Для защиты курсовой работы необходимо, во-первых, написать текст (и набрать его в TeX'е), и во-вторых, сделать по теме работы доклад на семинаре или еще где-нибудь. Как будет организована защита дипломной работы, мы напишем позднее.
Описание: Пусть E — векторное расслоение на проективной прямой, включающееся в точную последовательность 0 → O → E → O(n) → 0, где n>0. Класс изоморфизма этого расслоения однозначно определяется соответствующим элементом из Ext1(O(n),O), причем пропорциональным элементам соответствуют изоморфные расслоения. Стало быть: каждой точке (n-2)-мерного проективного пространства соответствует класс изоморфизма двумерных расслоений степени n. На проективной прямой таких классов, как известно, конечное число, так что (n-2)-мерное проективное пространство разбивается в объединение конечного числа подмножеств. Требуется найти их геометрическое описание. У этой задачи красивый ответ.
Если дело пойдет хорошо, можно попробовать рассмотреть аналогичный вопрос для эллиптических кривых.
Описание: как известно, теорема Сарда (для случая отображений из большей размерности в меньшую) перестает быть верной, если отображение недостаточно гладко. Соответствующие контрпримеры были построены Уитни в 30х годах прошлого века, и их конструкция достаточно сложна: она опирается на доказанную тем же Уитни непростую «теорему о продолжении». Сравнительно недавно была опубликована более простая конструкция, пригодная по крайней мере для C1-отображений из плоскости в прямую. Предлагается ее найти и разобрать.
Описание: основная теорема Зарисского гласит, что если общий слой собственного отображения на нормальное многообразие связен, то связны и все слои; это верно и для алгебраических многообразий над произвольным полем, и для комплексных пространств. Так как определение нормальности алгебраично по совоей сути, доказательство этой теоремы также с неизбежностью требует большой дозы алгебры. Задача состоит в том, чтобы для комплексно-аналитического случая придумать (или найти в доступной литературе) условие на особенности, более сильное, чем нормальность, но допускающее более геометрическую формулировку, и для этого условия придумать (или опять же найти в литературе) более или менее элементарное доказательство основной теоремы Зарисского.
Теорема Зарисского гласит, что если в комплексной проективной плоскости задана алгебраическая кривая, все особенности которой --- простейшие двойные точки с разделенными касательными (nodes), то фундаментальная группа дополнения к этой кривой коммутативна. Предлагается разыскать в литературе и понятно изложить доказательство этой теоремы.
Задачи, сформулированные в каждой из тем, предлагается решить (или, по крайней мере, начать решать) самостоятельно — это повод для дальнейшего обсуждения и развития темы.
Задача: доказать, что если непрерывная функция на отрезке f:[0,1] → [0,1] имеет цикл длины 3, то она имеет цикл любой длины.
Теорема Шарковского является обобщением этого утверждения. А именно, утверждается, что на множестве натуральных чисел имеется линейный порядок, такой что утверждение «если непрерывная функция на отрезке f: [0,1] → [0,1] имеет цикл длины m, то она имеет цикл длины n» верно тогда и только тогда, когда n предшествует m.
Литература: Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташник, Конкретная математика. Основы информатики, Москва, Мир., 1998, §6.5.
Литература: В.И.Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Москва, Наука, 1971, глава 3.
Литература: Ж.-П.Серр, Алгебры Ли и группы Ли, Москва, Мир, 1969, часть 3, гл. 4.
Литература: Дж.Эндрюс, Теория разбиений, Москва, Наука, 1982, главы 2,11.
Литература: Ж.-П.Серр, Алгебры Ли и группы Ли, Москва, Мир, 1969, часть 1, гл. 7.
Литература: Д.Мамфорд, Лекции о тэта-функциях, Москва, Мир, 1988, глава 2, части 1-3
Литература: Р.Стенли, Перечислительная комбинаторика, Москва, Мир, 1990, глава 4, часть 6.
Литература: У.Фултон, Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии, глава 9, часть 1.