На главную
Расписание занятий
В.А. Тиморин, П.Е. Пушкарь
Гамильтоновы и интегрируемые системы
Содержание курса.
- Геометрическая оптика. Принцип Ферма, обобщенный закон Снелла. Принцип Гюйгенса.
- Преобразование Лежандра: напоминание. Уравнения Гамильтона. Вывод уравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа.
- Теорема Гамильтона-Якоби. Закон сохранения энергии.
- Напоминание: многообразия. Векторные поля.
- Линейные дифференциальные операторы. Символ операторов второго порядка. Коммутатор векторных полей.
- Напоминание: дифференциальные формы. Интегрирующие множители.
- Классификация квазилинейных гиперболических и параболических уравнений с частными производными второго порядка.
- Симплектические формы. Гамильтоновы векторные поля и гамильтоновы потоки.
- Первые интегралы. Канонические инварианты. Теорема Пуанкаре о возвращении.
- Скобка Пуассона. Теорема Дарбу о симплектических координатах.
- Канонические преобразования, производящие функции.
- Понижение порядка системы при помощи первого интеграла.
- Вполне интегрируемые системы.
- Контактные формы, Лежандровы подмногообразия.
- Теория УрЧП первого порядка.
Литература по курсу:
- В.И. Арнольд, Математические методы классической механики,
Изд. 5, Москва: URSS, 2003
-
Cannas da Silva, Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry. Lecture notes.
Электронная версия доступна на странице автора
-
Владимиров В.С., Жаринов В.В., Уравнения математической физики.
Учебник для ВУЗов.-2-е изд.-М.:Физматлит, 2003.
-
Арнольд В. И., Лекции об уравнениях с частными производными.
Москва: Фазис, 1997.
-
Арнольд В.И., Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: URSS, 2002.
-
Тихомиров В.М., Рассказы о максимумах и минимумах.
Москва: Наука, 1986
Доступна в
электронной библиотеке МЦНМО
Учебные материалы по курсу (включая домашние задания) находятся на
официальной странице курса.