Abstract:
I will define a certain class of inhomogeneous quadratic algebras together with a set of mutually commuting elements inside of each, the so-called Dunkl elements. To warm up, I describe the set of relations among the Dunkl elements, as well as some interesting properties of FK-algebra. As the next step, I define representations of the FK-algebra mentioned in the title. As the final step, I will talk about some properties of Dunkl elements in each representation. As a corollary, some applications to Classical and Quantum Schubert and Grothendieck Calculi, Classical, Basic and Elliptic Hypergeometric Functions, and so on, will be mentioned.
Гипотетическая формула Геттше (1998) описывает поведение перечислительных инвариантов нодальных кривых в линейных системах дивизоров «общего положения» на поверхностях. Недавно в сеть были выложены две статьи с двумя независимыми доказательствами этой формулы. Я собираюсь обсудить формулировку гипотезы и идеи обоих подходов к доказательству.
Подробный же разбор доказательств я хотел бы предложить участникам семинара.
Дело в том, что гипотеза Геттше является специальным частным случаем так называемого «принципа исчисления мультиособенностей» (Казарян, 2002), эффективность которого была доказана применением к огромному количеству конкретных геометрических задач, но у которого до сих пор не существует удовлетворительного обоснования в рамках алгебраической геометрии. Есть надежда, что методы имеющихся доказательств гипотезы Геттше можно приспособить и к доказательству более общего принципа мультиособенностей.
Я расскажу о фермионной конструкции тау функции, предложенной киотской школой. Будет рассмотрено несколько примеров: функции Шура, некоторые гипергеометрические функции. На фермионном языке будет рассмотрена комбинаторная задача о построении осциллирующей диаграммы Юнга, будет показана связь этой задачи с матричными моделями.
Доклад посвящен развитию теории момент-угол многообразий в торической топологии. Основной идеей торической топологии является сопоставление простому выпуклому n-мерному многограннику P с m гипергранями (m+n)-мерного момент-угол многообразия Z(P) с каноническим действием тора Tm = (S1)m. Многообразие Z(P) зависит только от комбинаторного типа многогранника P, что дает возможность исследовать комбинаторику многогранника при помощи топологии момент-угол многообразия и наоборот. На основании этого В.М.Бухштабер ввел комбинаторный инвариант s(P) простого многогранника P как максимальную размерность подгрупп тора, действующих свободно на Z(P) и поставил проблему найти алгоритм вычисления числа s(P) по комбинаторике многогранника P. В некотором смысле число Бухштабера s(P) является мерой симметрии момент-угол многообразия.
В докладе будут изложены результаты по проблеме Бухштабера. Если позволит время, будет также рассказано о задачах теории выпуклых многогранников, связанных с комбинаторикой групп перестановок и дифференциальными кольцами выпуклых многогранников.
Tau functions, as formulated by Sato and by Segal–Wilson are a fundamental tool in the modern theory of integrable systems. They appear in numerous guises in various applications: in classical integrable systems, such as the KP or Toda hierarchies, they are esssentially "generating functions" for integrable flows. They may appear in different roles; for example, as partition functions and correlation functions for "integrable" deformation families of random matrix models.They also may be used as generating functions for "integrable" random processes, based upon free fermion constructions. The basic "building block" for tau functions are Schur functions, which also have a role of group characters, and character generators, and generalizations thereof. The expansion of tau functions as a series in terms of Schur functions underlies the so-called Bose–Fermi correspndence. The coefficients in such expansions have the beautiful interpretation, developed by Sato and his school, of being Plücker coordinates of an associated point in an infinite dimensional Grassmann manifold, in which the commuting flows may be understood as living, embedded by the Plücker map into a suitably defined fermionic Fock space. This underlies the fact that such tau functions, and the coefficients in the series, may always be understood as determinants of a suitably defined projection operator. Various examples of such Schur function expansions will be discussed, including, : 1) expansions of the algebro-geometric quasi-periodic Riemann theta function solutions associated to invariant spectral curve data, which were discovered first in the pioneering work of Its and Matveev, and extended to the full KP hierarchy in the work of Krichever, Novikov and Dubrovin; 2) Expansions of matrix model partition functions (including double Schur functions expansions, in the case of 2-matrix models); and, if time permits, perhaps some other cases, relating to the BKP, DKP hierarchies and to β=1 matrix models, involving so-called Q-Schur functions, which are best understood as Pfaffians rather than as determinants.
Коэффициенты Литлвуда-Ричардсона являются структурными константами как кольца представлений алгебры Ли gl(n), так и кольца пересечений многообразия Грассмана. Анзац Бете дает прямое геометрическое соответсвие между этими алгебрами.
Примерно год назад на этом семинаре я рассказывал, как строить особые векторы в тензорном представлении по точкам пересечения циклов Шуберта. В этот раз я опишу обратное соответствие. Конструкция использует некоммутативный определитель Талалаева и алгебру Бете в алгебре токов, которая, в свою очередь, является «квазиклассическим пределом» алгебры Бете в янгиане.
Я хочу заверить участников семинара, что используемые в аннотации понятия являются вполне доступными и не требуют слишком специальных знаний.
Доказательство основной теоремы доклада, опубликованное в статье Варченко, Мухина и Тарасова 2007 г., не слишком убедительное (я обнаружил там ошибки). Однако сам результат безусловно верный: он поразительным образом подтвердился в многочисленных компьютерных экспериментах.
Несколько лет назад Концевич предложил идею построения точных конечномерных представлений групп классов отображений поверхностей. Вкратце, идея в том, что а) любая нормальная подгруппа содержит хотя бы один псевдоаносовский элемент, и б) псевдоаносовский автоморфизм нетривиально действует в когомологиях некоторого двулистного накрытия. Такое накрытие свое у каждого псевдоаносовского элемента.
В докладе мы опишем конструкцию этих представлений и некоторые их свойства. Будет сформулировано несколько вопросов и гипотез.
The affine W-algebras are vertex algebras which generalize the Virasoro algebra and are constructed by Drinfeld-Sokolov reduction of affine vertex algebras. We construct a sheaf of vertex algebras on the arc space (the infinite-jet sheme) of the Slodowy variety, called ACDO (Asymptotic Chiral Differential Operators), and show that the vertex algebra of its (C*-invariant) global sections is isomorphic to the corresponding affine W-algebra at critical level. This talk is based on a joint work with T.Arakawa and F.Malikov.
Оказывается, что различные (частичные) гомотопические версии алгебр Баталина-Вилковиского очень удобно кодируются в терминах когомологической теории поля и инфинитезильного действия группы Гивенталя. В полной мере это пока гипотеза, но для частного случая так называемых коммутативных гомотопических БВ-алгебр и их «закрученных» версий (т.е., алгебр со следами) мы доказали точное соответствие, вместе с Володей Доценко и Брюно Валлеттом.
Я кратко расскажу о работе Дубровина и Жанга про классификацию бигамильтоновых иерархий специального вида. В этой работе оставался ряд открытых вопросов о полиномиальности гамильтонианов и двух скобок Пуассона. В совместных работах с С. Шадриным и Х. Поштумой мы построили более широкий класс гамильтоновых иерархий. В этом классе теряется вторая гимильтонова структура, но на полученном классе иерархий имеется транизитивное действие группы Гивенталя. Использование этого действия позволяет доказать полиномиальность первой скобки Пуассона. Мы получили два существенно разных доказательства этого факта и если позволит время, то я постараюсь о них рассказать.
Доклад основан на совместных работах с С. Шадриным и Х. Поштумой.
Тема — подкольца кольца Чжоу модулей кривых, порожденные каппа классами. Интересуют главным образом соотношения между каппа классами. Будет рассказано, что стало известным за последние годы (Pandharipande, Pixton, Ionel, Faber,...), и что остается неизвестным.
This talk is based the joint work with Hiroki Hashiguchi, Nobuki Takayama and Akimichi Takemura.
The hypergeometric function 1F1(a,c;X) of matrix argument is a function of eigenvalues of the square matrix X. The hypergeometric function can be written as the infinite summation of zonal polynomials. It is known that there exists a system of partial differential equations such that the hypergeometric function is the unique symmetric function satisfying the system. We discuss the holonomicity of the system and the numerical method which we call holonomic gradient method.
Некоторое время назад П.Зограф экспериментально обнаружил интересную асимптотику объемов Вейля-Петерсона с ростом рода кривых. Часть этих результатов удалось доказать в его совместной работе с Мирзахани.
Доклад — элементарное введение в геометрическое соответствие Ленглендса.
Гауссовы диаграммы представляют собой удобный комбинаторный способ кодирования кривых на поверхностях и диаграмм узлов. Многие инварианты узлов могут быть получены подсчетом (с весами) различных поддиаграмм Гауссовой диаграммы. В частности, известно, что все Васильевские инварианты (а, следовательно, и их комбинации, такие как полином Александера, Джонса или HOMFLY) могут быть получены таким образом. Главной проблемой при этом является подбор весов, отвечающих различным комбинаторным типам поддиаграмм.
Мы связываем с каждой поддиаграммой ленточную поверхность; некоторые дополнительные условия позволяют нам определить и ориентацию края этой поверхности. Оказывается, что стандартные инварианты узлов (например, полиномы Александера и HOMFLY) допускают «топологическое разложение» отвечающее подсчету поверхностей с фисированным родом, числом компонент края и ориентации на них.
Затем мы применяем схожую технику и к инвариантам 3-мерных многообразий. Многообразие описывается как результат перестройки сферы по оснащенному зацеплению. Вновь оказывается, что ряд интересных инвариантов многообразий может быть получен подсчетом поддиаграмм некоторых фиксированных типов. Например, инвариант Кассона–Уокера отвечает подсчету торов с одним проколом. Это является элементарным комбинаторным аналогом пертурбативных инвариантов 3-многообразий.
Предварительного знания этих областей не предполагается; основная часть доклада будет понятна любому студенту с базисным знанием топологии.
Будет введено понятие спинальной квадрангуляции и приведена топологическая мотивация этого термина. Элементарным методом будет доказано, что для любой пары целых чисел $g \ge 0$ и $n \ge 2$ таких, что $g$ не меньше числа Бетти полного графа $K_n$, существует спинальная квадрангуляция замкнутой ориентируемой поверхности рода $g$ с хроматическим числом $n$. Этот результат является четырехугольным аналогом известного результата Харари, Коржика и докладчика (1993) о триангуляциях. Также будет показано, что полученный хроматический спектр является полным в классе спинальных квадрангуляций. Будет адресован и неориентируемый случай.
Пространства Гурвица мероморфных функций на комплексных кривых стратифицированы по типам вырождения функций. На каждой из неприводимых компонент стратов размерности 1 имеется естественная структура Белого, задающая на ней детский рисунок. В докладе будут описаны алгоритмы вычисления этих детских рисунков и результаты вычислений.
