На главную
Расписание занятий
Учебники
Модули:
I—III,
IV—V.
Рекомендуемые учебники
Записки лекций
Задачи семинаров
Рекомендуемые учебники
Помимо выложенных ниже записок лекций (достаточных для успешной сдачи этого курса) рекомендуются следующие книги:
Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
а также записки лекций А.Л.Городенцева в НМУ (достаточно простой и полный курс 1996 года и более жёсткий и менее полный курс 2005 года) и на матфаке ГУ-ВШЭ. Следует, однако иметь в виду, что расклад материала в настоящем курсе заметно отличается от курсов Винберга и Городенцева.
Записки лекций
- Листки 1-2.
Выдаются с 1 сентября.
Для получения максимальной (10 баллов) оценки по 1 листочку достаточно сдать задачи 3, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 31, 35.
Для получения положительной (>3 баллов) оценки по 1 листочку необходимо сдать задачи 2, 7, 8, 9, 16, 17, 18, 25, 26, 32, 36,
- Дополнительный листок про цепные дроби.
Выдаётся с 9 сентября.
- Листок 3.
Выдаётся с 25 сентября.
Для получения максимальной оценки по 3 листочку достаточно решение всех 11 задач списка-максимум и
любого числа (по указанию преподавателя) из 13 задач списка-минимум.
При этом любая задача списка-максимум может быть заменена любыми двумя не входящими в него задачами.
Список-максимум:
3.9. 1), 3.10 г), 3.10 д), 3.10 е), 3.11 в), 3.12а), 3.13.2), 3.15 в), 3.17, 3.19 б), 3.20 б).
Список-минимум:
3.1, 3.2, 3.6, 3.8, 3.10 а), 3.10 б), 3.11 а), 3.11 б), 3.12 б), 3.15 а), 3.16 а) б) в).
- Листок 4. Выдаётся с 7 октября.
- Листок 5.
Выдаётся с 26 октября. Последний срок сдачи — пятница, 6 ноября.
- Листок 6.
Выдаётся с 3 ноября. Задачи 1—6 следует решить письменно и сдать во вторник, 10 ноября
перед лекцией. Остальные задачи принимаются устно в течение 2-й и 3-й недель модуля.
- Листок 7.
Выдаётся с 26 ноября.
- Листок 8.
срок сдачи продлён на 1-ю неделю третьего модуля.
- Листок 9.
Выдаётся с 18 января.
- Листок 10.
Выдаётся с 25 января.
- Листок 11.
Выдаётся с 1 февраля.
- Листок 12.
Выдаётся с 18 февраля.
Учебники
Программа
Записки лекций
Задачи семинаров
Контрольные работы
Коллоквиум
Зачёты и экзамены
Кроме выложенных ниже записок лекций (достаточных для успещной сдачи этого курса) рекомендуются книги
- Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое другое издание).
- И. М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. М.: МЦНМО, 1998 (или любое другое издание).
- А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. (любое издание).
- Билинейные формы (напоминания)
-
Ортогональное дополнение и ортогональное проектирование на подпространство, на которое форма ограничивается невырожденно.
Нормальный вид кососимметричной формы. Гиперболические формы,
каждое изотропное подпространство невырожденной симметричной формы дополняется до гиперболического.
Отражения. Ортогональная группа невырожденной симметричной формы порождается отражениями.
Разложение симметрической формы в сумму анизотропной и гиперболической. Анизотропные формы над полями Z/(p).
Классификация вещественных проективных и аффинных квадрик.
- Нормальные операторы на пространствах со скалярным произведением
-
Сопряжение операторв на эрмитовом и евклидовом пространстве.
Критерии нормальности, ортогональная диагонализация и её специализация для (анти)самосопряжённых и изометрических операторов.
Полярное разложение. Инварианты пучка квадрик.
- Вещественное и Комплексное
-
Вещественные скалярные произведения, евклидова и эрмитова геометрия, вычисление длин и углов, угол между комплексными прямыми.
Комплексификация евклидова пространства, геометрический смысл комплексных собственных векторов вещественного оператора.
Комплексные и вещественные структуры, условия Коши-Римана, келеровы тройки, соотношения Римана и зигелево полупространство.
- Кватернионы и спиноры
-
Матричное и формальное описание тела кватернионов. Чисто мнимые кватернионы нормы 1.
Накрытия S3=SU(2)→SO(3) и SU(2)×SU(2)→SO(4). Расслоение Хопфа.
Коплексные структуры и келеровы тройки на R4.
- Модули над кольцами главных идеалов
-
Подмодуль свободного модуля свободен и обладает базисом, состоящим из возрастающих кратных некоторого базиса в исходном модуле.
Теорема об элементарных делителях и её специализации для конечнопорождённых Z-модулей и конечномерных k[t]-модулей.
Строение конечнопорождённых абелевых групп. Разложение Жордана линейного оператора. Вычисление функций от операторов.
- Лекция 0
Напоминание про линейные операторы: вариации повокруг жорадановой нормальной формы, аннулирующих многочленов и вычисления функций от матриц.
- Лекция 1
Напоминание про евклидовы пространства: матрицы Грама, неравенство Коши–Буняковского–Шварца,
вычисление длин, углов и объёмов. Ортогонализация Грама–Шмидта, ортогональное проектирование,
угол и расстояние между вектором и подпространством. Ортогональная группа,
канонический вид изометрического оператора.
- Лекция 2
Ортогональная геометрия билинейных форм. Ортогональная группа порождается отражениями.
Лемма Витта, разложение формы в сумму гиперболической и анизотропной. Индекс и сигнатура вещественных квадратичных форм.
Анизотропные формы над полями Z/(p).
- Лекция 3
Эрмитовы пространства: ортогонализация, матрицы Грама, ортогональные дополнения и проекции, объёмы, длины, углы. Унитарная группа.
Сопряжение операторов на эрмитовом пространстве. Ортогональная диагонализация нормальных операторов и её специализации для
(анти)самосопряжённых и унитарных операторов. Полярное разложение. Экспоненциальное отображение в унитарную группу.
- Лекция 4
Овеществление комплексного пространства, сравнение вещественной и комплексной линейности, условия Коши-Римана.
Комплексификация вещественного векторного пространства, вещественный геометрический смысл комплекных собственных векторов.
Билиненйое и эрмитово продолжение билинейных форм на комплексификацию, норамльные операторы в евклидовом пространстве.
Вещественные структуры на комплексном векторном пространстве. Комплексные структуры на вещественном векторном пространстве.
- Лекция 5
Симплектические пространства, симплектические базисы и симплектическая группа.
Пфаффиан кососимметрической матрицы.
Келеровы тройки, продолжения евклидовой и симплектической структур до эрмитовой, соотношения Римана, зигелево полупространство.
- Лекция 6
Тело кватернионов, норма, сопряжение. Универсальное накрытие SU2=S3→S03.
Два семейства келеровых троек на пространстве кватернионов. Спиноры. Расслоение Хопфа.
- Лекция 7
Напоминание про коммутативные кольца, гомоморфизмы и идеалы. Евклидовы кольца. Кольца главных идеалов.
Взимная простота, китайская теорема об остатках. Простотые и неприводимые элементы, факториальность. Кольца главных идеалов факториальны.
Кольцо многочленов над факториальным кольцом факториально.
- Лекция 8
Модули над кольцами. Образующие и соотношения, задание гомоморфизмов на образующих.
Прямые суммы модулей и подмодулей. Свободные модули, независимость ранга от выбора базиса.
Теорема об инвариантных множителях подмодуля в свободном модуле конечного ранга над кольцом главных идеалов.
Внимание!!! В зачёт V-го модуля входят выдававшиеся в модуле III
Листок 11,
Листок 12 по алгебре и
Листок Г13 по геометрии, а также
- Листок 13 Матрицы, операторы, формы... Выдаётся с 12 марта.
- Листок 14
Ортогонализация и сопряжение операторов в евклидовых и эрмитовых пространствах. Выдаётся с 30 марта.
- Листок 15
Функции от операторов. Выдаётся с 12 апреля.
- Листок 16
Комплексные и вещественные структуры. Выдаётся с 19 апреля.
- Листок 17
Кватернионы и спиноры. Выдаётся с 19 мая.
Все индивидуальные письменные задания следует выполнять дома, письменно, в течение одной недели. Ошибки в вычислениях недопустимы.
Номер вашего варианта равен вашему номеру в
этом списке.
по материалм 4-го и 5-го модулей состоялся в среду 9-го июня. Вот список вопросов. Каждый билет будет содержать 2 теоретических вопроса и 1 задачу.
Итоговый экзамен за IV–V модули был в среду 23 июня с 1100 до 1500 в ауд. 317-319. Показ работ и рассмотрение претензий было в пятницу 25 июня с 1100 до 1500 в ауд. 317-319. Вот варианты экзаменационных заданий.
Итоговая оценка за V модуль ставилась по формуле min(300,L+K+C+E)/30, где L, K, E и C суть процентные доли верно решённых задач из листков, из контрольных (индивидуальных письменных заданий), из экзаменационной работы и оценка за коллоквиум (по 100-бальной шкале). Процентная доля задач каждого из видов вычисляется от общего числа всех предложенных в IV-V модулях задач данного вида (а не отдельно по каждой контрольной и/или листку).
В начало
Расписание занятий
Модули: I—III,
IV—V.