В нашей стране под названием «дискретная математика» иногда понимается собрание разрозненных математических сюжетов, в разные моменты востребованных в Computer Science. Это не соответствует принятому на нашем факультете взгляду на предмет дискретной математики, однако некоторые из этих сюжетов заслуживают внимания.
Остальные темы этого раздела основаны на различных сюжетах из книги «Topics in Classical Algebraic Geometry», написанной И.В.Долгачевым, но еще не изданной (текст имеется на странице автора). В качестве подспорья можно обращаться к любому стандартному учебнику алгебраической геометрии: И.Р.Шафаревич «Основы алгебраической геометрии» или Хартсхорн «Алгебраическая геометрия». По мере освоения материала можно разбирать, например, следующие сюжеты:
Все постановки задач здесь достаточно элементарные, формально доступные даже первокурснику, но материал очень глубокий и содержательный. Имеются две интересные бесконечные группы, возникающие в двумерной геометрии.
Для этих задач не требуется особенно сложных понятий, но эти работы будут не реферативными, а исследовательскими. В одной из моих работ имеется любопытная конструкция, позволяющая по любому графу построить пару рефлексивных центрально-симметричных многогранников (разной размерности), каждый из которых однозначно определяет второй. По поводу этой конструкции имеется довольно много невыясненных, и, вероятно, не очень сложных вопросов. Например, было бы интересно охарактеризовать многогранники, получающиеся этой конструкцией из графов, распространить эту двойственность на произвольные центрально-симметричные рефлексивные многогранники, не обя- зательно возникающие из графов, и т.д. Интересным инвариантом графа, вероятно, является объем получающегося многогранника; в этом направлении пока не сформулировано даже гипотез. Интересно было бы хотя бы просто обсчитать первые нетривиальные примеры. Весь этот сюжет имеет, конечно, алгебро-геометрический подтекст: речь идет о торических многообразиях Фано, возникающих как естественная компактификация обобщенных якобианов некоторых приводимых кривых. Но для решения перечисленных вопросов это, вероятно, не так уж важно.
Задачи, сформулированные в каждой из тем, предлагается решить (или, по крайней мере, начать решать) самостоятельно — это повод для дальнейшего обсуждения и развития темы.
Задача: доказать, что если непрерывная функция на отрезке f:[0,1] → [0,1] имеет цикл длины 3, то она имеет цикл любой длины.
Теорема Шарковского является обобщением этого утверждения. А именно, утверждается, что на множестве натуральных чисел имеется линейный порядок, такой что утверждение «если непрерывная функция на отрезке f: [0,1] → [0,1] имеет цикл длины m, то она имеет цикл длины n» верно тогда и только тогда, когда n предшествует m.
Доказательство в виде цикла (несложных) задач имеется здесь.
Ссылки на оригинальные статьи есть здесь.
Задача: Доказать, что любой элемент алгебры An единственным образом представим в виде линейной комбинации выражений вида ∏i=1n piki ⋅ ∏i=1n qili. Написать формулу, представляющую произведение двух выражений такого вида в таком же виде.
Литература: А.А.Кириллов, «Элементы теории представлений», п. 18.2.
