Algebra, 2nd year, 2009/2010

Алгебра. Второй курс. 2009/2010 учебный год

Модули: I, II, III, IV–V, Зачёты и экзамены

Модуль I (лектор: М.В.Финкельберг)

Программа Учебные материалы к лекциям Задачи семинаров Контрольные работы

Программа модуля I

Ряды Пюизо: Многоугольник Ньютона. Алгебраическая замкнутость поля дробно степенных рядов. Техника разложения корней алгебраических уравнений в дробно степенные ряды.
Исчисление формальных степенных рядов: Формальные экспонента, логарифм и бином. Числа и многочлены Бернулли. Суммирование степеней. Техника производящих функций.
Симметрические функции: Целочисленные базисы модуля симметрических функций, их производящие функции и переходы между ними. Многочлены Шура. Техника вычислений с симметрическими функциями.

Учебные материалы к лекциям

Помимо указанных ниже специальных матермалов к отдельным лекциям рекомендуется учебник Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)

Отсканированные конспекты Нины Сахаровой: Лек. 1-2, Лек. 3, Лек. 4, Лек. 5, Лек. 6.
Лекции 1-2. Формальные степенные и дробно-степенные ряды. Разлжение корня многочлена в ряд Пюизо.
Cм. специально посвящённую этому сюжету статью Чеботарёва, а также стр. 115–126 книги Уокера (особенно теор. 3.1 на стр. 116).

Задачи семинаров

Листок 1. Формальные степенные ряды и производящие функции (PDF). Выдаётся с 1 сентября.
Листок 2. Числа и многочлены Бернулли (PDF). Выдаётся с 15 сентября.
Листок 3. Элементарные симметрические функции (PDF). Выдаётся с 25 сентября.
Листок 4. Функции Шура, результанты и дискриминанты (PDF). Выдаётся с 25 сентября.
Листок 5. Неприводимые многочлены (PDF). Выдаётся с 12 октября.
Листок 6. Минимальные многочлены (PDF). Выдаётся с 12 октября.

Контрольные работы

Классная контрольная N1 — «Ряды Пюизо». Образец варианта в формате PDF или PS.GZ
Классная контрольная N2 — «Симметрические многочлены и формулы Виета». Образец варианта в формате PDF.

Модуль II (лектор: А.Н.Рудаков)

Программа Учебные материалы к лекциям Задачи семинаров Письменные задания Коллоквиум

Программа модуля II

Группы, гомоморфизмы, изоморфизмы. Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы точек. Объединения и прямые произведения G-множеств. Примеры. Сопряженность стабилизаторов, нормальные подгруппы и фактор-группы. основная теорема об орбитах: изоморфизм действий X → G/S_x. Следствия для конечных групп. Теорема о неподвижной точке действия р-группы, если |X| не делится на р. Множества неподвижных точек для элементов и для подгрупп. Примеры.
Теорема перечисления орбит Полиа-Бернсайда. Примеры. Действия группы на себе. Теорема о центре р-группы. Теоремы Силова. Описание групп малых порядков.
Линейные представления групп и множеств. Примеры. Автоморфизмы поля, группы матриц. Неприводимость представлений, морфизмы представлений, лемма Шура. Полная приводимость.
Получение новых представлений: прямые суммы. Тензорное произведение пространств. Действие симметрической группы в тензорных степенях. Симметрические и кососимметрические тензоры. Представление в тензорном произведении представлений. (Примеры функторов Юнга в задачах. Комплексы Кошуля и ДеРама если удастся).
Представления конечных групп. Полная приводимость. Характеры. Соотношения ортогональности. Примеры. Разложения тензорных произведений на неприводимые. Кольцо Гротендика.

Учебные материалы к лекциям

Помимо в скорости начнущих появляться ниже специальных матермалов к отдельным лекциям рекомендуется учебник Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)

Лекция 1 (прочитанная А.Л.Городенцевым). Напоинания про группы. Помимо обзора прошлогоднего материала обсуждались полупрямые произведения групп (см. Э.Б. Винберг. Курс алгебры. Гл.11, §1).
Лекция 2. Действия групп. Перечисление Полиа – Бернсайда. Силовские подгруппы. (рукопись лектора).
Лекция 3. Неподвижные точки p-групп. Теоремы Силова. (рукопись лектора).
Лекция 4. Полилинейные отображения. Тензорное произведение векторных пространств. (рукопись лектора).
Лекция 5. Тензорные контрукции и канонические изоморфизмы. (рукопись лектора).
Лекция 6 (дополнительная). Как изучать строение небольших конечных групп. (PDF).
Лекция 7. Типы симметрии тензоров. (рукопись лектора).
Лекция 8. Алгебра кососимметричных тензоров. (рукопись лектора).

Задачи семинаров

Листок 7. Повторение про группы: действия, группы автоморфизмов, (полу)прямые произведения. (PS.GZ или PDF). Выдаётся с 26 октября.
Листок 8. Силовские подгруппы. Строение небольших конечных групп. (PDF). Выдаётся с 18 ноября.
Листок 9. Знакомство с тензорами. (PDF). Выдаётся с 24 ноября.
Листок 10. Тензорные степени операторов. (PDF). Выдаётся с 1 декабря.

Письменные задания

Письменное задание N1 Срок сдачи — среда, 18 ноября, перед лекцией.

В связи с переносом декабрьской сессии, коллоквиум состоится в январе и будет устным. В билет входят один теоретический вопрос и одна задача для устного решения. После получения билета и не более чем 10-минутной подготовки происходит беседа с преподавателем. Список всех теоретических вопросов и устных задач можно взять здесь.

Модуль III (лектор: М.В.Финкельберг)

Программа Учебные материалы к лекциям Задачи семинаров Контрольные

Программа модуля III

Расширения полей: примеры. Присоединение корня многочлена. Классификация конечных полей. Автоморфизм Фробениуса. Лемма Гаусса. Критерий неприводимости Эйзенштейна. Круговые поля и многочлены. Автоморфизмы круговых полей. Невозможность построения правильных многогранников циркулем и линейкой.
Сепарабельные расширения полей. Сепарабельность. Теорема о примитивном элементе. Норма и след. Нормальные расширения. Поля разложения.
Теория Галуа. Основная теорема теории Галуа. Группы Галуа конечных полей. Группы Галуа круговых полей. Группы Галуа куммеровых расширений. Группы Галуа артиновых расширений. Построение правильного семнадцатиугольника циркулем и линейкой.
Решение уравнений в радикалах. Разрешимые и неразрешимые группы. Неразрешимость симметрических групп. Резольвента Лагранжа. Лемма Гильберта 90. Классификация циклических расширений. Решение в радикалах уравнений второй, третьей и четвертой степени. Неразрешимые в радикалах уравнения пятой степени.

Учебные материалы к лекциям

Отсканированные конспекты Нины Сахаровой: Лекция 1, Лекция 2, Лекция 3, Лекция 4, Лекция 5, Лекция 6.
Также рекомендуются:
учебник Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
брошюра Э. Артин. Теория Галуа. М., «МЦНМО», 2004.

Задачи семинаров

Листок 5. Неприводимые многочлены (PDF). Выдаётся с 12 октября.
Листок 6. Минимальные многочлены (PDF). Выдаётся с 12 октября.

Контрольные работы

Классная контрольная N3 — «Квадратичные расширения». Образец варианта в формате PDF.

Модули IV–V (лектор: М.В.Финкельберг)

Программа Учебные материалы к лекциям Задачи семинаров Контрольные

Программа модулей IV–V

Представления конечных групп. Полупростота групповой алгебры. Неприводимые представления. Тензорное произведение представлений. Кольцо Гротендика. Лемма Шура. Соотношения ортогональности для характеров и для матричных элементов. Разложение регулярного представления. Число неприводимых представлений и их размерности. Разложение представлений на изотипические компоненты. Индуцированные представления и их характеры. Теорема Брауэра. Теорема Артина. Представления симметрической группы. Представления группы Гейзенберга. Представления группы верхнетреугольных матриц два на два над конечным полем. Представления группы симметрий правильного многоугольника.

Учебные материалы к лекциям

Отсканированные конспекты Нины Сахаровой: Лекция 1, Лекция 2, Лекция 3, Лекция 4, Лекция 5, Лекция 6, Лекции 7-10, Лекция 11, Лекция 12, Лекция 13, Лекция 14.
Также рекомендуются:
Ж.-П. Серр. Линейные представления конечных групп М., «Мир», 1970 (или любое другое издание);
Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание).

Задачи семинаров

Листок 11. Представления маленьких групп (PDF). Выдаётся с 8 марта.
Листок 12. Представления простеньких групп (PDF). Выдаётся с 31 марта.
Листок 13. Представления симметрических групп (PDF). Выдаётся с 4 мая.
Листок 14. Индуцированные представления симметрических групп (PDF). Выдаётся с 18 мая.
Листок 15. Характеры симметрических групп (PDF). Выдаётся с 25 мая.

Контрольные работы

Классная контрольная N4 — «Характеры маленьких групп». Образец варианта в формате PDF.
Классная контрольная N5 — «Характеры простеньких групп». Образец варианта в формате PDF.
Классная контрольная N6 — «Представления симметрических групп». Образец варианта в формате PDF.
Классная контрольная N7 — «Характеры симметрических групп». Образец варианта в формате PDF.

Зачёты и экзамены

По этому курсу происходят один письменный зачёт (после первого модуля), коллоквиум (после второго модуля) и два письменных экзамена (после третьего и пятого модулей).

Итоговая отметка за каждый модуль, в котором таковая отметка предусматривается, в равной пропорции учитывает:

решённые задачи из листков, сданные Вами на семинарах,
контрольные работы,
колоквиум(ы),
итоговую экзаменационно-зачётную письменную работу, которую иногда бывает возможно переписать сразу же после объявления результата (тем, кто использует эту возможность, в качестве оценки за итоговую работу ставится максимум из двух полученных результатов).

Точная формула для вычисления идущей в зачётку итоговой отметки такова: MIN(300 , L+K+E+C ) x 10 / 300 , где L - процентная доля решённых обязательных задач из листков, K - процентная доля от максимальной суммы за контрольные, Е и С - проценты за зачёт и клоаквиум

Итоговая письменная работа за I модуль была 20 октября (вот один из вариантов в формате PDF).

Итоговая письменная работа за III модуль была 3 марта (вот один из вариантов в формате PDF).

Итоговая письменная работа за IV модуль была 27 апреля (вот один из вариантов в формате PDF).

Итоговая письменная работа за V модуль была 22 июня (вот один из вариантов в формате PDF).

В начало Расписание занятий Модули I II III IV