На главную
Расписание занятий

Темы курсовых работ

Необходимо выбрать одну из тем по договоренности с преподавателем, ее предложившим. Электронные адреса преподавателей смотрите в списке сотрудников факультета. Крайний срок для выбора темы — 22 октября, но всячески рекомендуется сделать это раньше. Срок защиты работы определяется руководителем. Для защиты необходимо (как первокурсникам, так и второкурсникам), во-первых, написать текст работы (и набрать его в TeX'е), и во-вторых, сделать по теме работы доклад на семинаре или еще где-нибудь.

И. В. Артамкин

Механика.

Во 2 главе книги Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. «Математические аспекты классической и небесной механики» имеется несколько интересных вычислений, разбор которых может составить курсовую работу. Вот некоторые возможные темы:
  1. Задача двух тел: вывод законов Кеплера.
  2. Геометрия задачи двух тел.
  3. Частные решения задачи трех тел.
  4. Ограниченная задача трех тел.

Конечные группы.

  1. Простота знакопеременной группы.
    Это несложный, но очень важный классический факт, который вероятно, упоминается и в стандартном курсе алгебры и на некоторых семинарах. Далее тему можно развивать в направлении теории Галуа. Этот сюжет написан в любом учебнике алгебры.
  2. Теоремы Силова и перечисление конечных групп малых порядков.
    Теоремы Силова — стандартный инструмент для изучения структуры конечных групп. Это целый куст близких по подходу тем: разобрав эти теоремы, можно применять их для перечисления групп какого-нибудь небольшого порядка, скажем, 12, 18, 27... См., например, Ленг, «Алгебра».
  3. Теорема Жордана-Диксона.
    Эта теорема утверждает простоту проективных линейных групп над конечным полем, что дает исторически первую (после знакопеременных) серию простых групп. Простое доказательство содержится, например, в книжке Каргаполов Мерзляков «Основы теории групп».

Графы.

  1. Теорема Коши-Бине и теорема Кирхгофа.
    Теорема Коши-Бине — это чистая линейная алгебра: как посчитать определитель произведения двух (неквадратных) матриц. С ее помощью вычисляется дискриминант решетки целочисленных циклов произвольного графа и доказывается, что он равен, в частности, числу остовных поддеревьев данного графа. Данную тему можно далее развивать в нескольких направлениях.
    Литература: теорема Коши-Бине см., например, Гантмахер, «Теория матиц»;

Алгебраическая геометрия.

Изучение алгебраической геометрии лучше всего начинать с книги И.Р.Шафаревич «Основы алгебраической геометрии» и Хартсхорн «Алгебраическая геометрия». По мере освоения материала можно разбирать, например, следующие сюжеты:
  1. Геометрия плоской кубики.
  2. Эллиптическая кривая как пересечение двух квадрик в P3.
  3. Теорема Безу на квадрике и поризм Понселе.
  4. Гиперэллиптические кривые.
  5. Геометрия кривых Веронезе.
  6. Геометрия поверхности Веронезе.
  7. Многообразие прямых в P3.

Ю. М. Бурман

  1. Матричная теорема о деревьях и ее аналоги для групп, порожденных отражениями.
    «Реферативная» часть — матричная теорема о деревьях, принадлежащая Кэли: определитель некоторой матрицы An равен сумме «древовидных» мономов от набора переменных wij, 1 ≤ i < j ≤ n. Матрица An задается явной формулой; на самом деле это матрица действия взвешенной суммы транспозиций на (n-1)-мерном представлении группы перестановок Sn. Исследовательская часть — обобщить матричную теорему о деревьях на другие (кроме Sn) группы, порожденные отражениями.
    Для 1 и 2 курса; для 1 курса можно ограничиться «реферативной» частью.
    Литература: У.Татт, «Теория графов».
  2. SO(3) = RP3 и другие подобные соответствия.
    Существует несколько доказательств того, что группа SO(3) вращений трехмерного пространства является трехмерным проективным пространством. В том числе существуют явные соответствия между ними, которые позволяют изучать вопрос, какие множества вращений соответствуют определенным подмножествам в RP3 (например, проективным прямым или плоскостям).
    Для 1 курса.
  3. Вероятность того, что два взятых наугад целых числа взаимно просты, равна 6/π2.
    Для 1 курса.
    Литература: А.М.Яглом, И.М.Яглом, «Неэлементарные задачи в элементарном изложении».
  4. Третья проблема Гильберта (неравносоставленные многогранники) и пример Тарского.
    Если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то один из них можно разрезать на конечное число многоугольных частей, из которых сложить второй. Аналогичная теорема для разрезания многогранников на многогранники неверна, причем препятствие носит теоретико-множественный характер. Если в формулировке теоремы убрать слова «на многогранники», то результат будет совсем неожиданным...
    Для 1 курса.
    Литература: Болтянский, «Третья проблема Гильберта».
  5. Явные формулы для корней алгебраических уравнений.
    Первая («реферативная») часть — доказательство знаменитой теоремы Абеля о том, что не существует формулы для решения уравнений степени 5 и выше, использующей только арифметические операции и корни. Вторая часть — построение формулы для решения уравнений 5-ой степени, использующей эллиптические функции, и исследование аналогичного вопроса для степени 6. Третья (исследовательская) часть — можно ли найти вещественные корни уравнения с вещественными коэффициентами, производя вычисления только с вещественными числами.
    Для 1 и 2 курса; для 1 курса можно ограничиться первой частью или первыми двумя.
    Литература: Алексеев, «Теоремя Абеля в задачах и решениях».

В. А. Васильев

1 курс

  1. Лемма Морса; существование функции Морса на любой гладкой поверхности
    Литература: Дж. Милнор, «Теория Морса», §2.
  2. Классификация иммерсий S1 -> R2 с точностью до гомотопий и комбинаторная формула для числа вращения.
    Литература: Whitney, вот эта статья.
  3. Алгоритмическая разрешимость проблемы тождества слов в группе кос
    Литература: Прасолов, Сосинский, §III.6.
  4. Фундаментальные группы дополнений к а) тривиальному узлу, б) трилистнику, в) узлу «восьмерка», г) тривиальному 2-компонентному зацеплению, д) зацеплению Хопфа; доказательство их неэквивалентности.
    Литература: Определения в книге Прасолов-Сосинский, вычисления найти или сделать самостоятельно.

2 курс

  1. Слабые теоремы Уитни о вложениях и иммерсиях (всякое компактное n-мерное многообразие можно погрузить в R2n и вложить в R2n+1.
    Литература: М.Хирш, «Диффференциальная топология», §1.3.
  2. Классификация простых особенностей гладких функций
    Литература: Арнольд, Варченко, Гусейн-Заде, часть 1, параграфы 11, 12.
  3. Гомологии дополнения до набора плоскостей в Rn и Cn: формула Горески-Макферсона, порядковый комплекс, алгебра Орлика-Соломона.
    Литература: Васильев, Успехи матем. наук, 2001, 56, вып. 2, стр.167–203.

А. Л. Городенцев

Темы для 1-го курса.

  1. Задача Л.Г.Макар-Лиманова: торговец газировкой коротает время, манипулируя пятнадцатью одноразовыми стаканчиками, сложенными перед ним в несколько стопок. Одна манипуляция заключается в том, что он берёт верхний стаканчик из каждой стопки и составляет из них новую стопку. Как разложатся стаканчики после 2008 таких манипуляций? И что будет при произвольном числе стаканчиков? Я не знаю хорошей точной ссылки. Кажется, в «Кванте» некогда публиковалось решение для общего случая, но правильнее разобраться самомтоятельно.
  2. Решение (в целых числах) уравнения Пелля x2+d y2=N и группа единиц вещественного квадратичного поля.
    К.Айрлэнд, М.Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. (§5 из гл.17)
    З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич. Теория чисел. (§8 из гл.II)
    а также задачи А.Л.Городенцева выдавашиеся на семинаре Рудакова.
  3. Теорема Лагранжа о представлении вещественных квадратичных иррациональностей периодическими цепными дробями.
    А.Я.Хинчин. Цепные дроби. (§10 из гл.2)
    а также задачи А.Л.Городенцева выдавашиеся на contra-семинаре 2008/09 года.
  4. Теорема Лиувилля о том, что алгебраические числа приближаются рациональными дробями не лучше, чем с точностью до некоторой натуральной степени знаменателя дроби
    А.Я.Хинчин. Цепные дроби. (§9 из гл.2)
  5. Асимптотика Стирлинга для n! (любой классический курс анализа, например Фихтенгольца или Зорича)
  6. Метод Штурма отыскания вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами (и в частности, быстрого нахождения их количетва).
    И.Р.Шафаревич. Избранные главы алгебры. Учебное пособие для школьников.. (приложение к гл.5)
  7. Цепочка Клиффорда. Имеется следующая серия задач, занумерованных натуральными числами n, начиная с n=4.
    При n=4 четыре прямые на плоскости, находящихся «в общем положении» (любые две пересекаются в одной точке, через которую не проходит никая третья), ограничивают 4 треугольника, и описанные вокруг этих треугольников окружности всегда пересекаются в одной точке (см. рис. справа).
    При n=5 пять прямых «в общем положении» содержат внутри себя 5 четвёрок прямых, каждая из которых, согласно предыдущему, производит точку пересечения четырёх окружностей, описанных вокруг четырёх ограниченных выбранными четырьмя прямыми треугольников. Эти пять точек пересечения четвёрок окружностей всегда лежат на одной окружности.
    При n=6 имеется 6 пятёрок прямых, каждая из которых, согласно предыдущему, производит окружность, на которой лежат 5 точек пересечения четвёрок окружностей ... Как Вы уже догадались, эти 6 окружностей всегда пересекаются в одной точке. И так далее.
    Историю вопроса и одно из возможных (и довольно таки старинных) решений с весьма оригинальным использованием комплексных чисел см. на сайтах http://www.gogeometry.com/clifford1.htm и http://www.maa.org/editorial/knot/CenterCircle.html.
  8. Поризм Понселе: на плоскости (комплексной проективной) нарисованы две коники (приверженцам евклидовой геометрии рекомендутся представлять себе эллипс, лежащий внутри другого эллипса); из точки на одной из них (на внешнем эллипсе) выпускают касательную к другой (к внутреннему эллипсу) пока она снова не пересечёт первую конику (внешний эллипс); из полученной точки пересечения с первой коникой снова выпускают касательную ко второй конике до её пересечения с первой и т.д. — получается ломаная, вписанная в первую конику и описанная около второй; если эта ломаная замкнётся через n шагов в n-угольник, вписанный в первую конику и описанный около второй, то это явление будет иметь место при любом выборе начальной точки на первой конике, за исключением, разве что, конечного числа точек (в этом случае говорят, что две данные коники замкнуты друг с другом по Понселе).
    J.G.Semple, G.T.Kneebone. Algebraic projective geometry;
    J.G.Semple, L.Roth. Introduction to algebraic geometry;
    а также лекцию 3 из курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow.
  9. Теорема Безу о том, что две кривые степеней m и n без общих компонент на плоскости (комплексной проективной) имеют ровно mn точек пересечения (если учитывать их с надлежащими кратностями, определяемыми простым и наглядным правилом Цейтена).
    Р. Уокер. Алгебраические кривые;
    J.G.Semple, G.T.Kneebone. Algebraic projective geometry;
    J.G.Semple, L.Roth. Introduction to algebraic geometry;
    а также лекции 10, 11 из курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow.
  10. Лемма Барта: если ранг коммутатора двух линейных операторов равен единице, то у этих операторов есть общий собственный вектор (над алгебраически замкнутым полем). Решение можно подсмотреть в сборнике задач по линейной алгебре, составленном В.Прасоловым, но правильнее решить эту задачу самостоятельно.

Темы для 1-го и 2-го курса.

  1. Поле комплексных чисел не содержится ни в каком поле, имеющем над ним не более, чем счётную размерность (как векторное пространство), и вытекающее из этого обстоятельства доказательство теоремы Гильберта о нулях (над полем C).
    В.Доценко. О доказательстве теоремы Гильберта о нулях. «Математическое просвещение» (2002) N6 стр.116-118
    а также этюд о простом доказательстве теоремы о нулях на страничке Ованеса Худойвердяна.
  2. Гладкая плоская кубическая кривая не допускаает рациональной параметризации.
    И.Р.Шафаревич. Основы алгебраической геометрии, т.1..
    М.Рид. Алгебраическая геометрия для всех,
    а также задачи 1.6 и 5.1 (соответственно, из 1-го и 5-го листков) курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow.
  3. Теорема Рота о том, что для трансцендентности вещественного числа необходимо и достаточно, чтобы оно имеело бесконечно много приближений p/q с точностью до q-2-ε
    Дж.В.С.Касселс. Введение в теорию диофантовых приближений. (гл.VI)
    P.M.Gruber, C.G.Lekkerkerker. Geometry of numbers. (вскоре должен выйти — если уже не вышел — русский перевод этой книги)
  4. Соотношения Плюккера: у плоской алгебраической кривой, особые точки которой исчерпываются κ простыми остриями (где двойная касательная пересекает кривую с кратностью 3) и n простми самопересечениями кратностей m1,..., mn (в i-той точке пересекается mi ветвей с различными касательными), число ι точек перегиба, степень d, и класс c (т.е. число касательных, которые можно опустить на кривую из точки общего положения) связаны соотношениями   c = d(d-1) - 3κ - ∑mi(mi-1)   и   ι = 3d(d-2) - 8κ - 3∑mi(mi-1)
    лекции 10, 11 из курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow.
  5. На любой гладкой кубической поверхности в трёхмерном пространстве (комплексном проективном) лежит ровно 27 прямых.
    М.Рид. Алгебраическая геометрия для всех (§8 из гл.V),
    а также лекцию 14 из курса A.L.Gorodentsev. Algebraic Geometry. Start Up Course, читаемого в Math In Moscow. Можно вывести этот результат из того, что гладкая плоская кривая степени 4 имеет 28 двойных касательных (что следует из предыдущих соотношений Плюккера).
  6. Описание кольца когомологий комплексного грассманиана (исчисление Шуберта).
    У. Фултон. «Таблицы Юнга и их применение в ...» и его же «Теория пересечений»
    Ф.Гриффитс, Дж.Харрис. «Принципы алгебраической геометрии» гл. 4.

А. И. Зыкин

Более простые темы

  1. Представление натуральных чисел в виде суммы четырех квадратов. Теорема Якоби.
    К. Айерлэнд, М. Роузен "Классическое введение в современную теорию чисел"
  2. Теорема Апери об иррациональности ζ(3)=Σ 1/n3
    A. van der Poorten "A proof that Euler missed"
    Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин "Введение в современную теорию чисел"
  3. Полиномиальный алгоритм проверки чисел на простоту.
    M. Agrawal, N. Kayal, N. Saxena "PRIMES is in P"
    О. Н. Василенко "Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии"
    Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин "Введение в современную теорию чисел"
  4. p-адические числа. Теорема Островского о нормированиях поля рациональных чисел.
    З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич "Теория чисел"
    Н. Коблиц "p-адический анализ, p-адические числа и дзета-функции"
  5. Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.
    К. Айерлэнд, М. Роузен "Классическое введение в современную теорию чисел"
    Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин "Введение в современную теорию чисел"
  6. Кубик Рубика. Как описать группу вращений и допустимые положения кубика?
    W. D. Joyner "Mathematics of the Rubik's cube"
    J. Chen "Group Theory and the Rubik's Cube"
  7. Конечные подгруппы GL(n) и их максимальный порядок.
    J.-P. Serre "Bounds for the orders of the finite subgroups of G(k)"

Более сложные темы

  1. Теорема Матиясевича об алгоритмической неразрешимости уравнений в целых числах (10-я проблема Гильберта).
    Б. З. Мороз "Диофантовы уравнения и доказуемость в математике"
    Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин "Введение в современную теорию чисел"
  2. Решение однородных квадратичных уравнений в целых числах и p-адические числа. Теорема Минковского-Хассе.
    З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич "Теория чисел"
    Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин "Введение в современную теорию чисел"
  3. Задача об оригами: что можно получить складыванием бумаги? R. C. Alperin "A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers"
    R. C. Alperin "One-, Two-, and Multi-Fold origami axioms"
    R. J. Lang "Origami and Geometric Constructions"
  4. a. Почему интегралы не берутся? Теорема Лиувилля об интегрируемости в элементарных функциях.
    b. (для более продвинутых студентов) Какие линейные дифференциальные уравнения разрешимы в квадратурах? Теорема Пикара--Вессио.
    А. Г. Хованский "Топологическая теория Галуа"
    И. Капланский "Введение в дифференциальную алгебру"

С. М. Львовский

  1. Грассманианы прямых и нормкривые: найти степени кривой касательных и поверхности секущих к нормкривой степени n.
  2. Поверхности степени 3 в четырехмерном просранстве: получить классификацию всех проективных поверхностей степени 3 в четырехмерном преоктивном пространстве (над C).
  3. Плюккеровы соотношения: показать, что плюккеровы квадратичные соотношения порождают все соотношения между плюккеровыми координатами на грассманиане. Литература: Ф.Гриффитс, Дж.Харрис "Принципы алгебраической геометрии", гл. 0; В.Ходж, Д.Пидо "Методы алгебраической геометрии".
  4. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Литература: Ж.-П.Серр "Курс арифметики". Х.Хассе "Теория чисел".
  5. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Ж.-П.Серр "Курс арифметики". Х.Хассе "Теория чисел".
  6. Сущестование бесконечно дифференцируемой функции с заданным рядом Тейлора в нуле. Литература: Нарасимхан Р. "Анализ на действительных и комплексных многообразиях&qquot;.
  7. Нигде не дифференцируемые функции составляют "большинство" в пространстве всех непрерывных функций на отрезке. Литература: Дж. Окстоби. "Мера и категория".

Темы перечислены в порядке убывания сложности. Литературу к первым двум темам я не указал сознательно: в готовом виде ее, возможно, нет. Заинтересовавшиеся приглашаются подойти и обсудить формулировку.

С.К.Ландо

Для второкурсников

  1. Ласточкин хвост (определение, изображение, задание уравнением и образом отображения плоскости, а также образом системы зеркал)
    В.И.Арнольд, А.Н.Варченко, С.М.Гусейн-Заде «Особенности дифференцируемых отображений», М., МЦНМО, 2009, с.45.
  2. Кошелек и пирамида (определение, изображение, задание уравнением и образом системы зеркал)
    В.И.Арнольд, А.Н.Варченко, С.М.Гусейн-Заде «Особенности дифференцируемых отображений», М., МЦНМО, 2009, с.356.
  3. Зонтик Уитни (определение, изображение, задание уравнением и образом отображения плоскости)
    В.И.Арнольд, А.Н.Варченко, С.М.Гусейн-Заде «Особенности дифференцируемых отображений», М., МЦНМО, 2009, с.27.
  4. Каустика эллипса --- астроида (определение, изображение, задание уравнением и образом отображения прямой)
    В.И.Арнольд, А.Н.Варченко, С.М.Гусейн-Заде «Особенности дифференцируемых отображений», М., МЦНМО, 2009.
  5. Инвариант Арфа квадратичной формы над полем из двух элементов
    В.В.Прасолов « Элементы теории гомологий», М., МЦНМО, 2006, c.351.
  6. Формула Гаусса для индекса зацепления двух окружностей
    В.Прасолов, А.Сосинский. «Узлы, зацепления, косы и 3-мерные многообразия», М., МЦНМО, 1997.
  7. Многочлен Бернштейна (определение, вычисление, доказательство существования, рациональность корней)
    И.Н.Бернштейн, «Аналитическое продолжение обобщенных функций по параметру», Функциональный анализ и его приложения, 1971.

Темы для самостоятельного разбора

  1. Теорема Кэли о перечислении деревьев и ее обобщения
    С.К.Ландо, «Лекции о производящих функциях», М., МЦНМО, 2007, Теорема 8.9
    В.Н.Сачков, «Введение в комбинаторные методы дискретной математики», М., Наука, 1982, гл. IV, п.2, теорема 1.
  2. Перечисление пилообразных перестановок
    С.К.Ландо, «Лекции о производящих функциях», М., МЦНМО, 2007, стр. 64-68
  3. Теорема Татта об инвариантах графов, удовлетворяющих соотношению удаление/стягивание
    У.Татт, «Теория графов», М., Мир, 1988, Глава IX
  4. Теорема Уитни о существовании гамильтонова цикла в плоском графе
    У.Татт, «Теория графов», М., Мир, 1988, Глава XI, стр. 398
  5. Пфаффиан кососимметрической матрицы
    М.Н.Вялый, «Пфаффианы, или искусство расставлять знаки...», Сборник «Математическое Просвещение», Выпуск 9 (2005 год), формула (7)
    Э.Б.Винберг, «Курс алгебры», М., Факториал, 1999
  6. Теорема Кастеляйна о числе совершенных паросочетаний в плоском графе
    М.Н.Вялый, «Пфаффианы, или искусство расставлять знаки...», Сборник «Математическое Просвещение», Выпуск 9 (2005 год), стр. 135, Теорема 1.
  7. Матричная теорема о деревьях
    У.Татт, «Теория графов», М., Мир, 1988, п. VI.4
  8. Полином Джонса
    В.В.Прасолов, А.Б.Сосинский, «Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия», М., МЦНМО, 1997, Глава II, п.3.

П. Н. Пятов

  1. Теорема Эйлера о пятиугольных числах (1 курс).
    Предлагается разобрать два доказательства этой теоремы: краткое (см. Г.Харди «Двенадцать лекций о Рамануджане», лекция 6.) и поучительное (см. David M.Bressoud, «Proofs and confirmations: The story of the Alternating Sign Matrix Conjecture», глава 2) .
  2. Многочлены Гаусса и q-биномиальная теорема (1 курс).
    David M.Bressoud, «Proofs and confirmations: The story of the Alternating Sign Matrix Conjecture», §3.2.
  3. Алгоритм Доджсона (Л. Кэррола) для вычисления определителя матрицы. λ-детерминанты и знакопеременные матрицы (1 курс).
    David M.Bressoud, «Proofs and confirmations: The story of the Alternating Sign Matrix Conjecture», §3.5.
  4. Плоские разбиения и непересекающиеся пути на решетке (1-2 курс).
    Предлагается вывести производящую функцию Мак-Магона для плоских разбиений ( = трехмерных обобщений диаграмм Юнга) с использованием техники счета непересекающихся путей на решетке. David M.Bressoud, «Proofs and confirmations: The story of the Alternating Sign Matrix Conjecture», главы 2,3; John R. Stembridge, «Nonintersecting Paths, Pfaffians, and Plane Partitions», Advances in Mathematics, v.83, p.96-101, 1990.
  5. Суперсимметрические полиномы (2 курс).
    Суперсимметрическими называются полиномы от двух наборов переменных X={x1,...,xn} и Y={y1,...,ym}, симметричные по переменным каждого из наборов (по отдельности) и такие, что при подстановке y1 = -x1 они перестают зависеть от x1. Необходимо описать кольцо таких полиномов. P. Pragacz, A. Thorup «On Jacobi-Trudy Identity for Supersymmetric Polynomials», Advances in Mathematics, v.95, p.8-17, 1992.
  6. Билинейные тождества для симметрических функций Шура (2 курс).
    M. Kleber «Plucker Relations on Schur Functions», Journal of Algebraic Combinatorics, v.13, p.199, 2001.
  7. Теория представлений симметрических групп по Вершику-Окунькову (2 курс).
    А. М. Вершик, А. Ю. Окуньков «Новый подход в теории представлений симметрических групп. II», Записки научных семинаров ПОМИ, т.307, стр.57-98, 2004.

А. Н. Рудаков

Для 1 курса

  1. Обобщить законы рычага.
    Творческий вопрос: обобщить, что такое "рычаг", соответственно обобщить условия равновесия, и разумно аргументировать.
  2. Логика правдоподобия, вывод и обоснование правил.
    Надо разобраться в рассуждениях в E.T.Jaynes, Probability theory: the logic of science, pp.3-43, и изложить кратко суть.
  3. Числа Фибоначчи и другие рекуррентные последовательности mod p: периодичность, нахождение периодов.
    Творческий вопрос: довольно ясно, что последовательность будет периодической, надо найти правила нахождения периода.
  4. Доказательство простоты числа 2127 - 1.
    Обсуждается в статье Рудакова в "Математическом Просвещении" (2000), сер.3, вып.2, с.127-139; там же есть ссылки на другие, более короткие изложения.

Для 2 курса

  1. Конфигурации с симметриями: теорема перечисления Полиа.
    Литературы довольно много разной степени аккуратности, нужно разобраться и изложить четко.
  2. Определение простоты числа: тест Миллера-Рабина.
    Формулировки см. в D.R.Stinson, «Cryptography», pp.171–180, или Н.Смарт, «Криптография», с.213–214; доказательства предлагается восстановить.
  3. Полиномиальные инварианты и ко-инварианты симметрической группы.
    Литература: R.Goodman, N.R.Wallach, «Representations and invariants of classical groups», pp.169–176.
  4. Целые числа квадратичных полей: введение в теорию делимости.
    Трудно указать хорошую ссылку; в книге Боревич, Шафаревич, «Теория чисел», гл.III, содержится все и намного больше, как и в любом курсе алгебраической теории чисел.

Г. Л. Рыбников

  1. Трехмерные и многомерные обобщения формулы Пика. (1-2 курс)
    А. Г. Кушниренко, Целые точки в многоугольниках и многогранниках, Квант, 1977, номер 4, стр. 13-20.
  2. Классификация замкнутых поверхностей. (1-2 курс)
    У. Масси, Алгебраическая топология. Введение; В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович, Наглядная топология.
  3. Теорема о сэндвиче с ветчиной. (1-2 курс)
    Ч. Косневски, Начальный курс алгебраической топологии; Н. Стинрод, У. Чинн, Первые понятия топологии.
  4. Задание симметрической группы образующими и соотношениями. (1 курс)
    Для самостоятельного решения.
  5. Внешние автоморфизмы симметрических групп. (1 курс)
    Для самостоятельного решения.
  6. Диаграммы Вороного, триангуляции Делоне и выпуклые оболочки — алгоритмы построения. (1 курс)
    http://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation
  7. Векторные инварианты полной линейной группы и двойственность Шура-Вейля. (2 курс)
    Г. Вейль, Классические группы, их инварианты и представления; R. Howe, Remarks on classical invariant theory, Trans. of the AMS, v.313 (1989) pp.539-570.
  8. Образующие и соотношения фундаментальной группы дополнения до нескольких комплексных прямых в комплексной плоскости. (2 курс)
    W. Arvola, The fundamental group of the complement of an arrangement of complex hyperplanes, Topology 31 (1992).
  9. Автоморфизмы двумерного тора — плотность траекторий, эргодическая теорема. (2 курс)
    А. Б. Каток, Б. Хассельблат, Введение в современную теорию динамических систем.

Л. Г. Рыбников

Темы упорядочены по возрастанию сложности.
  1. Классификация троек подпространств в Rn.
    Задача: классифицировать тройки линейных подпространств в Rn с точностью до изоморфизма.
  2. Пфаффиан
    Задача: Определитель кососимметрической матрицы является квадратом некоторого многочлена от ее коэффициентов.
  3. Бесконечно декодируемые последовательности и мозаики Пенроуза.
    Основные утверждения о бесконечно декодируемых последовательностях и мозаиках Пенроуза даны в виде цикла (несложных) задач по ссылке
    http://olympiads.mccme.ru/lktg/1997/penrouz.htm
  4. Теорема Шарковского.
    Говорят, что функция f: [0,1]→ [0,1] имеет цикл длины k, если существует набор из k различных точек x1,...,xk из отрезка [0,1], для которых f(x1)=x2, f(x1)=x3,...,f(xk)=x1.
    Задача: доказать, что если непрерывная функция на отрезке f: [0,1]→ [0,1] имеет цикл длины 3, то она имеет цикл любой длины.
    Теорема Шарковского является обобщением этого утверждения. А именно, утверждается, что на множестве натуральных чисел имеется линейный порядок ‹, такой, что утверждение «если непрерывная функция на отрезке f: [0,1]→ [0,1] имеет цикл длины m, то она имеет цикл длины n» верно тогда и только тогда, когда n‹ m.
    Доказательство в виде цикла (несложных) задач имеется по следующей ссылке: http://www.sch57.msk.ru/~masha_semenova/MATH/analys/shark.pdf
    Ссылки на оригинальные статьи есть здесь: http://mathworld.wolfram.com/SharkovskysTheorem.html
  5. Задачи на построение и расширения полей.
    Стартовая задача: полностью решить задачу 2.11 из листка по алгебре для первого курса http://vyshka.math.ru/pspdf/0910/algebra-1/prb_01_artam.pdf.
    Задача: а) Доказать невозможность трисекции угла и удвоения куба при помощи циркуля и линейки. б) Решить задачу трисекции угла при помощи невсиса, т.е. линейки, на которой можно отмечать точки. в) Исследовать возможность удвоения куба, построения правильного 11-угольника и правильного 7-угольника при помощи невсиса.
    Литература: Постников, «Теория Галуа». Более элементарное изложение имеется в книге Курант, Роббинс. «Что такое математика», глава 3, часть 1.
  6. Поризм Понселе и эллиптические кривые.
    http://sbseminar.wordpress.com/2007/07/16/poncelets-porism/
    Необходимые сведения о кубических кривых даны в книге Шафаревича «Основы алгебраической геометрии», глава 3, параграф 3, а также в задачах в http://ium.mccme.ru/f09/algebra3.html, Листок 1.

Е. Ю. Смирнов

  1. Калейдоскопы в трёхмерном евклидовом пространстве.
    Для 1 курса
    Литература: Мат. Просвещение 7 (2003), статьи Винберга, Шварцмана, Бугаенко; A. Sossinsky «Geometries».
  2. Калейдоскопы на трёхмерной сфере. Связь с правильными четырёхмерными многогранниками.
    Для 1 курса
    Литература: Мат. Просвещение 7 (2003), статьи Винберга, Шварцмана, Бугаенко; Е. Смирнов «Группы отражений и правильные многогранники».
  3. Классификация конечных подгрупп в SO(3).
    Для 1 и 2 курса
    Литература: М. Берже «Геометрия», A. Sossinsky «Geometries».
  4. Закон сложения на гладкой кубической кривой
    Для 1 курса
    Литература: М. Рид «Алгебраическая геометрия для всех».
  5. Исключительные изоморфизмы классических групп малой размерности над полями конечной характеристики
    Для 1 и 2 курса
    Литература: В. Доценко, «Заметки об исключительных изоморфизмах», Мат. Просвещение 12 (2008). Можно разобрать всю работу или некоторую её часть; также возможен «бригадный подряд».
  6. «Задача о деревянном эллипсе»: если обвести карандашом петлю, накинутую на эллипс, получится другой эллипс, софокусный первому.
    Для 1 курса
  7. Доказательство трансцендентности e и π
    Для 1 курса
    Литература: Ф. Клейн, «Элементарная математика с точки зрения высшей».

В. А. Тиморин

  1. Задача Гурвица про произведения сумм квадратов. В 1898 году Гурвиц поставил такую задачу: описать все тройки натуральных чисел (r,s,n), для которых возможна формула вида
    (x12 + x22 + ... + xr2) (y12 + y22 + ... + ys2) = z12 + z22 + ... + zn2.
    В этой формуле все zk - билинейные комбинации переменных xi и yj. Примеры формул такого вида можно получить, исходя из правила умножения комплексных чисел, кватернионов или октав. Задача Гурвица открыта до сих пор, хотя многие выдающиеся математики пытались ее решить, и созданный ими топологический аппарат (характеристические классы, вещественная К-теория) оказался полезным во многих других областях математики. Сам Гурвиц и, независимо, Радон, полностью описали случай s = n. Он связан с представлениями алгебр Клиффорда. Имеется еще несколько менее общих формул рассматриваемого вида. Разберите примеры таких формул (начиная с кватернионов и октав).
    Источники:
    И.Л. Кантор, А.С. Солодовников, Гиперкомплексные числа, Москва: Наука, 1973
    D. Shapiro, Products of sums of squares, Expo. Math. 2 (1984), 235-261
    B. Eckmann, Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz-Radon ueber die Komposition quadratischer Formen, Comm. Math. Helvetici (1929), 358-366
    В. Тиморин, Квадратичная математика. Записки лекций, прочитанных на летней школе в Дубне.
    (копии всех источников доступны)
  2. Размерность Хаусдорфа. Хаусдорф ввел понятие размерности, имеющее смысл для любого метрического пространства - размерность Хаусдорфа. Размерность Хаусдорфа может быть любым неотрицательным действительным числом, в частности, дробным или даже иррациональным. Таковы размерности многих фрактальных множеств, возникающих в топологии и теории динамических систем (известные примеры включают канторовы множества, ковры Серпинского, множества Жюлиа и Мандельброта, и т.д.). Посчитайте хаусдорфовы размерности некоторых фракталов.
    Источники:
    K. Falconer, Fractal geometry, Wiley 2003
  3. Композиция бинарных квадратичных форм. Бинарная квадратичная форма - это функция вида
    f(x) = a x12 + b x1 x2 + c x22, x = (x1, x2),
    где a, b, c - постоянные коэффициенты. Важной задачей является изучение множества значений квадратичной формы с целыми коэффициентами (на векторах с целыми координатами). Пусть f и g - квадратичные формы одинакового дискриминанта. Тогда существует квадратичная форма h и билинейное отображение s: Z2 x Z2 → Z2, такие, что h(s(x,y)) = f(x) g(y). В частности, любое значение формы h является произведением значения формы f на значение формы g. Этот факт заметил Гаусс, и ввел естественную билинейную операцию s, превращающую несократимые квадратичные формы данного дискриминанта (рассматриваемые с точностью до положительных целочисленных замен переменных) в абелеву группу. Операция в этой группе называется композицией квадратичных форм. Приведите и докажите явные формулы для композиции (например, следуя Гауссу и Дирихле).
    Источники:
    К.Ф. Гаусс, Труды по теории чисел, Изд-во АН СССР, Москва, 1959
    Л. Дирихле, Лекции по теории чисел, М: ОНТИ, 1939
    В. Тиморин, Квадратичная математика. Записки лекций, прочитанных на летней школе в Дубне.
  4. Принцип Гюйгенса и выпуклость.(исследовательский проект) В любой среде (даже неоднородной и неизотропной) свет распространяется таким образом, что световые пятна выпуклы во все моменты времени. Это должно следовать из принципа Гюйгенса и некоторых общих предположений (типа непрерывности). Постройте соответствующую математическую теорию.
  5. Теорема о максимальном числе граней. П. Макмюллен в 1970 году решил следующую задачу, стоявшую открытой довольно долго: среди всех выпуклых многогранников в Rn с фиксированным числом вершин, найти многогранники с максимальным числом граней размерности k. Интересный класс многогранников (циклические многогранники) решает эту задачу одновременно для всех k - это было гипотезой, которую и доказал Макмюллен. Опишите комбинаторные свойства циклических многогранников. Объясните доказательство теоремы о максимальном числе граней. Постройте другие примеры многогранников, реализующие максимальное число граней.
    Источники:
    А. Бренстед, Введение в теорию выпуклых многогранников, М: Мир, 1988
    В. Тиморин, Комбинаторика выпуклых многогранников. М: МЦНМО, 2002.
  6. Отображения, переводящие прямые в прямые. Мебиус в 1827 году доказал, что взаимно-однозначное отображение проективной плоскости в себя, переводящее прямые в прямые, является проективным (т.е. дробно-линейным). Хотя доказательство Мебиуса предполагало непрерывность рассматриваемого отображения, позже выяснилось, что над действительными числами предположение непрерывности не нужно. (Это связано с отсутствием нетривиальных автоморфизмов поля действительных чисел). Разберите эту теорему, и получите ее локальный вариант.
    Источники:
    М. Берже, Геометрия, Том 1, М: Мир, 1984
  7. Множество Мандельброта связно. (тема для 2-го курса). Множество Мандельброта - один из самых известных фракталов. Это множество всех комплексных чисел c, для которых последовательность c, c2 + c, (c2 + c)2 + c, ..., ограниченна. Множество Мандельброта очень важно в теории комплексных динамических систем - благодаря явлению ренормализации, оно возникает практически во всех случаях, когда рассматриваются итерации голоморфных отображений, аналитически зависящих от параметра. Как доказали Дуади и Хаббард, множество Мандельброта связно. Разберите доказательство этого утверждения. Знаменитая гипотеза о том, что множество Мандельброта также локально связно, на протяжении многих лет не поддается активным атакам со стороны многих замечательных математиков.
    Источники:
    Дж. Милнор, Голоморфная динамика, РХД, 2000
    L. Carleson, T.W. Gamelin, Complex dynamics, Springer, 1992
  8. Число вращения, теорема и пример Данжуа. Рассмотрим гомеоморфизм окружности на себя. Сопряжен ли он повороту? Оказывается, для дважды дифференцируемого гомеоморфизма с иррациональным числом вращения, ответ положительный. А если гомеоморфизм только один раз дифференцируем, есть контрпримеры.
    Источники:
    А. Каток, Б. Хасселблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, 1999

Б. Л. Фейгин

Список курсовых работ от Б. Л. Фейгина в формате PDF.

М. В. Финкельберг

Для первого курса.

  1. Квадратичный закон взаимности Гаусса.
    Литература: Серр, «Курс арифметики», стр. 14–19 (Вариант: стр. 19–21).
  2. Вычисление суммы 1/n2k по n от 1 до бесконечности.
    Литература: Серр, «Курс арифметики», стр. 144–145.
  3. Цикличность мультипликативной группы остатков mod p.
    Литература: Серр, «Курс арифметики», стр. 11–12.
  4. Теорема Паскаля о вписанном шестиугольнике.
    Литература: Клеменс, «Мозаика теории комплексных кривых», стр. 19–20.
  5. Решение квадратных уравнений от 3 переменных в целых числах.
    Литература: Клеменс, «Мозаика теории комплексных кривых», стр. 37–39.
  6. Построение непрерывной нигде не дифференцируемой функции.
    Литература: Рудин, «Основы математического анализа», стр. 172–173.
  7. Явная формула для чисел Фибоначчи.
    Имеется в виду решение в рамках линейной алгебры.
    Литература: Воробьев, «Числа Фибоначчи».

Для второго курса.

  1. Неразвязываемость трилистника.
    Литература: Милнор «Введение в алгебраическую К-теорию», стр. 91–93.
  2. Вычисление К2 от поля рациональных чисел и квадратичный закон взаимности.
    Литература: Милнор «Введение в алгебраическую К-теорию», стр. 110–117.
  3. Классификация тел кватернионов над р-адическими полями и рациональными числами.
    Литература: Серр «Курс арифметики» и Милнор «Введение в алгебраическую К-теорию», стр. 155–166.
  4. Классификация конечных подгрупп SU(2).
    Литература: Не знаю оптимальной ссылки. Например, Клейн «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени», глава 1 и параграф 2 главы 5.
  5. Уравнения клейновых особенностей.
    Литература: Клейн «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени», стр. 51–63.
  6. Классификация алгебраических гипергеометрических функций.
    Литература: Клейн «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени», глава 3 и параграф 3 главы 5.

С. М. Хорошкин

  1. Число приведенных разложений данного элемента симметрической группы.
    Требуется найти число представлений перестановки (n,n-1,...,2,1) в виде композиции n(n-1)/2 элементарных транспозиций (i,i+1). Задача-минимум — воспроизвести или разобрать результат Стенли (European J. of Combinatorics, 5(1984), 359–372). В дальнейшем можно попытаться материализовать результат в терминах представлений подходящей симметрической группы, обобщить формулу на другие группы Вейля и связать ее с иными сходными результатами.
  2. Классические несобственные интегралы.
    Как правило, неопределенные интегралы от элементарных функций не берутся. Однако часто определенные интегралы от тех же функций в бесконечных пределах вычисляются явно. Классический пример — интеграл Пуассона ∫-∞+∞exp(-x2)dx = &sqrt;π. Все такие интегралы — именные (Гаусс, Лаплас, Эйлер, Дирихле) и вычисляются индивидуальными приемами. Хочется составить из них со вкусом небольшую коллекцию.
  3. Интегралы Сельберга.
    Интеграл Сельберга является естественным обобщением эйлерова интеграла B(α,β) = ∫01 tα-1 (1-t)β-1dt = Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β). Задача — воспроизвести доказательство известного выражения для таких интегралов через значения Γ-функции, разобрав попутно свойство последней.
  4. Гипергеометрическая функция и формулы суммирования.
    Значения многих конечных сумм, например ∑s=0N∏r=1s (x+r)(N-r+1)/(r(y-r-1)), члены которых представляются в виде отношения факториалов или, более общо, символов Похгаммера (x)n = x(x+1)...(x+n-1), выражаются через значения гипергеометрической функции и поэтому представляются в виде подобного же отношения. Цель — вывести общую формулу суммирования Заальшютца.

О. В. Шварцман

Для первокурсников.

  1. Теорема Гаусса о порядке роста числа R(N) целых точек в круге радиуса N:
    R(N) = πN + O(&sqrt;N)
  2. Теорема Эйлера о росте числа целых точек R(N) первого квадранта, лежащих на или ниже гиперболы xy=N (исключаются точки, лежащие на осях координат):
    R(N) = N ln N + O(N)
    Литература: Виноградов, «Основы теории чисел», Наука, 1981, глава 2.
  3. Теорема о том, что всякое конечное тело является полем.
    Литература: Э.Артин, «Геометрическая алгебра», Наука, 1969, глава 1, §8.
  4. Конечные системы корней в R2.
    Литература: Р.Стейнберг, «Лекции о группах Шевалле», Мир, 1975, дополнение.

Для второкурсников.

  1. Группы Шоттки с двумя образующими.
    Литература: Д.Мамфорд, К.Сириес, Д.Райт, «Жемчужина Индры», МЦНМО, 2010, глава 6.
  2. Алгебра модулярных форм целого веса.
  3. Тэта-функции и модулярные формы.
    Литература: Ж.-П.Серр, «Курс арифметики», Мир, 1972.
  4. Абстрактное кольцо Гекке.
    Литература: Г.Шимура, «Введение в арифметическую теорию автоморфных форм», Мир, 1973, §3.1.
  5. Решетки в Rn. Критерий сходимости Малера.
  6. Решетки в локально компактных группах. Критерий геометрической сходимости Шаботи.
    Литература: М.Рагунатан, «Дискретные подгруппы групп Ли», Мир, 1972 (тема 5 — стр. 194–200, тема 6 — стр. 27–40).
Rambler's Top100