На главную
Расписание занятий
Функциональный анализ. 2010/2011 учебный год.
(лектор А.Ю.Пирковский)
Модули:
I,
II,
III,
IV.
- 1.1. Нормированные пространства и ограниченные линейные операторы
- Нормированные пространства; примеры: конечномерные пространства, пространства последовательностей, пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Ограниченные линейные операторы, их простейшие свойства, эквивалентность ограниченности и непрерывности; примеры: операторы умножения, сдвига, интегральные операторы. Топологические свойства линейных операторов. Мажорирование и эквивалентность норм. Классификация конечномерных нормированных пространств. Факторпространства, lp-суммы нормированных пространств.
- 1.2. Банаховы пространства
- Напоминания о полных метрических пространствах. Банаховы пространства. Полнота классических пространств. Полнота факторпространств. Полнота пространства линейных операторов. Продолжение линейных операторов "по непрерывности". Пополнение.
- 1.3. Гильбертовы пространства
- Полуторалинейные формы; поляризация. Скалярные произведения и предгильбертовы пространства; примеры. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца; норма на предгильбертовом пространстве. Гильбертовы пространства; примеры и конструкции. Проекции и ортогональные дополнения. Направленности и суммируемые семейства. Ортогональные и ортонормированные системы. Коэффициенты Фурье и их свойства. Неравенство Бесселя. Ортонормированные базисы. Эквивалентность свойств тотальности, максимальности и базисности ортонормированных систем. Равенство Парсеваля. Ортогонализация. Существование ортонормированных базисов. Теорема Рисса-Фишера. Классификация гильбертовых пространств.
Записки лекций
- Листок 1. Срок сдачи - 27 сентября.
- Листок 2. Срок сдачи - 11 октября.
- Листок 3. Срок сдачи - 11 октября. Этот листок - необязательный (хотя и желательный).
- Листок 4. Срок сдачи - 18 октября.
- Листок 5. Срок сдачи - 25 октября.
- 2.1. Линейные функционалы
- Сопряженное пространство и сопряженный оператор. Примеры. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Теоремы о разделении выпуклых множеств. Пространство, сопряженное к l^p. Пространство, сопряженное к гильбертову пространству (теорема Рисса). Каноническое вложение во второе сопряженное; рефлексивность. Пространство, сопряженное к подпространству и к факторпространству.
- 2.2. Теорема Банаха об обратном операторе и теорема Банаха-Штейнгауза
- Теорема Бэра. Свойство бочечности банаховых пространств. Теорема Банаха-Штейнгауза и ее следствия. Теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике. Двойственность для банаховых пространств: связь свойств оператора со свойствами его сопряженного.
- 2.3. Комплексные меры и теорема Рисса
- Комплексные меры. Вариация меры. Интеграл по мере ограниченной вариации. Борелевские меры на компактах. Регулярные борелевские меры. Теорема Рисса-Маркова-Какутани (без доказательства). Функции ограниченной вариации на отрезке и их свойства. Меры Лебега-Стилтьеса и общий вид борелевской меры на отрезке. Доказательство теоремы Рисса о пространстве, сопряженном к C[a,b]. Абсолютная непрерывность мер, теорема Радона-Никодима и пространство, сопряженное к L^p (без доказательства).
Записки лекций
В этом модуле действует следующая система оценок за задачи из листков. За каждую задачу из листка, сданную в течение трех недель включительно с момента раздачи листка, ставится 1 балл; на 4-й неделе - 0.7 балла; далее - 0.5 балла.
- Листок 6. Раздается с 1 ноября.
- Листок 7. Раздается с 8 ноября.
- Листок 8. Задачи 1-6 раздаются с 11 ноября, задачи 7-11 - с 15 ноября. Обновлено 1.03.2011.
- Листок 9. Раздается с 15 ноября.
- Листок 10. Раздается с 22 ноября.
- Листок 11. Необязательный, но задачи из него будут зачтены всем сдавшим в виде бонусных баллов.
- Листок 12. Содержит задачи по теме последней лекции модуля 2, но будет приниматься в модуле 3.
- 3.1. Банаховы алгебры и элементарная спектральная теория
- Спектр элемента алгебры. Примеры. Поведение спектра при гомоморфизмах. Теоремы об отображении спектра для многочленов и рациональных функций. Банаховы алгебры. Примеры. Свойства группы обратимых элементов. Характеры. Компактность спектра. Резольвентная функция. Непустота спектра. Теорема Гельфанда-Мазура. Спектральный радиус. Точечный, непрерывный и остаточный спектры линейного оператора. Спектры и двойственность. Примеры нахождения спектра.
- 3.2. Компактные и вполне ограниченные метрические пространства
- Вполне ограниченные метрические пространства. Примеры и общие свойства. Характеризация вполне ограниченных метрических пространств в терминах последовательностей. Эквивалентность полной ограниченности и предкомпактности. Характеризация метрических компактов. Лемма Рисса об эпсилон-перпендикуляре. Непредкомпактность сферы в бесконечномерном нормированном пространстве. Теорема Арцела-Асколи.
- 3.3. Компактные и фредгольмовы операторы
- Компактные операторы: основные свойства и примеры. Аппроксимируемость компактных операторов в гильбертовом пространстве конечномерными. Фредгольмовы операторы, индекс, примеры. Аддитивность индекса. Теория Рисса-Шаудера операторов "1+компактный". Альтернатива Фредгольма. Свойства спектра компактного оператора. Фредгольмовы операторы: критерий Никольского-Аткинсона. Алгебра Калкина. Открытость множества фредгольмовых операторов и локальная постоянность индекса. Устойчивость индекса при компактных возмущениях. Существенный спектр.
Записки лекций
В этом модуле действует следующая система оценок за задачи из листков. За каждую задачу из листка, сданную в течение трех недель включительно с момента раздачи листка, ставится 4 балла; на 4-й неделе - 3 балла; далее - 2 балла.
- Листок 13. Раздается с 18 января.
- Листок 14. Раздается с 25 января.
- Листок 15. Раздается с 1 февраля. Обновлено 22.02.2011.
- Листок 16. Раздается с 8 февраля.
- Листок 17. Раздается с 22 февраля.
- Листок 18. Раздается с 1 марта.
- Листок K (повтор нескольких задач из контрольной). Раздается с 1 марта.
- Листок 19. Раздается с 15 марта, будет учитываться в следующем модуле, но задачу 1 рекомендуется сделать уже сейчас.
- 4.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве
- Гильбертово сопряженный оператор. Связь между операторами в гильбертовом пространстве и полуторалинейными формами. Связь между свойствами оператора и его сопряженного. Ортогональные проекторы, изометрии, коизометрии, унитарные, самосопряженные и нормальные операторы в гильбертовом пространстве. Спектры унитарных и самосопряженых операторов. Спектральный радиус, собственные и инвариантные подпространства самосопряженного оператора. Теорема Гильберта-Шмидта о компактных самосопряженных операторах в гильбертовом пространстве. Теорема Шмидта о компактных операторах в гильбертовом пространстве. Приложение: задача Штурма-Лиувилля.
- 4.2. Локально выпуклые пространства
- Полинормированные пространства. Примеры. Критерий непрерывности полунормы; критерий непрерывности линейного оператора между полинормированными пространствами. Эквивалентные семейства полунорм. Локально выпуклые пространства (ЛВП) и их "полинормируемость". Ограниченные множества в ЛВП. Критерии нормируемости и метризуемости. Борнологические ЛВП. Достаточность множества непрерывных линейных функционалов на хаусдорфовом ЛВП. Полные ЛВП. Пространства Фреше; теоремы Банаха об открытом отображении и Банаха-Штейнгауза для пространств Фреше. Дуальные пары и слабые топологии. Ограниченность слабо ограниченных множеств. Связь равностепенной непрерывности со со слабой* ограниченностью. Аннуляторы и поляры. Теорема о биполяре и ее следствия. Теорема Банаха-Алаоглу. Слабые топологии и компактные операторы. Индуктивные топологии. Пример: пространство D(U) гладких функций с компактным носителем. Описание сходящихся последовательностей в D(U).
- 4.3. Обобщенные функции (распределения)
- Пространство D'(U) обобщенных функций. Регулярные обобщенные функции. Дельта-функция. Меры Радона как обобщенные функции. Умножение обобщенной функции на гладкую. Дифференцирование обобщенных функций. Замена переменной в обобщенных функциях. Теорема о "склеивании" (обобщенные функции образуют пучок). Носитель обобщенной функции. Пространство Шварца и обобщенные функции умеренного роста. Обобщенные функции с компактным носителем как функционалы на E(U). Тензорное произведение обобщенных функций. Теоремы о строении обобщенных функций (обзор).
- 4.4. Преобразование Фурье
- Преобразование Фурье интегрируемых функций на группе целых чисел, окружности и прямой. Общий подход: L^1-преобразование Фурье на локально компактных абелевых группах (обзор). Преобразование Фурье на прямой: связь с дифференцированием. Свертка функций на прямой и ее свойства. Преобразование Фурье и свертка. Преобразование Фурье как автоморфизм пространства Шварца. Тождество Парсеваля-Планшереля. Преобразование Фурье обобщенных функций умеренного роста. Примеры вычисления преобразования Фурье. Преобразование Фурье в L^2; теорема Планшереля.
В этом модуле действует та же система оценок за задачи из листков, что и в модуле III.
- Листок 20. Раздается с 5 апреля.
- Листок 21. Раздается с 12 апреля.
- Листок 22. Раздается с 19 апреля. Обновлено 20 мая.
- Листок 23. Раздается с 10 мая.
- Листок 24. Раздается с 17 мая.
- Листок 25. Раздается с 31 мая.
- Листок 26. Раздается с 7 июня.
- Листок 27. Необязательный, но будет зачтен всем решившим в виде бонусных баллов (максимум 1.5 балла). Принимается только в письменном виде до 28 июня.
В начало
Расписание занятий
