересекающихся по границам. Найдите, какая группа получится.
  5. Докажите, что группа изометрий компактного риманова многообразия — компактная группа Ли.

3 курс.

  1. Если вы не знаете определение орбиобразия, найдите в литературе. Определите неразветвленное накрытие орбиобразий. Найдите все двумерные орбиобразия, не допускающие неразветвленных, гладких накрытий (указание: все они рода 0 и 1). Решение этой задачи можно поискать в Гугле, спросить у кого-нибудь, либо сделать самостоятельно.
  2. Пусть G — компактная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой g0. Решите уравнение потока Риччи gt' = - 2 Ric(gt) в классе левоинвариантных метрик. Найдите, к чему сходится.
  3. Плоское аффинное многобразие есть фактор открытого подмножества U в Rn по дискретной группе аффинных преобразований. Геодезическая плоского аффинного многообразия есть образ прямой из U. Докажите, что каждое плоское аффинное компактное многообразие содержит плотную геодезическую.
  4. Докажите теорему Бибербаха (18-я проблема Гильберта). Если M — компактное риманово многообразие с плоской метрикой, то у M есть накрытие, изометричное плоскому тору. Решение этой задачи можно поискать в Гугле.
  5. Пусть g — вещественная алгебра Ли. Комплексная структура на g есть подалгебра g{1,0} of g ⊗ C такая, что g{1,0} не содержит вещественных векторов и ее комплексная размерность равна dim Rg. Пусть g нильпотентная алгебра Ли, n ее размерность, а m — длина центрального ряда. Докажите, что для вещественной алгебры Ли, допускающей комплексную структуру, m ≤ λ n, для какой-то константы λ < 1 Ответ к этой задаче науке неизвестен, и заслуживает публикации в приличном журнале.
  6. В задаче про комплексные структуры на нильпотентных алгебрах Ли, оцените константу λ посредством компьютерного перебора нильпотентных алгебр Ли ограниченной размерности.

А. Л. Городенцев

  1. [1 курс] Лемма Барта: если ранг коммутатора двух линейных операторов равен единице, то у этих операторов есть общий собственный вектор (над алгебраически замкнутым полем). Одно из решений можно подсмотреть в сборнике задач по линейной алгебре, составленном В.Прасоловым, но правильнее решить эту задачу самостоятельно.
  2. [1 курс] Цепочка Клиффорда. Имеется следующая серия задач, занумерованных натуральными числами n, начиная с n=4.
    При n=4 четыре прямые на плоскости, находящихся в общем положении (любые две пересекаются в одной точке, через которую не проходит никая третья), ограничивают 4 треугольника. Оказывается, что описанные вокруг этих треугольников окружности пересекаются в одной точке, а их центры лежат на одной окружности. При n=5 пять прямых в общем положении содержат внутри себя 5 четвёрок прямых, с каждой из которых, согласно предыдущему, связана точка пересечения четырёх окружностей, и окружность, проходящая через их центры. Оказывается, что эти 5 точек лежат на одной окружности, а пять окружностей - пересекаются в одной точке, а их центры лежат на одной окружности. При n=6 имеется 6 пятёрок прямых, каждая из которых, по предыдущему, производит: (1) окружность, на которой лежат 5 точек пересечения четвёрок окружностей, (2) точку пересечения пяти окружностей (3) окружность, проходящую через центры 5 окружностей. Разумеется, шесть окружностей (1) пересекаются в одной точке, а их центры лежат на одной окружности; для шести окружностей (3) это, конечно, тоже верно; а шесть точек (2) лежат на одной окружности. И так далее.
    Историю вопроса и одно из возможных (и довольно таки старинных) решений с весьма оригинальным использованием комплексных чисел см. на сайтах http://www.gogeometry.com/clifford1.htm и http://www.maa.org/editorial/knot/CenterCircle.html.
  3. [1 курс] Гладкая плоская кубическая кривая не допускаает рациональной параметризации.
    И.Р.Шафаревич. Основы алгебраической геометрии, т.1..
    М.Рид. Алгебраическая геометрия для всех,
    а также задачи 1.6 и 5.1 (соответственно, из 1-го и 5-го листков) курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow.
  4. [1 курс] Решение (в целых числах) уравнения Пелля x2+d y2=N и группа единиц вещественного квадратичного поля.
    К.Айрлэнд, М.Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. (§5 из гл.17)
    З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич. Теория чисел. (§8 из гл.II)
    а также задачи А.Л.Городенцева выдавашиеся на семинаре Рудакова.
  5. [1-2 курс] Теорема Дирихле о единицах - одно из естественных развитий предыдущего сюжета. Источники те же: К.Айрлэнд, М.Роузен и З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич.
  6. [1-2 курс] Теорема Лагранжа о представлении вещественных квадратичных иррациональностей периодическими цепными дробями.
    А.Я.Хинчин. Цепные дроби. (§10 из гл.2)
    а также задачи А.Л.Городенцева выдавашиеся на contra-семинаре 2008/09 года.
  7. [1 курс] Теорема Лиувилля о том, что алгебраические числа приближаются рациональными дробями не лучше, чем с точностью до некоторой натуральной степени знаменателя дроби
    А.Я.Хинчин. Цепные дроби. (§9 из гл.2)
  8. [1-2 курс] Развите предыдущего сюжета: теорема Рота о том, что для трансцендентности вещественного числа необходимо и достаточно, чтобы оно имеело бесконечно много приближений p/q с точностью до q-2-ε
    Дж.В.С.Касселс. Введение в теорию диофантовых приближений. (гл.VI)
    P.M.Gruber, C.G.Lekkerkerker. Geometry of numbers.
  9. [1-2 курс] Поризм Понселе, простая часть: на плоскости (комплексной проективной) нарисованы две коники (приверженцам евклидовой геометрии рекомендутся представлять себе эллипс, лежащий внутри другого эллипса); из точки на одной из них (на внешнем эллипсе) выпускают касательную к другой (к внутреннему эллипсу) пока она снова не пересечёт первую конику (внешний эллипс); из полученной точки пересечения с первой коникой снова выпускают касательную ко второй конике до её пересечения с первой и т.д. — получается ломаная, вписанная в первую конику и описанная около второй; если эта ломаная замкнётся через n шагов в n-угольник, вписанный в первую конику и описанный около второй, то это явление будет иметь место при любом выборе начальной точки на первой конике, за исключением, разве что, конечного числа точек (в этом случае говорят, что две данные коники замкнуты друг с другом по Понселе).
    J.G.Semple, G.T.Kneebone. Algebraic projective geometry;
    J.G.Semple, L.Roth. Introduction to algebraic geometry;
    а также лекцию 3 из курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow.
  10. [2-3 курс] Поризм Понселе, трудная часть: как по уравнениям двух коник выяснить, существуют ли для них вписанно-описанные многоугольники.
    P.Griffiths, J.Harris, On Cayley's explicit solution to Poncelet's porism. L'Enseignement Mathematique, Vol.24 (1978)
  11. [1 курс] Теорема Безу о том, что две кривые степеней m и n без общих компонент на плоскости (комплексной проективной) имеют ровно mn точек пересечения (если учитывать их с надлежащими кратностями, определяемыми простым и наглядным правилом Цейтена).
    Р. Уокер. Алгебраические кривые;
    J.G.Semple, G.T.Kneebone. Algebraic projective geometry;
    J.G.Semple, L.Roth. Introduction to algebraic geometry;
    а также лекции 10, 11 из курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow.
  12. [1-3 курс] Соотношения Плюккера: у плоской алгебраической кривой, особые точки которой исчерпываются κ простыми остриями (где двойная касательная пересекает кривую с кратностью 3) и n простми самопересечениями кратностей m1,..., mni-той точке пересекается mi ветвей с различными касательными), число ι точек перегиба, степень d, и класс c (т.е. число касательных, которые можно опустить на кривую из точки общего положения) связаны соотношениями   c = d(d-1) - 3κ - ∑mi(mi-1)   и   ι = 3d(d-2) - 8κ - 3∑mi(mi-1)
    лекции 10, 11 из курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow.
  13. [2-3 курс] На любой гладкой кубической поверхности в трёхмерном пространстве (комплексном проективном) лежит ровно 27 прямых.
    М.Рид. Алгебраическая геометрия для всех (§8 из гл.V),
    а также лекцию 14 из курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow. Можно вывести этот результат из того, что гладкая плоская кривая степени 4 имеет 28 двойных касательных (что следует из предыдущих соотношений Плюккера).
  14. [2-3 курс] Описание кольца когомологий комплексного грассманиана (исчисление Шуберта).
    У. Фултон. «Таблицы Юнга и их применение в ...» и его же «Теория пересечений»
    Ф.Гриффитс, Дж.Харрис. «Принципы алгебраической геометрии» гл. 4.
  15. [1-2 курс] Теорема Биркгофа-Гротендика: алгебраическое векторное расслоение на комплексной проективной прямой является прямой суммой одномерных раслоений O(d), или, что то же самое, всякая квадратная матрица с элементами из кольца многочленов Лорана C[t,1/t] одновременными обратимыми элементарными преобразованиями строк — над кольцом многочленовC[t] и столбцов — над кольцом многочленовC[1/t] приводится к диагональному виду с элементами вида td на главной диагонали.
    лекция 16 из курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow.
  16. [1 курс и выше] Цепочка Маркова. Связь между: целыми решениями уравнения Маркова x2+y2+z2=3xyz; вещественными числами, которые хуже всего приближаются рациональными; вполне приводимыми над R целочисленными квадратичными формами F(x,y) с макисимальными минимумами величины F(x,y)/det1/2(F) по всем целым ненулевым (x,y); исключительными векторными раслоениями на проективной плоскости. Естественное обощение этой задачи - связь между цепочкой вполне вещественных кубических форм от трёх переменных и исключительными расслоениями на проективном пространстве до сих пор не изучена, а от самой этой цепочки форм вообще известно только самое начало - первые две формы (с наибольшим минимумом и следующим за ним), построенные Давенпортом в 1939-1943 г.г. С этой же задачей связана до сих пор не решённая проблема Маркова: пусть у двух троек решений уравнения Маркова совпадают максимальные элементы; верно ли, что это совпадающие тройки решений?
    Дж.В.С.Касселс. «Введение в теорию диофантовых приближений».
    A.L.Gorodentsev. S.A.Kuleshov. «Helix theory» Moscow Math. J. 4:2 (2004), p.377--440.
  17. [3 курс и выше] Неубывающая последовательность чисел d, возникающих в теореме Биркгофа-Гротендика при разложении ограничения данного алгебраического раслоения E на Pn на общую проективную прямую, лежащую в этом Pn, называется типом расщепления этого расслоения. Большая задача: описать типы расщеплений исключительных расслоений на комплексных проективных пространствах. Типы расщеплений исключительных раслоений на плоскости, по всей видимости, тесно связаны с марковским описанием периодов из единиц и двоек, встречающихся в разложениях марковских квадратичных иррациональностей в непрерывные дроби. Подзадача: проверить эту догадку. Типы расщеплений исключительных расслоений с проективных пространств больших размерностей могут быть связаны с диофантовыми приближениями вполне вещественных иррациональностей старших степеней. Это полностью открытая область.
    см. Rudakov A.N., et al. Helices and vector bundles [Seminaire Rudakov, CUP, 1990] (есть в колхозе) и имеющиеся там ссылки; о числах Маркова см. материалы к моему докладу 13 октября 2008 года на семинаре Рудакова и оригинальную работу Маркова «О квадратичных формах положительного определителя» и гл. 2 книгу Дж.Касселс. Диофантовы приближения.
  18. [3 курс и выше] Построение полуортогонального разложения производной категории когерентных пучков на проективных пространствах и грассманианах. Изучение действия группы кос на полуортогональных базисах производных категорий и решёток Мукаи.
    A.L.Gorodentsev. S.A.Kuleshov. «Helix theory» Moscow Math. J. 4:2 (2004), p.377--440. А также имеющиеся там ссылки.
  19. [3 курс и выше] Описание алгебры сизигий проективной координатной алгебры грассманиана Gr(k,n). В настоящее время ответы известны только для k=2 (при всех n) и для k=3, n=5.
    A.L.Gorodentsev, A.S.Khoroshkin, A.N.Rudakov. On syzygies of highest weight orbits. In: Moscow Seminar on Mathematical Physics, II. AMS Translations, ser. 2, vol. 221 (2007), p. 79--120.
  20. [3 курс и выше] Симплектическое торическое многообразие — это 2n-мерное симплектическое многообразие с n коммутирующими гамильтонианами, слоящими его над выпуклым многогранником в Rn со слоями — вещественными компактными торами (n-мерными над внутренними точками многогранника и вырождающимися на коразмерность грани над точками граней). Алгебраические торические многообразия вписываются в эту конструкцию, причём в качестве многогранника получится обычный многогранник, кодирующий веер алгебраического торического многообразия. Имеются три замечательных интегрируемых системы, вписывающиеся в эту картинку, расслоенные над одним и тем же многогранником и преобразуемые одна в другую послойными симплектоморфизмами. Сиречь: многообразие модулей n-угольников ольников) в R3 с заданными длинами сторон, многообразие модулей параболических 2-расслоений над прямой с выколотыми точками и комплексный грассманиан Gr(2,n). В курсовых работах можно разбираться с каждой из этих интегрируемых систем в отдельности (в частности, в первых двух понять, что это вообще за многообразие и какова на нём симплектическая структура, далее, что это за n коммутирующих гамильтонианов, как устроен n-мерный многоранник на который они отображают систему), кроме того, можно изучать переходы от одной системы к другой послойными симплектоморфизмами.
    Takeo Nishinou, Yuichi Nohara, Kazushi Ueda. Toric degenerations of Gelfand-Cetlin systems and potential functions. arXiv:0810.3470
    Takeo Nishinou, Yuichi Nohara, Kazushi Ueda. Potential functions via toric degenerations. arXiv:0812.0066

А. В. Забродин

1–3 курс

  1. Обыкновенные дифференциальные уравнения, решения которыхне содержат подвижных критических точек. Задача: описать класс обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, линейных по первой производной, решения которых удовлетворяют свойству Пенлеве, т.е. не содержат подвижных особых точек (кроме полюсов).
    Литература: Е.Айнс, «Обыкновенные дифференциальные уравнения».
  2. Интеграл Сельберга и бета-ансамбли. Вывести явные формулы для статистических сумм бета-ансамблей N частиц на прямой и на окружности. Есть ли еще точно решаемые модели такого рода? Какие можно предложить обобщения?
    Литература: The importance of the Selberg integral, Peter J. Forrester, S. Ole Warnaar, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 45 (2008) 489-534, arXiv:0710.3981.

2–4 курс

  1. Полиномиальные гамильтонианы уравнений Пенлеве. Известно, что уравнения Пенлеве являются гамильтоновыми с полиномиальными по p и q гамильтонианами, однако, их выбор не единствен. Предлагается изучить, какая имеется свобода в их выборе и в идеале найти все полиномиальные гамильтонианы для уравнений Пенлеве I-V.
    Литература:

    3–4 курс

  2. Операторы Штурма-Лиувилля с частично алгебраическим спектром («квазиточнорешаемые задачи»). Существует класс операторов Штурма-Лиувилля на прямой, допускающих явное нахождение некоторого количества собственных функций и собственных значений путем решенияалгебраических уравнений. Они связаны с конечномерными представлениямиалгебры sl(2) в пространстве полиномов. Задача: описать этот класс явно, привести и детально разобрать примеры. Можно ли предложить обобщения на операторы в большем числе измерений?
    Литература:

4 курс

  1. Солитонные решения уравнения Кортевега—де-Фриза (КдФ). Требуется описать класс многосолитонных точных решений уравнения КдФ, сравнить различные явные формулы для решений и доказать их эквивалентность, исследовать характер решений в зависимости от параметров, входящих в уравнение, проанализировать асимптотики, вырождения и предельные случаи.
    Литература:

А. И. Зыкин

    1 курс

  1. Кубик Рубика. Требуется описать группу вращений и допустимые положения кубика. Задача представляет собой хорошее конкретное введение в элементарную теорию групп.
    W. D. Joyner "Mathematics of the Rubik's cube"
    J. Chen "Group Theory and the Rubik's Cube"
  2. Задача об оригами или что можно получить складыванием бумаги. Все хорошо знают, что при построениях с помощью циркуля и линейки можно получить те и только те точки, что лежат в расширениях поля Q степени 2^n. С помощью складывания бумаги можно получать гораздо более общие алгебраические числа.
    R. C. Alperin "A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers"
    R. C. Alperin "One-, Two-, and Multi-Fold origami axioms"
    R. J. Lang "Origami and Geometric Constructions"

    1-2 курс

  3. Почему интегралы не берутся. Теорема Лиувилля дает ответ на классический и очень естественный вопрос о том, какие функции интегрируются в элементарных, а какие нет.
    А. Г. Хованский "Топологическая теория Галуа"

    1-3 курс

  4. Графы расширители и модулярные формы. Графы расширители - это "очень связные" графы со сравнительно небольшим числом ребер. Они оказываются полезными как в практических задачах теории информации и теории кодирования, так и в теоретических вопросах. Имеются удивительные конструкции графов расширителей с использованием таких, казалось бы, абстрактных математических объектов как модулярные формы.
    П. Сарнак "Модулярные формы и их приложения"
  5. Число классов идеалов квадратичных полей - арифметика, алгебра, анализ. Число классов идеалов квадратичных полей возникает в самых разных задачах: при классификации квадратичных форм с данным дискриминантом, в задачах о решетках на плоскости, в задаче об описании модулей над кольцом целых квадратичного поля и т.д. Удивительным образом для этого числа имеется интерпретация в терминах значения некоторой аналитической функции - дзета-функции Дедекинда. Подобная связь - один из теоретико-числовых фактов, ведущих к очень глубоким теоремам и гипотезам.
    З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич "Теория чисел"
  6. Квадратичный, кубический и биквадратичный законы взаимности. Простые числа вида x^2+ny^2. Попытка ответить на несложный по формулировке вопрос о характеризации простых чисел вида x^2+ny^2 приводит к различным законам взаимности, а полный ответ на него требует всей мощи теории полей классов.
    К. Айерленд, М. Роузен "Классическое введение в современную теорию чисел"
    D. A. Cox "Primes of the form x^2+ny^2"

    2-3 курс

  7. Почему эллиптические интегралы не берутся. Ответ на вопрос о том, почему интегралы от квадратных корней из кубических многочленов (эллиптические интегралы) не берутся, невозможен без понимания теории римановых поверхностей, раздела, играющего исключительно важную роль в математике.
    А. Г. Хованский "Топологическая теория Галуа"
  8. Разрешимость линейных дифференциальных уравнений в квадратурах. Теорема Пикара-Вессио даёт ответ на вопрос о разрешимости дифференциальных уравнений в квадратурах. Это аналог обычной теории Галуа для дифференциальных уравнений.
    А. Г. Хованский "Топологическая теория Галуа"
    И. Капланский "Введение в дифференциальную алгебру"
  9. Дзета-функции групп. Во многих разделах математики (в особенности в арифметической геометрии и теории чисел) применение дзета-функций приводит к замечательным результатам. Теория групп не является исключением.
    M. de Sautoy "Zeta functions of groups: The quest for order versus the flight from ennui"
  10. Рациональность дзета-функций проективных и аффинных алгебраических многообразий. Гипотезы Вейля о дзета-функциях многообразий (рациональность, абсолютная величина нулей и полюсов и т.п.) играли ключевую роль в формировании алгебраической геометрии. Теорема Дворка дала ответ на часть этих гипотез о рациональности дзета-функций.
    Н. Коблиц "p-адический анализ, p-адические числа и дзета-функции"
  11. Уравнение Каталана и теорема Михайлеску. Гипотеза Каталана о том, что все решения уравнения x^p-y^q=1 исчерпываются 3^2-2^3=1 была доказана лишь в 2002 году П. Михайлеску. Доказательство использует красивые методы из теории круговых полей.
    R. Schoof "Catalan's conjecture"
    J. Daems "A cyclotomic proof of Catalan's conjecture"
    Y. F. Bilu "Catalan's conjecture"
    M. Mischler "La conjecture de Catalan"

В. А. Кириченко

  1. (для 1-2 курсов) Многогранники Ньютона и теорема Кушниренко.
    Классическая теорема Безу о числе общих нулей n многочленов от n комплексных переменных верна для многочленов общего положения, и выражает число нулей через степени многочленов. Теорема Кушниренко обобщает теорему Безу, и выражает число нулей через многогранники Ньютона ("обобщeнные степени") многочленов.
    Литература:
  2. (для 1-3 курсов) Многочлены Шуберта.
    По каждой перестановке n элементов можно определить многочлен от n переменных с целыми коэффициентами (многочлен Шуберта). Многочлены Шуберта изначально возникли для описания исчисления Шуберта на многообразии полных флагов в n-мерном пространстве (обобщении грассманиана), а затем стали активно изучаться комбинаторными методами. Тема для 1-2 курса — теорема Кириллова-Фомина, дающая комбинаторное описание мономов в многочлене Шуберта через приведeнные диаграммы (pipe-dreams), реализуюшие данную перестановку. Тема для самостоятельного обдумывания - доказательство теоремы Кириллова-Фомина через митоз. Тема для 3 курса - теорема Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда и Демазюра о представлении циклов Шуберта на многообразии полных флагов многочленами Шуберта (исчисление Шуберта).
    Литература:
  3. (для 2 курса) Цепная дробь для числа e (основания натурального логарифма).
    Интересно, что коэффициенты цепной дроби для e подчиняются простой закономерности.
    Литература:
  4. (для 2-3 курсов) Группа монодромии гипергеометрической функции Гаусса.
    Гипергеометрическая функция Гаусса 2F1(a, b, c; z)- специальная функция одной комплексной переменной. Может быть задана как сумма (гипергеометрического) ряда, как интеграл или как решение фуксова дифференциального уравнения второго порядка с тремя особыми точками. Группу монодромии гипергеометрической функции можно найти явно (например, задать образующими и соотношениями), в частности, можно узнать при каких значениях комплексных параметров a,b,c она разрешима, коммутативна или конечна.
    Литература: (все необходимые определения и методы для решения задачи можно найти в этих книгах, но самого решения в них нет)
  5. (для 3-го курса) Сколько коник (на комплексной проективной плоскости) касается пяти данных коник ?
    Классическая задача исчислительной геометрии, поставленная Штейнером и решeнная Шалем. Имеет важное историческое значение, так как поиски строгого решения стимулировали развитие разных областей алгебраической геометрии.
    Литература:

А. В. Клименко

  1. (1–2 курс). Цепные дроби и наилучшие приближения
    Известно, что если обрезать цепную дробь иррационального числа, то полученное число (оно называется подходящей дробью) будет приближать исходное иррациональное число лучше, чем любое другое число с тем же или меньшим знаменателем. Предлагается разобрать различные формализации этого утверждения по книге [1] и либо самому доказать, либо разобрать по книге [2] еще несколько связанных утверждений.
    Литература:
    1. А.Я. Хинчин. Цепные дроби. М., УРСС, 2004.
    2. O. Perron. Die Lehre von den Kettenbruechen. Bd. I: Elementare Kettenbrueche. Stuttgart, Teubner, 1954.
  2. (2–3 курс). Теорема Данжуа и обобщения.
    Теорема Данжуа утверждает, что если диффеоморфизм окружности с иррациональным числом вращения дважды (или (1+&eps;)-) гладок, то он посредством некоторого гомеоморфизма сопряжен с поворотом. Предлагается разобрать доказательство этого факта по книге [1], а третьекурсникам, сверх того, - доказательство его обобщения из статьи [2].
    Литература:
    1. А. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем. М., Факториал, 1999.
    2. V. Kleptsyn, A. Navas. A Denjoy Theorem for commuting circle diffeomorphisms with mixed Holder derivatives. arXiv:0704:1006v1.

А. В. Колесников

1 курс

  1. Полиномы Эрмита

2–3 курс

  1. Изопериметрические множества для вероятностных мер
  2. Гауссовское корреляционное неравенство
  3. Неравенства типа Пуанкаре для выпуклых поверхностей

3 курс

  1. Теория Литтлвуда-Пэли для вероятностных мер
  2. Вероятностные свойства выпуклых тел
  3. Оптимальная транспортировка на многообразиях
  4. Марковские цепи и метрика Канторовича

С. К. Ландо

1 курс

  1. Теорема Уитни о существовании гамильтонова цикла в плоском графе
    У. Татт, Теория графов, М., Мир, 1988, Глава XI, стр. 398
  2. Пфаффиан кососимметрической матрицы
    М. Н. Вялый, Пфаффианы, или искусство расставлять знаки... - Сборник Математическое Просвещение, Выпуск 9 (2005 год), формула (7)
    Э. Б. Винберг, Курс алгебры, М., Факториал, 1999
  3. Полином Джонса
    В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский, Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия, М., МЦНМО, 1997, Глава II, п. 3.1

2 курс

  1. Симметричные алгебраические кривые
  2. Инвариант Арфа квадратичной формы над полем из двух элементов
    В. В. Прасолов Элементы теории гомологий, М., МЦНМО, 2006, c. 351
  3. Формула Гаусса для индекса зацепления двух окружностей
    В.Прасолов, А.Сосинский. Узлы, зацепления, косы и 3-мерные многообразия, М., МЦНМО, 1997
  4. Многочлен Бернштейна (определение, вычисление, доказательство существования, рациональность корней)
    И. Н. Бернштейн, Аналитическое продолжение обобщенных функций по параметру, Функциональный анализ и его приложения, 1971

Курсовые работы для 3 курса, дипломные работы для 4 курса и магистратуры

  1. Исследовать возможность переноса симплектической структуры Атьи–Хитчина на пространстве рациональных функций на пространство их модулей.
  2. Дать локальное описание расслоения якобианов в окрестности простейшей нераспадающейся вырожденной алгебраической кривой рода 2.
  3. Пусть плоская алгебраическая кривая задана однородным полиномиальным уравнением P(x,y,z)=0, а F(x,y,z)=G(x,y,z)/H(x,y,z) — рациональная функция на проективной плоскости (F, G — однородные многочлены одинаковой степени). Найти алгоритм, позволяющий по коэффициентам многочленов P, G и H вычислить коэффициенты многочлена D от одной переменной, корнями которого являются критические значения ограничения функции F на кривую. Сначала — для многочленов G и H маленьких степеней.
  4. Сравнить проекции на подпространство примитивных элементов в алгебре Хопфа графов двух графов, имеющих одинаковые матроиды, в первых нетривиальных примерах.
  5. Подобрать спектральную кривую для производящей функции для интегралов Ходжа, введенной М.Э.Казаряном.

С. А. Локтев

1-2 курс

  1. Гипергеометрические функции и цепные дроби для тангенса и арктангенса. В качестве следствия получится доказательство иррациональности числа пи и тангенса одного радиана.
    Э.Уиттекер, Д.Ватсон, Курс современного анализа, 2 часть;
    статья в википедии
  2. Цепные дроби вида [x,xq,xq2,xq3,...] и тождества Рождерса-Рамануджана. Взаимодействие анализа и комбинаторики на примере одного из самых таинственных результатов начала 20 века.
    Г.Эндрюс, Теория разбиений, Наука 1982
  3. Тождество Коши-Литлвуда и соответствие Робинсона-Шенстеда-Кнута. Доказательство классического результата современными методами. Имеет прямое отношение к теории представлений.
    У.Фултон, Таблицы Юнга, МЦНМО 2006

2-4 курс

  1. Классификация конечных подгрупп SL(2,C) и их представлений. Одна из задач, где возникают диаграммы Дынкина. Есть связь с особенностями комплексных отображений. Вопрос о правильном обобщении на случай SL(3,C) активно обсуждался в начале нашего века.
    I.Dolgachev, McKay correspondence.
  2. Представления GL(2) и SL(2) над конечным полем. Элементарная задача теории представлений, допускающая глубокие обобщения, использующие алгебраическую геометрию и квантовые группы.
    Amritanshu Prasad, Representations of GL(2,Fq) and SL(2,Fq), and some remarks about GL(n,Fq).
  3. Супергруппа Брауэра и алгебры Клиффорда. Одно из объяснений, почему существует две комплексные и восемь вещественных алгебр Клиффорда. Возможность понять эпитеты, прилагаемые физиками к слову "спинор".
    P.Deligne, Notes on spinors.
  4. Гомологии компактных групп Ли. Задача, из которой возникли алгебры Хопфа и гомологии алгебр Ли.
    А.Т.Фоменко, Д.Б.Фукс, Курс гомотопической топологии, Наука 1989;
    А.Л.Онищик, Топология транзитивных групп преобразований, Физматлит 1995

Магистранты

  1. Представления алгебры Ли многомерных токов. Многомерные токи - многочлены (в более общем случае - функции на аффинном многообразии) со значениями в редуктивной алгебре Ли. Для случая одной переменной теория представлений таких алгебр достаточно хорошо изучена, но в общем случае есть много открытых вопросов. Подробнее о части из них можно почитать здесь

С. М. Львовский

Для магистрантов.

Для 2–3 курса

Н. С. Маркарян

  • Пуассоновы структуры Одесского-Фейгина
    Одесским и Фейгиным построено семейство деформаций алгебр полиномов. Соответствующие им пуассоновы структуры на проективных пространствах — интересный объект. Скажем, имеется описание пуассоновых листов в терминах расслоений на эллиптической кривой. Интересный, и, видимо, несложный вопрос — построить симплектический группоид этих пуассоновых структур.
    Литература: Feigin B., Odesskii, A. Vector bundles on an elliptic curve and Sklyanin algebras.
  • Класс и герб Атьи Класс Атьи введен более 50 лет назад. Он является препятствием к существованию связности на расслоении. Однако, если база определена над полем ненулевой характеристики, этот класс малосодержателен. Можно естественно определить герб Атьи. Было бы интересно исследовать, как он соотносится с действием автоморфизма Фробениуса, p-кривизной и т. п.
    Литература (нечитаемая)
    1. Giraud, J. Cohomologie non abelienne.
    2. Illusie, L. Complexe cotangent et deformations.

    С. М. Натанзон

    Для 1–3 курса

    1. 2D топологическая теория поля и числа Гурвица.
      Литература: А. В. Алексеевский, С. М. Натанзон, «Алгебра двудольных графов и числа Гурвица лоскутных поверхностей»,Изв. РАН. Сер. матем., 72:4 (2008), 3–24.
    2. Автоморфизмы алгебраических кривых (для 1–3 курса)
      Литература:
      1. С. М. Натанзон, «Симметрии поверхностей и вещественные алгебраические кривые», Матем. просв., 7, Серия 3 (2003), 116–125.
      2. С. М. Натанзон, «О порядке конечной группы гомеоморфизмов поверхности на себя и числе вещественных форм комплексной алгебраической кривой», Доклады АН СССР Т.242,4, (1978 г.), с.765–768.
      3. С. М. Натанзон, «Конечные группы гомеоморфизмов поверхностей и вещественные формы комплексных алгебраических кривых», Труды Московского математического общества, 51(1988 г.), 3–53.
    3. Топология накрытий и пространства Гурвица
      Литература: С. М. Натанзон, «Модули римановых поверхностей, вещественных алгебраических кривых и их супераналоги», МЦНМО, М., 2003, 176 с. (глава 3)

    Для 2–3 курса

    1. Клейновы поверхности
      Литература:
      1. С. М. Натанзон, «Клейновы поверхности», Успехи математических наук, 45:6(276) (1990), 47–90.
      2. С. М. Натанзон, «Модули римановых поверхностей, вещественных алгебраических кривых и их супераналоги,» МЦНМО, М., 2003, 176 с. (главы 1–2).

    Для 3 курса

    1. Инегрируемая иерархия Кадомцева-Петвиашвили
      Литература:
      1. Б. А. Дубровин, С. М. Натанзон, «Вещественные тэта-функциональные решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили», Известия АН СССР. Сер. матем., 52:2 (1988), 267–286.
      2. С. М. Натанзон, «Рекуррентные формулы для An- и Bn-решений уравнения WDVV», Функциональный анализ и его прил., 34:3 (2000), 81–84.
      3. С. М. Натанзон, «Виттеновское решение иерархии Гельфанда-Дикого», Функциональный анализ и его прил., 37:1 (2003), 25–37.
    2. Эффективизация теоремы Римана и ее приложения
      Литература:
      1. А.Н Варченко, П.И. Этингоф, «Почему граница круглой капли превращается в инверсный образ эллипса», Наука-физматлит, 1995.
      2. S. Natanzon, «Towards an effectivisation of the Rimann theorem», Annals of Global Analysis and Geometry 28:233–255 (2005).
    3. Фробениусовы многообразия
      Литература:
      1. C.M. Натанзон, «Геометрия двумерных топологических теорий поля», МЦНМО, МК НМУ 1998.
      2. Ю.И. Манин, «Фробениусовы многообразия, квантовые когомологии и пространства модулей», Москва, Факториал Пресс, 2002, главы 1–2.
    4. Когомологическая теория поля
      Литература: Ю.И. Манин, «Фробениусовы многообразия, квантовые когомологии и пространства модулей», Москва, Факториал Пресс, 2002, главы 1–2.

    А. Ю. Пирковский

    1. От спектрального радиуса к основной теореме алгебры (для 1–2 курса).
      «Основная теорема алгебры» утверждает, что всякий отличный от константы многочлен над полем комплексных чисел имеет корень. Имеется много различных доказательств этой теоремы, опирающихся на методы из разных областей математики (алгебры, комплексного анализа, топологии...). Предлагается разобрать статью Е. А. Горина (Матем. просв., сер. 3, 1997, вып. 1, 71–84), в которой дается интересное доказательство этой теоремы, основанное на методах спектральной теории нормированных алгебр (знать которую для понимания статьи совершенно не нужно). Необходимо восполнить все детали, пропущенные в статье!
    2. Пример кольца главных идеалов, не являющегося евклидовым (для 1–2 курса).
      Литература: J. C. Wilson, «A principal ideal ring that is not a Euclidean ring», Mathematics Magazine, vol. 46, no. 1 (1973), 34–38; K. S. Williams, «Note on non-Euclidean principal ideal domains», Mathematics Magazine, vol. 48, no. 3 (1975), 176–177.
      Предлагается разобрать первую половину первой статьи, в которой строится некое кольцо и доказывается, что оно — кольцо главных идеалов, а потом разобрать вторую статью, в которой доказывается, что это кольцо не является евклидовым (неевклидовость доказана и в первой статье, но более сложным способом).
    3. Характеризация многочленов через обнуление производных (для 1–2 курса).
      Ясно, что у любого многочлена все производные, начиная с некоторой, тождественно равны нулю. Требуется доказать обратное утверждение: если бесконечно дифференцируемая функция на прямой такова, что для каждой точки t∈R существует такое n, что n-ая производная функции в точке t равна нулю, то функция — многочлен. Для решения задачи полезно ознакомиться с теоремой Бэра и понятием множества первой категории.
      Литература: Дж. Окстоби, «Мера и категория». М.: Мир, 1974.
    4. Конечномерные операторные алгебры (для 1–2 курса).
      Под операторными алгебрами обычно понимают ассоциативные алгебры, состоящие из линейных операторов в банаховых (чаще всего — гильбертовых) пространствах. Принято считать, что эти алгебры и пространства, в которых они действуют, как правило, бесконечномерны. Однако никто не запрещает рассматривать операторные алгебры и в конечномерных векторных пространствах. Разумеется, многие понятия и теоремы из этой науки в конечномерном случае становятся существенно проще. Однако это не значит, что они становятся тривиальными. Предлагается разобраться в некоторых понятиях, связанных с конечномерными операторными алгебрами, и решить ряд задач на эту тему. Для этого вполне достаточно знаний по линейной алгебре в объеме первого курса. Разные задачи по этой теме могут стать предметами разных курсовых работ.
      Литература: И. М. Глазман, Ю. И. Любич, Конечномерный линейный анализ в задачах. М.: Наука, 1969; M. Shubin, Von Neumann algebras and L2-techniques in geometry and topology (глава 1).
    5. Функции от коммутирующих операторов (для 1–2 курса).
      Пусть f ∈ C[t] — многочлен от одной переменной и T — линейный оператор в векторном пространстве X над полем C. Если в многочлен вместо независимой переменной подставить оператор T, то получится оператор f(T). Аналогичная конструкция имеет смысл, когда f — многочлен от нескольких переменных, а T = (T1, ..., Tn) — набор коммутирующих между собой линейных операторов. А какие еще функции, кроме многочленов, можно применять к оператору или к набору коммутирующих операторов? Ответ зависит от того, как устроены эти операторы. Предлагается разобраться в этом вопросе для случая, когда векторное пространство конечномерно. Для решения этой задачи достаточно обычной линейной алгебры.
      Литература: А. Ю. Пирковский, Спектральная теория и функциональные исчисления для линейных операторов (глава 1). М.: МЦНМО, 2010.
    6. Совместный спектр Тэйлора (для 3 курса).
      Эта тема связана с предыдущей, но требует несколько большего багажа знаний. Пусть f — голоморфная функция n переменных и T = (T1, ..., Tn) — - набор коммутирующих между собой линейных операторов в банаховом пространстве . Можно ли придать разумный смысл выражению f(T1, ..., Tn)? Чтобы ответить на этот вопрос, Дж. Тэйлор в начале 1970-х гг. придумал весьма содержательное, хотя и несколько неожиданное определение совместного спектра набора операторов, основанное на некоторых понятиях гомологической алгебры. Предлагается разобраться в основах тэйлоровской теории и вычислить совместный спектр в ряде конкретных случаев. Вариант задачи, доступный и второкурсникам: доказать, что в конечномерном случае спектр Тэйлора совпадает с множеством совместных собственных значений набора операторов.
      Литература: R. E. Curto, Taylor joint spectrum. Preprint (2002).
    7. Вложение диска в C2 (для 3 курса).
      Согласно классической теореме Х.Уитни, каждое гладкое вещественное многообразие можно вложить в Rn (для достаточно большого n) в качестве замкнутого подмногообразия. Для комплексно-аналитических многообразий это уже не так: например, в Cn нельзя вложить никакое компактное комплексное многообразие, потому что в силу теоремы Лиувилля на любом компактном связном многообразии любая голоморфная функция постоянна (а значит, постоянно и любое голоморфное отображение в Cn). Тем не менее, есть важный класс комплексных многообразий — так называемые многообразия Штейна — для которых теорема вложения все же справедлива (Э.Бишоп, Р.Нарасимхан, 1960). Однако из-за «жесткости» комплексно-аналитических объектов справедливость этой теоремы — в отличие от теоремы Уитни — не очевидна даже для простейших многообразий Штейна, например, для областей на комплексной плоскости. Предлагается разобраться в статье Х.Александера «Explicit embedding of the (punctured) disc into C2» (Comment. Math. Helv. 52 (1977), 539–544), в которой строятся голоморфные вложения круга и проколотого круга в пространство C2.
    8. Вычисление границы Шилова функциональных алгебр (для 3 курса).
      Пусть A — подалгебра в алгебре всех непрерывных функций на компакте X. Подмножество в X называется границей} для A, если для любой функции из A ее максимум достигается на этом подмножестве. Граница Шилова алгебры A это наименьшая замкнутая граница в X. Предлагается найти границу Шилова для нескольких конкретных функциональных алгебр. Возможно дальнейшее развитие этой темы — нахождение других границ, например, границы Шоке, нахождение точек пика и т.п.
      Литература: И. М. Гельфанд, Д. А. Райков, Г. Е. Шилов, «Коммутативные нормированные кольца». М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960; М. А. Наймарк, «Нормированные кольца». М.: Наука, 1968; Т. Гамелин, «Равномерные алгебры». М.: Мир, 1973.
    9. Оператор левого сдвига не является обобщенным скалярным (для 3 курса).
      Ограниченный линейный оператор T в комплексном банаховом пространстве X называется обобщенным скалярным, если он допускает так называемое гладкое функциональное исчисление, т.е. непрерывный гомоморфизм из алгебры гладких функций в алгебру ограниченных операторов B(X), переводящий координатную функцию z в оператор T. Обобщенных скалярных операторов много; таковы, например, все нормальные операторы в гильбертовом пространстве. По-видимому, самый простой пример оператора, не являющегося обобщенным скалярным, — это оператор левого сдвига в пространстве l2. Этот факт хорошо известен, однако, по-видимому, единственное известное его доказательство является следствием весьма мощной и непростой теории, развитой в целой серии работ различных авторов. Интересно было бы попытаться выяснить, так ли уж необходимо «стрелять из пушки по воробьям», и попробовать придумать более или менее элементарное доказательство этого факта.
      Литература: А. Ю. Пирковский, Спектральная теория и функциональные исчисления для линейных операторов. М.: МЦНМО, 2010; K. B. Laursen, M. M. Neumann, An introduction to local spectral theory. Oxford, Clarendon Press, 2000.
    10. Некоторые алгебры гладких функций и их гомологические свойства (для 3 курса бакалавриата или 1 курса магистратуры).
      В теории обобщенных функций и различных ее приложениях важную роль играют пространства так называемых «основных» функций, т.е. гладких функций на Rn, удовлетворяющих определенным условиям убывания на бесконечности; см. И.М.Гельфанд и Г.Е.Шилов, « Пространства основных и обобщенных функций», Москва, 1958. Некоторые из этих пространств (например, пространство D(Rn) финитных функций и пространство Шварца S(Rn)) являются топологическими алгебрами относительно поточечного умножения. Более общие алгебры Гельфанда-Шилова изучались в двух неопубликованных работах Д.А.Чумичева (2005–2007 гг.). Предлагается продолжить эти исследования и, например, вычислить глобальные гомологические размерности каких-либо из этих алгебр. Для алгебр D(Rn) и S(Rn) это было сделано О.С.Огневой и А.Я.Хелемским в 1984 г. (Матем. заметки, 1984, 35:2, 177–187).
    11. Описание оболочек Аренса–Майкла конечно порожденных алгебр (для 3 курса бакалавриата или 1 курса магистратуры)..
      Оболочка Аренса–Майкла комплексной алгебры A — это ее пополнение относительно семейства всех субмультипликативных полунорм. Базовый пример: оболочка Аренса–Майкла алгебры многочленов это алгебра целых функций. Более общим образом, оболочка Аренса–Майкла алгебры регулярных функций на аффинном алгебраическом многообразии — это алгебра голоморфных функций на том же многообразии. Этот пример наводит на мысль о том, что оболочки Аренса–Майкла могут представлять интерес с точки зрения «некоммутативной комплексно-аналитической геометрии». Поэтому естественная и интересная задача — взять какую-нибудь стандартную некоммутативную алгебру и получить явное описание ее оболочки Аренса–Майкла. Для некоторых алгебр это было сделано в статье А.Ю.Пирковского « Оболочки Аренса–Майкла, гомологические эпиморфизмы и относительно квазисвободные алгебры» (Труды ММО, т.69 (2008), 34–125). Однако для ряда важных алгебр оболочка Аренса–Майкла пока не вычислена. Среди них — квантовая обертывающая алгебра Uq(sl2) и двойственная к ней «квантовая алгебра функций» Oq(SL2) (см., например, К. Кассель, «Квантовые группы», М.: Фазис, 1999).

    Л. Е. Посицельский

    1. Теорема Гильберта о базисе. (1 курс)
      Литература:
      1. М. Атья, И. Макдональд. Коммутативная алгебра.
      2. K. Goodearl, R. Warfield. An introduction to noncommutative Noetherian rings.
    2. Теорема Гильберта о нулях. (1 курс) Литература: М. Атья, И. Макдональд. Коммутативная алгебра.
    3. Проконечные группы как проективные пределы конечных групп и как компактные вполне несвязные топологические группы. (1–2 курс)
      Литература:
      1. Дж. Касселс, А. Фрелих. Алгебраическая теория чисел. Глава V.
      2. Н. Бурбаки. Общая топология. Глава III, параграф 4, пункт 6.
      1. Подгруппа свободной группы свободна. (1 курс)
        Литература: А. Фоменко, Д. Фукс. Курс гомотопической топологии.
      2. Проективные проконечные группы. (2–3 курс)
        Литература:
        1. Ж.-П. Серр. Когомологии Галуа. Глава I, параграф 3, пункт 4.
        2. M. Fried, M. Jarden. Field arithmetic. Chapter 20, Section 4.
    4. Теорема Гильберта о неприводимых многочленах. (2 курс)
      Литература: H. Voelklein. Groups as Galois Groups: An introduction. Chapter 1, Section 2.
      1. Архимедовы нормирования. Теорема Торнхейма. (1-2 курс)
        Литература: C. Ленг. Алгебра. Глава XII, параграф 2.
      2. Продолжение нормирования на алгебраическое расширение полного поля. (2 курс)
        Литература:
        1. Дж. Касселс, А. Фрелих. Алгебраическая теория чисел. Глава II, параграф 10.
        2. С. Ленг. Алгебра. Глава XII, параграфы 2 и 4.
        3. Б. ван-дер-Варден. Алгебра. Глава 18.
    5. Трансцендентность e, π, и αβ. (2 курс)
      Литература: С. Ленг. Алгебра. Добавление в конце.
      1. Квадратичные алгебры с двумя образующими. (1 курс)
      2. Квадратичные алгебры с одним соотношением. (1 курс)

      Литература:
      1. A. Polishchuk, L. Positselski. Quadratic algebras. AMS, 2005.
      2. В. Уфнаровский. Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре. «Алгебра-6», серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления», том 57. Итоги науки и техники ВИНИТИ, Москва, 1990.
    6. Сколько разных рядов Гильберта имеют некоммутативные мономиальные алгебры с 5 и 6 образующими? (Компьютерный счет, 1–2 курс)
      Литература: см. тему номер 8.
    7. Задание симметрической группы образующими и соотношениями. (1 курс)
      Подберите литературу самостоятельно.
      1. Построить базис в алгебре Клиффорда целочисленной квадратичной формы. (1 курс)
        Подберите литературу самостоятельно.
      2. Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта. (2–3 курс и 1 курс магистратуры)
        Литература:
        1. Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли. Часть I «Алгебры Ли», глава III.
        2. Семинар «Софус Ли». «Теория алгебр Ли. Топология групп Ли.» Глава 1.
        3. Л. Посицельский. Неоднородная квадратичная двойственность и кривизна. Функц. анализ и его прил. 27, N3, стр. 57–66, 1993.
        4. A. Polishchuk, L. Positselski. Quadratic algebras. AMS, 2005. Chapter 5.
        5. A. Braverman, D. Gaitsgory. Poincare–Birkhoff–Witt theorem for quadratic algebras of Koszul type. Journ. Algebra 181, N2, p. 315–328, 1996.
      3. Теорема типа ПБВ для неоднородных соотношений с компонентами в градуировках 2, 3, 4, ... с кошулевой квадратичной частью; примеры и приложения. (3 курс бакалавриата и 1 курс магистратуры)
        Литература:
        1. L. Positselski, A. Vishik. Koszul duality and Galois cohomology, 1995.
        2. M. Hutchings. Integration of singular braid invariants and graph cohomology. Transactions AMS 350, N5, p. 1791–1809, 1998.
      4. Бриллиантовая лемма. (2–3 курс и 1 курс магистратуры)
        Литература:
        1. Paul M. Cohn. Algebra, volume 3.
        2. Paul M. Cohn. Further algebra and applications.
        3. Paul M. Cohn. Universal algebra.
        4. G. Bergman. The diamond lemma for ring theory. {} Advances in Math. 29, N2, p. 178–218, 1978.
        5. D. Anick. On the homology of associative algebras. Transactions AMS 296, 2, p. 641–659, 1986.
    8. Формула Кэмпбелла — Хаусдорфа. (2 курс)
      Литература:
      1. Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли. Часть I «Алгебры Ли», глава IV.
      2. Семинар «Софус Ли». «Теория алгебр Ли. Топология групп Ли.» Глава 18.
    9. Контрамодули над целыми l-адическими числами. (1–2 курс)
      Литература:
      1. L. Positselski. Homological algebra of semimodules and semicontramodules. Appendix A.
      2. U. Jannsen. Continuous etale cohomology. Math. Annalen 280, N2, p. 207–245, 1988.
      1. Теорема Хопфа о положительно градуированных суперкоммутативных биалгебрах, ее варианты и обобщения. (2–3 курс и 1 курс магистратуры)
        Литература:
        1. А. Борель. О когомологиях главных расслоенных пространств и однородных пространств компактных групп Ли, глава II. «Расслоенные пространства и их приложения», сборник переводов, Москва, 1958.
        2. J. Milnor, J. Moore. On the structure of Hopf algebras. Annals of Math. 81, N2, p. 211–264, 1965.
      2. Теорема Бореля о мультипликативной спектральной последовательности. (2–3 курс)
        Литература: А. Борель. О когомологиях главных расслоенных пространств и однородных пространств компактных групп Ли, глава IV. «Расслоенные пространства и их приложения», сборник переводов, Москва, 1958.
      1. S-Λ двойственность. (3 курс бакалавриата и 1 курс магистратуры)
        Литература:
        1. С. Гельфанд. Пучки на Pn и проблемы линейной алгебры. Приложение к книге: К. Оконек, М. Шнейдер, Х. Шпиндлер. Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах.
        2. L. Positselski. Two kinds of derived categories, Koszul duality, and comodule-contramodule correspondence. Appendix A.
      2. Двойственность Серра — Гротендика над аффинным пространством, ее варианты и обобщения. (3 курс бакалавриата и 1 курс магистратуры)
        Литература:
        1. R. Hartshorne. Residues and duality.
        2. S. Iyengar, H. Krause. Acyclicity versus total acyclicity for complexes over noetherian rings. Documenta Math. 11, p. 207–240, 2006.
        3. L. Positselski. Two kinds of derived categories, Koszul duality, and comodule-contramodule correspondence. Section 5, Appendix B.
        4. L. Positselski. Homological algebra of semimodules and semicontramodules. Chapter 5.
        5. L. Positselski. Coherent analogues of matrix factorizations and relative singularity categories. Section 2.5.
    10. Формулы Плюккера для ортогональных групп: геометрическая интерпретация. (Открытый вопрос; 3–4 курс и 1 курс магистратуры.)
      Литература:
      1. А. Гивенталь. Формулы Плюккера и матрицы Картана. Успехи матем. наук 44, N3, стр. 155–156, 1989.
      2. Л. Посицельский. Локальные формулы Плюккера для полупростой группы Ли. Функц. анализ и его прил. 25, N4, стр. 74–76, 1991.

    П. Н. Пятов

    1. Теорема Эйлера о пятиугольных числах (1 курс)
      Предлагается разобрать два доказательства этой теоремы: краткое (см. Г.Харди «Двенадцать лекций о Рамануджане», лекция 6.) и поучительное (см. David M.Bressoud, «Proofs and confirmations: The story of the Alternating Sign Matrix Conjecture», глава 2) .
    2. Многочлены Гаусса и q-биномиальная теорема. (1 курс)
      q-биномиальная теорема — это весьма содержательное обобщение бинома Ньютона.
      David M.Bressoud, «Proofs and confirmations: The story of the Alternating Sign Matrix Conjecture», §3.2.
    3. Формула крюков для подсчета числа стандатрных таблиц Юнга. (1 курс)
    4. Задача о замощении прямоугольной доски доминошками (1–2 курс)
      Важной характеристикой всякой матрицы является ее определитель. Оказывается, что из определителя кососимметричной матрицы всегда можно извлечь квадратный корень (в кольце многочленов от матричных компонент). Получившаяся величина называется Пфаффианом. Предлагается разобраться с определением Пфаффиана и, используя его, решить комбинаторную задачу о числе замощений прямоугольной области косточками домино.
      М.Н.Вялый, «Пфаффианы и искусство расставлять знаки :», Математическое просвещение, сер. 3, вып. 9, стр. 129-142, 2005.
    5. Плоские разбиения и непересекающиеся пути на решетке. (1–2 курс)
      Предлагается вывести производящую функцию Мак-Магона для плоских разбиений ( = трехмерных обобщений диаграмм Юнга) с использованием техники счета непересекающихся путей на решетке.
      David M.Bressoud, «Proofs and confirmations: The story of the Alternating Sign Matrix Conjecture», главы 2,3; John R. Stembridge, «Nonintersecting Paths, Pfaffians, and Plane Partitions», Advances in Mathematics, v.83, p.96–101, 1990.
    6. Суперсимметрические полиномы. (2 курс)
      Суперсимметрическими называются полиномы от двух наборов переменных X={x1,...,xn} и Y={y1,...,ym}, симметричные по переменным каждого из наборов (по отдельности) и такие, что при подстановке y1 = -x1 они перестают зависеть от x1. Необходимо описать кольцо таких полиномов.
      P. Pragacz, A. Thorup «On Jacobi–Trudy Identity for Supersymmetric Polynomials», Advances in Mathematics, v.95, p.8–17, 1992.
    7. Алгебра Темперли–Либа и ее представления на обобщенных путях Дика. (2–3 курс)
      С группой кос связаны несколько семейств конечномерных алгебр, обладающих богатой комбинаторной структурой и имеющих важные применения в физических моделях. Одно из таких семейств — семейство алгебр Темперли-Либа. Предлагается разобраться с определением этих алгебр и изучить их представления в пространстве путей Дика.
    8. Представления симметрической группы по Вершику-Окунькову (2–3 курс).
      А.М.Вершик, А.Ю.Окуньков. «Новый подход к теории представлений симметрических групп» — добавление к книге У.Фултон «Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии», М: МЦНМО, 2006.
    9. R-матричные представления группы кос (2–3 курс).
      R-матрица — это обратимый оператор, действующий в тензорном квадрате конечномерного пространства и удовлетворяющий уравнению Янга-Бакстера. С каждым таким оператором связана серия представлений групп кос Bn. Предлагается поупражняться в построении R-матриц, действующих на пространствах малых размерностей.
    10. Квантовые матричные алгебры и обобщенная теорема Кэли–Гамильтона (3–4 курс)

    М. З. Ровинский

    1 курс

    1. Дискретные представления бесконечных симметрических групп.
      Литература: любая, касающаяся конечных симметрических групп.
    2. Рациональность значений дзета-функции Дедекинда в неположительных целых точках
      Литература: Klingen, Helmut, Uber die Werte der Dedekindschen Zetafunktion. Math. Ann. 145 1961/1962 265–272.
      Siegel, Carl Ludwig, Uber die analytische Theorie der quadratischen Formen. III. Ann. of Math. (2) 38 (1937), no. 1, 212–291.
    3. Основная теорема проективной геометрии
      Литература: Р.Бэр, Линейная алгебря и проективная геометрия, 1955.

    1–4 курс

    1. Решение алгебраических уравнений в тэта-константах
      Литература: Д.Мамфорд, Лекции о тэта-функциях, 1988.

    3–4 курс

    1. «Абстрактные» гомоморфизмы алгебраических групп.
      Литература: A.Borel, J.Tits, Homomorphisms abstraits de groupes algebriques simples, Ann.Math. ser.2, 97, 499–571.
      Lifschitz, Rapinchuk, On abstract homomorphisms of Chevalley groups with nonreductive image I, J.Algebra, 242 (1), 374–399 (2001).

    2–4 курс

    1. Описание монодромии (или классификация алгебраических) гипергеометрических функций.
      Литература: F.Beukers, G.Heckman, Monodromy for the hypergeometric function nFn-1, Invent. Math. 95 (1989) 325–354.
    2. Алгебраическая независимость чисел π, eπ, Γ(1/4) (или чисел π, eπ, Γ(1/3)).
      Литература: Nesterenko, Philippon (Eds.), Introduction to algebraic independence theory, LNM 1752, Springer 2001.

    Г. Л. Рыбников

    1. Задание симметрической группы образующими и соотношениями. (1 курс).
      Для самостоятельного решения.
    2. Внешние автоморфизмы симметрических групп. (1 курс).
      Для самостоятельного решения.
    3. Формула Гаусса–Бонне для многогранных замкнутых поверхностей в трехмерном пространстве (1–2 курс).
      Литература для предварительного чтения:
      • У.Масси. «Алгебраическая топология.» введение.
      • В.Г.Болтянский, В.А.Ефремович. «Наглядная топология.»
    4. Образующие и соотношения фундаментальной группы дополнения до нескольких комплексных прямых в комплексной плоскости. (2 курс):
      Литература.
      • W. Arvola, The fundamental group of the complement of an arrangement of complex hyperplanes, Topology 31 (1992).
      • D. Cohen, A. Suciu, The braid monodromy of plane algebraic curves and hyperplane arrangements, Comment. Math. Helvectici 72(1997), 285–315.

    Л. Г. Рыбников

    Задачи, сформулированные в каждой из тем, предлагается решить (или, по крайней мере, начать решать) самостоятельно — это повод для дальнейшего обсуждения и развития темы.

    Для 1 курса

    1. Почти коммутирующие матрицы.
      Задача: Пусть A и B — комплексные матрицы n x n. Доказать, что если rk (AB-BA) = 1, то матрицы A и B приводятся к верхнетреугольному виду в одном и том же базисе.
    2. Классификация троек подпространств в Rn.
      Задача: классифицировать тройки линейных подпространств в Rn с точностью до изоморфизма.
    3. Результант.
      Задача: Пусть P(x) и Q(x) — многочлены степеней n и k соответственно. Написать многочлен от коэффициентов P(x) и Q(x), обращающийся в нуль тогда и только тогда, когда многочлены P(x) и Q(x) имеют нетривиальный общий делитель.

    Для 1–2 курса

    1. Пфаффиан.
      Задача: Доказать, что определитель кососимметрической матрицы является квадратом некоторого многочлена от ее коэффициентов. Найти явную формулу для этого многочлена.
    2. Теорема Амицура–Левицкого.
      Задача: Пусть A1, A2,...,A2n — матрицы n x n. Тогда
      σ ∈ S2n (-1)σAσ(1)Aσ(2) ... Aσ(2n)=0, где (-1)σ означает знак перестановки σ.
    3. Теорема Шарковского.

      Говорят, что функция f: [0,1] → [0,1] имеет цикл длины k, если существует набор из k различных точек x1,...,xk∈[0,1], для которых f(x1)=x2, f(x2)=x3,...,f(xk)=x1.

      Задача: доказать, что если непрерывная функция на отрезке f:[0,1] → [0,1] имеет цикл длины 3, то она имеет цикл любой длины.

      Теорема Шарковского является обобщением этого утверждения. А именно, утверждается, что на множестве натуральных чисел имеется линейный порядок, такой что утверждение «если непрерывная функция на отрезке f: [0,1] → [0,1] имеет цикл длины m, то она имеет цикл длины n» верно тогда и только тогда, когда n предшествует m.

    Для 2–4 курсов и 1го курса магистратуры

    1. Коприсоединенное представление.
      Пусть g* — коприсоединенное (двойственное к присоединенному) представление конечномерной комплексной алгебры Ли g. Аннулятором элемента α ∈ g* называется подалгебра Ли gα := {x ∈ g | ad*(x)α=0}.
      Задача: (Теорема Дюфло об аннуляторе) Доказать, что алгебра Ли gα абелева для всех α, лежащих в некотором открытом плотном подмножестве в g*.
    2. Теория Морса на унитарной группе.

      Задача: Пусть A — эрмитова матрица n x n с различными собственными значениями. Рассмотрим функцию fA(X):= Tr AX на группе Un. Найти все критические точки этой функции, индексы этих точек, вычислить когомологии многообразия Un.
    3. Дифференциальные операторы на проективной прямой.
      Задача: Найти все голоморфные (регулярные алгебраические) дифференциальные операторы на CP1. Доказать, что алгебра голоморфных дифференциальных операторов на CP1 порождается векторными полями. Задать эту алгебру образующими и соотношениями.
    4. Спинорная группа.
      Задача: Доказать, что фундаментальная группа группы Ли SO(n,R) при n ≥ 3 есть Z/2Z. Задать явно какое-нибудь точное представление универсальной накрывающей этой группы Ли.
    5. Группа Ли G2.
      Алгебра октав O — неассоциативная вещественная алгебра, состоящая из пар кватернионов (a,b) с умножением $(a,b)(c,d) = (ac - dbv, av d + cb)$ (где птичка обозначает сопряжение в кватернионах: (x+iy+jz+kt)v=x-iy-jz-kt).
      Задача: Доказать, что группа автоморфизмов алгебры O является связной компактной группой Ли, и найти ее систему корней.
    6. Двойственность Хау.
      Задача: Группа GL(n,C) x GL(m,C) действует в пространстве U:=Cn ⊗ Cm. Разложить в прямую сумму неприводимых представлений группы GL(n,C) x GL(m,C) представления SkU и ΛkU.

    Е. Ю. Смирнов

    1. Закон сложения на гладкой кубической кривой (1 курс)
      Литература: М. Рид «Алгебраическая геометрия для всех»
    2. Калейдоскопы в трехмерном евклидовом пространстве (1–2 курс)
      Литература: Мат. Просвещение 7 (2003), статьи Винберга, Шварцмана, Бугаенко; A. Sossinsky «Geometries».
    3. Калейдоскопы на трехмерной сфере. Связь с правильными четырехмерными многогранниками (1–2 курс)
      Литература: Мат. Просвещение 7 (2003), статьи Винберга, Шварцмана, Бугаенко; Е. Смирнов, «Группы отражений и правильные многогранники».
    4. Классические инварианты узлов: раскраски, фундаментальная группа дополнения, полиномы Джонса, Александера, HOMFLY... (1–2 курс)
      Литература: В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский, «Узлы, зацепления, косы и тр└хмерные многообразия»; А.Б. Сосинский «Узлы: хронология одной математической теории»
    5. Замкнутые геодезические на правильных многогранниках (1–2 курс)
      Литература: Д.Б.Фукс, С.Л.Табачников «Математический дивертисмент»; D. Fuchs, E. Fuchs, Closed geodesics on regular polyhedra // Moscow Math. J. 2007, 7 (2), pp. 265–279.
    6. Контрпример Нагаты—Стейнберга к 14-й проблеме Гильберта (2–3 курс)
      Литература: И. В. Аржанцев, «Градуированные алгебры и 14-я проблема Гильберта»
    7. Плоские разбиения, формула Макмагона и теорема Гесселя—Виенно о непересекающихся путях (2–3 курс)
      Литература: Ira Gessel, Gerard Viennot, Binomial determinants, paths, and hook length formulae, Adv. Math. 1985, vol. 58, no 3, pp. 300–321

    Е. Б. Фейгин

    1. (1 курс) Числа Бернулли: суммы степеней, производящие функции.

      Литература: Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташник, Конкретная математика. Основы информатики, Москва, Мир., 1998, §6.5.

    2. (1 курс) Экспонента от операторов: определение, свойства и приложения в теории дифференциальных уравнений.

      Литература: В.И.Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Москва, Наука, 1971, глава 3.

    3. (1-2 курс) Представления алгебры Ли sl(2).

      Литература: Ж.-П.Серр, Алгебры Ли и группы Ли, Москва, Мир, 1969, часть 3, гл. 4.

    4. (2 курс) Производящие функции одномерных и двумерных разбиений.

      Литература: Дж.Эндрюс, Теория разбиений, Москва, Наука, 1982, главы 2,11.

    5. (2-3 курс) Представления алгебры Ли sl(n).

      Литература: Ж.-П.Серр, Алгебры Ли и группы Ли, Москва, Мир, 1969, часть 1, гл. 7.

    6. (3-4 курс, 1М) Тэта-функции нескольких переменных и компактные римановы поверхности.

      Литература: Д.Мамфорд, Лекции о тэта-функциях, Москва, Мир, 1988, глава 2, части 1-3

    7. (3-4 курс, 1М) Квазимногочлены Эрхарта, частично упорядоченные множества,многогранники и их многочлены Эрхарта.

      Литература: Р.Стенли, Перечислительная комбинаторика, Москва, Мир, 1990, глава 4, часть 6.

    8. (3-4 курс, 1М) Проективные вложения многообразий флагов.

      Литература: У.Фултон, Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии, глава 9, часть 1.

    О. В. Шварцман

    1 курс

    1. Цепные дроби,дроби Фарея и геодезические на проколотом торе.
    2. Прямая и обратная теоремы Дезарга о четырех целующихся окружностях на плоскости.

    2 курс

    1. Геометрические примеры свободных групп.

    3 курс

    1. Кватернионные алгебры ,ассоциированные с фуксовыми и клейновыми группами.
    2. Мера Тамагавы и вычисление кообъемов решеток в классических группах.

    В. Б. Шехтман

    Для 1–2 курса

    1. Аксиома выбора в математике.
    2. Теоретико-модельные игры.
    3. Закон нуля и единицы в логике предикатов.
    4. Логика предикатов на конечных множествах.
    5. 10-я проблема Гильберта.
    6. Проблема тождества слов в группах.
    7. Интуиционистская логика и модели Крипке.

    А. И. Эстеров

    1 курс

    1. Равновесие Нэша.
      Двое играют в игру: одновременно бросают на стол спички, одну или две штуки каждый. Если на столе оказалось нечетное число спичек (то есть 3), то их забирает первый игрок, а если четное (то есть 2 или 4), то второй. Побеждает тот, у кого накопилось больше спичек за 100 раундов. На первый взгляд, ни у одной из сторон не может быть более разумной стратегии, чем выбирать число бросаемых спичек наугад (т.е. бросая предварительно монетку, чтобы сделать выбор). При такой стратегии средний результат будет оставаться ничейным, сколько ни играй (докажите это). На самом деле, как ни странно, у первого игрока есть выигрышная стратегия: если он станет выбрасывать одну спичку чуть чаще, чем две (насколько чаще?), то суммарный выигрыш за много партий окажется чуть больше суммарного проигрыша (насколько больше?), что бы ни делал второй. Эта стратегия называется смешанным равновесием Нэша. Хотя существование смешанного равновесия часто относят к курсу математической экономики, для доказательства полезна такая «абстрактная» наука, как топология.
      Литература:

    Начиная со второго курса

    1. Многогранники Ньютона результанта и дискриминанта.
      Моном от n переменных можно представить точкой в n-мерном пространстве, рассматривая степени переменных в мономе как координаты точки. Выпуклая оболочка точек, соответствующих всем мономам полинома f, называется многогранником Ньютона полинома f. Например, если f - полином одной переменной степени k, то его многогранник Ньютона - отрезок [0,k], то есть многогранник Ньютона обобщает понятие степени многочлена одной переменной. Реферативная часть состоит в описании многогранников Ньютона результанта и дискриминанта. Можно также попытаться описать многогранники Ньютона других универсальных многочленов той же природы, например, страта Максвелла для многочлена малой степени.
      Литература:
      • Gel'fand, I. M.; Kapranov, M. M.; Zelevinsky, A. V. Newton polytopes of the classical resultant and discriminant. Adv. Math. 84 (1990), no. 2, 237–254.
      • Sturmfels, B. On the Newton polytope of the resultant. J. Algebraic Combin. 3 (1994), no. 2, 207–236.
      • С. В. Дужин, Многогранники и триангуляции
    2. Нормальные формы векторных полей.
      В окрестности неособой точки векторного поля всегда может быть выбрана система координат, в которой поле окажется постоянным. Оказывается, «часто» в окрестности особой точки также может быть выбрана система координат, в которой векторное поле записывается «просто» (например, является линейным). Реферативная часть состоит в обзоре соответствующих результатов Пуанкаре, Зигеля и Дюлака и доказательстве некоторых из них. Можно также попробовать упрощать векторные поля с дополнительной структурой, например, векторные поля на полупространстве.
      Литература: Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 1999.
    3. Топологическая классификация вещественных алгебраических кривых малой степени на плоскости (16я проблема Гильберта).
      Топологически, гладкая плоская вещественная алгебраическая кривая - это несколько овалов на плоскости, некоторые из которых содержатся внутри других. Найдено множество ограничений на возможное количество и взаимное расположение овалов в зависимости от степени кривой, а также множество способов конструировать кривые с заданной конфигурацией овалов. Этих ограничений и конструкций оказывается достаточно, чтобы построить все возможные топологические типы кривых степени до 7, и доказать, что других нет. Реферативная часть состоит в обзоре известных ограничений и конструкций и доказательстве некоторых из них. Можно также попытаться изучать теми же методами топологию кривых малой степени на торе.
      Литература: Вводные тексты Виро и соавторов
    4. Классификация устойчивых отображений Rn → Rn для малых n.
      Говорят, что отображение y=f(x) в точке а эквивалентно отображению y=g(x) в точке b, если существуют замены переменных x'=x'(x) и y'=y'(y), переводящие a в b и f в g, то есть x'(a)=b и g(x'(x))=y'(f(x)) для всех x, достаточно близких к а. Например, если функция g одной переменной имеет k-кратную критическую точку b, то g в точке b эквивалентна y=xk в нуле. Говорят, что отображение f устойчиво в точке a, если любое близкое отображение в некоторой близкой к а точке эквивалентно отображению f в точке a. Например, устойчивые функции одной переменной — это функции без кратных критических точек.Реферативная часть состоит в описании устойчивых отображений Rn → Rn для малых n>1. Можно также попробовать классифицировать устойчивые отображения с дополнительной структурой, например, устойчивые отображения полупространства.
      Литература: Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Том 1. 1982.
    5. Топология гладких замкнутых кривых на плоскости.
      Гладкая замкнутая кривая на плоскости — это гладкое отображение f отрезка [0,1] в плоскость, такое что f(0)=f(1), f'(0)=f'(1), и f'(t) не равно (0,0) ни для какого t. Уитни доказал, что одну гладкую кривую можно гладко продеформировать в другую, если и только если у них совпадает некоторая числовая характеристика, называемая индексом: по мере того, как t пробегает от 0 до 1, касательный вектор f' совершает целое число оборотов, которое и называется индексом кривой f. Так же как индекс кривой меняется в ходе ее деформации в те моменты, когда кривая перестает быть гладкой, другие естественные числовые характеристики кривой меняются в ходе деформации в те моменты, когда кривая претерпевает другие вырождения. Например, число самопересечений меняется, когда у кривой в ходе деформации возникает самокасание, число перегибов меняется, когда возникает трехкратная касательная, и т.д. Такие числовые характеристики называются инвариантами первого порядка, и между ними существует множество неожиданных соотношений. Помимо описанной реферативной части, можно попробовать определять новые инварианты (например, связанные с числом вписанных в кривую окружностей) и искать соотношения между ними.
      Литература:
      • Прасолов В.В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, 2004
      • Arnold V. I. Plane curves, their invariants, perestroikas and classifications. In: Singularities and Bifurcations, Adv. Soviet Math., Vol. 21, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, pp. 33–91 (доступно в Google Books)

    1-ый курс магистратуры

    1. Hard Lefschetz for simplicial polytopes and intersection theory on tropical isolated surface singularities.
    2. Stratification of sparse determinantal varieties.